3.1. Смысл отношения

6 класс · Отношения◷ 45–60 минут◇ БазаНужно знать: деление, дроби и НОД

В наборе $6$ фиолетовых и $9$ оранжевых фишек. Фраза «фиолетовых на три меньше» сравнивает разностью. Но как описать состав набора так, чтобы тот же рецепт можно было повторить для $10$, $50$ или $500$ фишек?

◎ После урока ты сможешь

• читать отношение в заданном порядке и связывать его с делением
• различать отношения части к части и части к целому
• сокращать отношение и заранее приводить величины к одинаковым единицам

Сравни две группы

Интерактивная лаборатория

Сравни две группы

Меняй количества и единицы: отношение покажет не разность, а во сколько раз соотносятся величины.

часть : часть : целое

Группа A

Количество 6Целое число от 0 до 30

Единицаштуки (шт.)сантиметры (см)метры (м)граммы (г)килограммы (кг)Для отношения важен вид величины

Группа B

Количество 9Целое число от 1 до 30

Единицаштуки (шт.)сантиметры (см)метры (м)граммы (г)килограммы (кг)Для отношения важен вид величины

↔Единицы совпадают — можно сравнивать сами количества.

часть к части

A : B

2:3Сколько единиц A приходится на единицы B.

часть к целому

A : (A + B)

2:5Какую долю всего составляет первая часть.

часть к целому

B : (A + B)

3:5Какую долю всего составляет вторая часть.

÷

Сокращаем оба члена одним и тем же делителем.Порядок важен: A : B и B : A отвечают на разные вопросы.

↺ Вернуть пример

Для исходного набора отношение числа фиолетовых фишек к числу оранжевых равно

$6:9=\frac69=\frac23=2:3.$

Это означает: на каждые $2$ фиолетовые фишки приходится $3$ оранжевые. Отношения $6:9$ и $2:3$ описывают один и тот же состав, только в разном масштабе.

∴ Отношение

Отношение величины $a$ к величине $b$, где $b\ne0$, — это частное $a:b$ или дробь $\frac ab$. Порядок важен: сначала записывают величину, названную в вопросе первой.

Обратное отношение оранжевых фишек к фиолетовым равно $9:6=3:2$. Оно отвечает на другой вопрос, поэтому $2:3$ и $3:2$ нельзя менять местами.

◆ Одно число — три имени

По сути отношение отвечает на вопрос «во сколько раз одна величина больше другой». Тот же вопрос встретится в книге ещё дважды, но под другими именами: масштаб чертежа или карты (урок 3.4) и коэффициент подобия двух фигур в 8 классе (урок 5.1). Слова разные — объект один и тот же.

Часть к части и часть к целому

В наборе всего $6+9=15$ фишек.

• фиолетовые : оранжевые $=6:9=2:3$ — часть к части;
• фиолетовые : все $=6:15=2:5$ — часть к целому;
• оранжевые : все $=9:15=3:5$ — ещё одно отношение части к целому.

Прочитаем состав классаРазбираем вместе

В группе $12$ учеников выбрали шахматы, а $18$ — робототехнику; каждый ученик выбрал ровно одно направление.

Отношение шахматистов к робототехникам:

$12:18=2:3.$

Всего в группе $30$ учеников, поэтому отношение шахматистов ко всем ученикам:

$12:30=2:5.$

Первое отношение сравнивает две части между собой, второе — одну часть с целым. Одинаковые числа $12$ могут участвовать в разных отношениях: вопрос определяет знаменатель сравнения.

Сначала выровняй единицы

Отношение длин становится безразмерным только после перевода в одну единицу.

Найдём отношение 2 м к 50 смРазбираем вместе

Запись $2:50$ неверна: в ней числа измерены разными единицами. Переведём метры в сантиметры:

$2\text{ м}=200\text{ см}.$

Теперь

$200\text{ см}:50\text{ см}=200:50=4:1.$

Первая длина в $4$ раза больше второй.

Если величины разного рода, частное обычно сохраняет составные единицы. Например,

$180\text{ км}:3\text{ ч}=60\text{ км/ч}.$

Это называют единичной ставкой: сколько километров приходится на один час. К таким величинам мы вернёмся в уроке о прямой пропорциональности.

Проверка понимания

Каково отношение 30 см к 1,2 м?

• А. 30 : 1,2 = 25 : 1
• Б. 30 : 120 = 1 : 4
• В. 4 : 1

Как упростить отношение

Отношение сокращают так же, как дробь: делят обе части на один и тот же ненулевой общий делитель. Самый короткий путь — разделить на НОД.

$18:30=(18:6):(30:6)=3:5.$

Смысл состава не изменился: в каждой полной группе из $8$ объектов будет $3$ объекта первого вида и $5$ второго.

! Ловушка: сократить части по-разному

Из $12:18$ нельзя получить $6:6$, разделив первую часть на $2$, а вторую на $3$. Отношение изменится с $\frac23$ на $1$. Масштаб сохраняется только при умножении или делении обеих частей на одно и то же число.

✦ Что если одна группа пуста

Отношение $0:b$ при $b>0$ равно нулю: объектов первого вида нет. А частное $a:0$ не определено — делить на ноль нельзя. В сюжете можно сказать «объектов второго вида нет», но числового значения у такого отношения нет.

Практика

Прочитай и сократи

1. Сократи отношение $15:25$.
2. Сократи отношение $42:56$.
3. В корзине $8$ яблок и $12$ груш. Найди отношения яблок к грушам, яблок ко всем фруктам и всех фруктов к грушам.
4. В рецепте $300$ г муки и $180$ г сахара. Каково отношение муки к сахару в простейшем виде?

Следи за порядком и единицами

5. Найди отношение $45$ минут к $2$ часам.
6. Найди отношение $1{,}5$ кг к $600$ г.
7. Турист прошёл $18$ км за $3$ часа. Сколько километров приходится на один час? Какие единицы имеет ответ?
8. Отношение мальчиков к девочкам равно $3:5$. Верно ли, что число девочек составляет $\frac53$ числа мальчиков? Объясни.

Объясни

9. В смеси отношение воды к концентрату равно $4:1$. Какую долю всей смеси составляет концентрат?
10. Придумай два разных сюжета для отношения $2:7$: один «часть к части», другой «часть к целому».

Ответы и объяснения

1. $3:5$.
2. $3:4$.
3. Яблоки : груши $=8:12=2:3$; яблоки : все $=8:20=2:5$; все : груши $=20:12=5:3$.
4. $300:180=5:3$.
5. $45:120=3:8$.
6. $1500:600=5:2$.
7. $18:3=6$ км/ч.
8. Да. Обратное отношение девочек к мальчикам равно $5:3$, поэтому число девочек составляет $\frac53$ числа мальчиков.
9. Всего в условной группе $4+1=5$ частей; концентрат занимает $\frac15$ смеси.
10. Например: $2$ красные детали на $7$ синих — часть к части. $2$ выбранных задания из $7$ — часть к целому.

Итог

• Отношение — упорядоченное сравнение делением.
• Часть к части и часть к целому отвечают на разные вопросы.
• Одинаковые величины сначала приводят к одной единице, а затем сокращают обе части одним делителем.

В следующем уроке увидим, как из одного отношения получать целое семейство равных отношений и находить неизвестное значение.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным