5.1 Векторы и действия с ними

9 класс · Геометрия◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: координатная плоскость, теорема Пифагора, параллелограмм

Лодка идёт поперёк реки со скоростью $4$ км/ч. Течение сносит её вдоль берега со скоростью $3$ км/ч.

С какой скоростью лодка движется на самом деле? Ответ «$4+3=7$» неверен, но и «$4$» тоже. Числа здесь складывать нельзя: у скоростей разные направления.

◎ После урока ты сможешь

• отличать вектор от отрезка и от числа, читать запись AB со стрелкой
• определять, когда два вектора равны и когда они коллинеарны
• складывать и вычитать векторы по правилам треугольника и параллелограмма
• умножать вектор на число и выполнять действия в координатах

Прогноз до вычислений

Длины двух векторов равны $3$ и $4$. Какой может быть длина их суммы?

Запиши свою гипотезу до чтения дальше: одно число, несколько чисел или целый промежуток. Проверить её мы сможем уже через пару минут.

Что такое вектор

∴ Вектор

Вектором называют направленный отрезок: у него есть начало, конец и длина. Вектор с началом $A$ и концом $B$ обозначают $\vec{AB}$, его длину — $|\vec{AB}|$.

Если начало и конец совпадают, вектор называют нулевым и пишут $\vec 0$. Его длина равна нулю, а направления у него нет.

Векторы называют равными, если они сонаправлены и их длины равны. Обрати внимание: точка приложения в это определение не входит. Один и тот же вектор можно отложить от любой точки плоскости — получится другой отрезок, но тот же вектор.

Именно поэтому вектор удобно записывать парой чисел: на сколько сдвинуться по $x$ и на сколько по $y$. Вектор $\vec a(3;-2)$ означает «три клетки вправо и две вниз» — откуда бы ты ни начал.

✦ Коллинеарные векторы

Два ненулевых вектора коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы бывают сонаправленными ($\vec a \uparrow\uparrow \vec b$) и противоположно направленными ($\vec a \uparrow\downarrow \vec b$). Нулевой вектор считают коллинеарным любому.

Управляемый эксперимент

Складывай векторы на решётке и следи за двумя вещами сразу: за замыкающей стрелкой и за координатами результата.

Лаборатория векторов

Действия с векторами на решётке

Все стрелки строятся по введённым координатам: рисунок нельзя «подогнать» под ответ.

исследование

СложениеВычитаниеУмножение на число

a: координата x4

−+

От −8 до 8, шаг 1

a: координата y1

−+

От −8 до 8, шаг 1

b: координата x−1

−+

От −8 до 8, шаг 1

b: координата y3

−+

От −8 до 8, шаг 1

+

(4; 1) + (−1; 3) = (3; 4)|a + b| 5, при этом |a| ≈ 4,12 и |b| ≈ 3,16. Длины не складываются: сумма длин больше длины суммы, если векторы не сонаправлены.

Квадрат длины считается точно: |a|² = 17, |b|² = 10, |a + b|² = 25.

↺ Вернуть пример

Переключи вкладку «Умножение на число» и посмотри, что происходит с длиной и с направлением при разных множителях, в том числе отрицательных.

Сложение векторов

∴ Правило треугольника

Чтобы сложить $\vec a$ и $\vec b$, отложи $\vec a$ от точки $A$, а затем $\vec b$ — от конца первого вектора. Вектор, идущий из начала первого в конец второго, и есть сумма:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}.$

Если оба вектора отложены от одной точки, работает правило параллелограмма: сумма — это диагональ параллелограмма, построенного на векторах. Оба правила дают один и тот же вектор; параллелограмм просто показывает, что порядок слагаемых не важен.

Свойства сложения выглядят привычно:

$\vec a + \vec b = \vec b + \vec a, \qquad (\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c), \qquad \vec a + \vec 0 = \vec a.$

Вектор $-\vec a$ — это вектор той же длины, направленный противоположно; для него $\vec a + (-\vec a) = \vec 0$.

∴ В координатах — покоординатно

Если $\vec a(x_1;y_1)$ и $\vec b(x_2;y_2)$, то

$\vec a + \vec b = (x_1+x_2;\ y_1+y_2), \qquad \vec a - \vec b = (x_1-x_2;\ y_1-y_2), \qquad k\vec a = (kx_1;\ ky_1).$

Каждая координата живёт своей жизнью: $x$ складывается с $x$, $y$ — с $y$.

Лодка и течениеРазбираем вместе

Направим ось $x$ вдоль берега, ось $y$ — поперёк реки. Тогда скорость лодки относительно воды равна $\vec v_{\text{л}}(0;4)$, а скорость течения — $\vec v_{\text{т}}(3;0)$.

Настоящая скорость — сумма:

$\vec v = \vec v_{\text{л}} + \vec v_{\text{т}} = (0+3;\ 4+0) = (3;4).$

Её длина находится по теореме Пифагора:

$|\vec v| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ км/ч}.$

Не $7$ и не $4$. Лодка идёт быстрее, чем гребёт, но не по прямой к противоположному берегу.

Теперь вернись к прогнозу. Если $|\vec a| = 3$ и $|\vec b| = 4$, то длина суммы может быть любой от $1$ до $7$: $7$ — когда векторы сонаправлены, $1$ — когда противоположно направлены, $5$ — когда перпендикулярны. Одно число тут назвать нельзя.

Вычитание

Разность определяют через сложение: $\vec a - \vec b = \vec a + (-\vec b)$.

Есть и удобное построение: отложи оба вектора от одной точки $O$; тогда $\vec a - \vec b$ — это вектор, идущий из конца $\vec b$ в конец $\vec a$. Если $\vec a = \vec{OA}$ и $\vec b = \vec{OB}$, то

$\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}.$

Лаборатория векторов

Действия с векторами на решётке

Все стрелки строятся по введённым координатам: рисунок нельзя «подогнать» под ответ.

исследование

СложениеВычитаниеУмножение на число

a: координата x5

−+

От −8 до 8, шаг 1

a: координата y2

−+

От −8 до 8, шаг 1

b: координата x2

−+

От −8 до 8, шаг 1

b: координата y5

−+

От −8 до 8, шаг 1

−

(5; 2) − (2; 5) = (3; −3)|a − b| ≈ 4,24, при этом |a| ≈ 5,39 и |b| ≈ 5,39. Длины не складываются: сумма длин больше длины суммы, если векторы не сонаправлены.

Квадрат длины считается точно: |a|² = 29, |b|² = 29, |a − b|² = 18.

↺ Вернуть пример

Умножение вектора на число

∴ Произведение вектора на число

Произведение $k\vec a$ ненулевого вектора $\vec a$ на число $k \ne 0$ — это вектор, длина которого равна $|k|\cdot|\vec a|$, сонаправленный с $\vec a$ при $k>0$ и противоположно направленный при $k<0$.

Если $k = 0$ или $\vec a = \vec 0$, то произведение равно $\vec 0$.

Отсюда получается главный рабочий признак:

∴ Признак коллинеарности

Ненулевые векторы $\vec a$ и $\vec b$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число $k$, для которого $\vec b = k\vec a$.

В координатах это значит, что координаты пропорциональны: $\dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{y_2}{y_1}$ (когда знаменатели не равны нулю).

Лаборатория векторов

Действия с векторами на решётке

Все стрелки строятся по введённым координатам: рисунок нельзя «подогнать» под ответ.

задача

СложениеВычитаниеУмножение на число

a: координата x3

−+

От −8 до 8, шаг 1

a: координата y2

−+

От −8 до 8, шаг 1

Множитель k−1,5

−+

От −3 до 3, шаг 0,5

Координата x вектора −1,5·a

Координата y вектора −1,5·a

Проверить

?

Найди координаты вектора −1,5·a и введи их в поля ниже.Обе координаты умножаются на одно и то же число.

Квадрат длины считается точно: |a|² = 13.

↺ Вернуть пример

Медиана через две стороныРазбираем вместе

Пусть $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Выразим $\vec{AM}$ через $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

По правилу треугольника $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$, а $M$ — середина $BC$, поэтому $\vec{BM} = \tfrac12 \vec{BC}$. В свою очередь $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$. Подставляем:

$\vec{AM} = \vec{AB} + \tfrac12(\vec{AC} - \vec{AB}) = \tfrac12\vec{AB} + \tfrac12\vec{AC} = \tfrac12\left(\vec{AB} + \vec{AC}\right).$

Ни одной длины и ни одного угла в решении не понадобилось — только правила действий.

! Три частые путаницы

Вектор путают с его длиной. Запись $\vec a = 5$ бессмысленна: слева вектор, справа число. Правильно $|\vec a| = 5$.

Складывают длины вместо векторов. Из $|\vec a| = 3$ и $|\vec b| = 4$ не следует $|\vec a + \vec b| = 7$. Верно только неравенство $|\vec a + \vec b| \le |\vec a| + |\vec b|$.

Равные длины считают равенством векторов. У $\vec a(3;4)$ и $\vec b(4;3)$ длины одинаковы и равны $5$, но векторы разные: направления не совпадают.

Проверка понимания

Векторы a и b имеют равные длины. Обязательно ли они равны?

• А. Да, длина полностью задаёт вектор
• Б. Нет: нужно ещё, чтобы они были сонаправлены
• В. Да, если они лежат на параллельных прямых

Практика

1. Даны $\vec a(3;-4)$ и $\vec b(-1;6)$. Найди $\vec a+\vec b$, $\vec a-\vec b$, $3\vec a$ и $-\tfrac12\vec b$.
2. Точки $A(-2;5)$ и $B(4;-3)$. Запиши координаты $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$.
3. Коллинеарны ли $\vec a(2;-3)$ и $\vec b(-4;6)$? Если да, сонаправлены они или нет?
4. При каком $m$ векторы $\vec a(3;m)$ и $\vec b(-6;4)$ коллинеарны?
5. $ABCD$ — параллелограмм. Упрости $\vec{AB}+\vec{BC}$ и $\vec{AB}+\vec{AD}$.
6. Упрости сумму $\vec{MN}+\vec{NK}+\vec{KM}$.
7. Реши уравнение $2\vec x + \vec a = \vec b$, если $\vec a(4;-2)$ и $\vec b(-2;6)$.
8. Даны $\vec a(5;1)$ и $\vec b(-1;3)$. Найди координаты $\vec a+\vec b$ и $\vec a-\vec b$.
9. Найди $\vec c = 2\vec a - 3\vec b$, если $\vec a(1;-2)$ и $\vec b(-2;1)$.
10. $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Вырази $\vec{AM}$ через $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.
11. Может ли длина суммы двух ненулевых векторов равняться нулю? Может ли она быть больше суммы их длин?

Ответы и пояснения

1. $\vec a+\vec b = (2;2)$; $\vec a-\vec b = (4;-10)$; $3\vec a = (9;-12)$; $-\tfrac12\vec b = (0{,}5;-3)$.
2. $\vec{AB} = (4-(-2);\ -3-5) = (6;-8)$; $\vec{BA} = (-6;8)$. Это противоположные векторы.
3. Да: $\vec b = -2\vec a$. Множитель отрицательный, поэтому векторы противоположно направлены.
4. Из $\vec b = k\vec a$ получаем $-6 = 3k$, то есть $k = -2$, и тогда $4 = -2m$, откуда $m = -2$.
5. Оба выражения равны $\vec{AC}$: в параллелограмме $\vec{AD} = \vec{BC}$.
6. $\vec{MN}+\vec{NK} = \vec{MK}$, а $\vec{MK}+\vec{KM} = \vec{MM} = \vec 0$.
7. $2\vec x = \vec b - \vec a = (-6;8)$, поэтому $\vec x = (-3;4)$.
8. $\vec a+\vec b = (4;4)$; $\vec a-\vec b = (6;-2)$.
9. $2\vec a = (2;-4)$, $3\vec b = (-6;3)$, поэтому $\vec c = (2-(-6);\ -4-3) = (8;-7)$.
10. $\vec{AM} = \tfrac12\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right)$.
11. Нулю — да, если векторы противоположны: $\vec a + (-\vec a) = \vec 0$. Больше суммы длин — нет: всегда $|\vec a+\vec b| \le |\vec a|+|\vec b|$.

Итог

• Вектор — направленный отрезок; равенство векторов требует и равных длин, и одинакового направления.
• Сложение выполняется по правилу треугольника или параллелограмма, вычитание сводится к сложению с противоположным вектором.
• Умножение на число меняет длину в $|k|$ раз, а знак $k$ отвечает за направление; отсюда признак коллинеарности $\vec b = k\vec a$.
• В координатах все три действия выполняются покоординатно, и это превращает геометрию в арифметику.

В следующем уроке пара чисел перестанет быть просто удобной записью: из координат вектора вырастут формулы длины, середины отрезка и уравнения прямой и окружности.

← Вход в тему · Дальше: координатный метод →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным