2.4 Формулы сокращённого умножения

7 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: умножение многочленов, приведение подобных членов, площадь прямоугольника

Квадратную клумбу со стороной $50$ дм решили увеличить: каждую сторону удлинили на $1$ дм. Новая площадь равна $51^2$.

Насколько выросла площадь? На $1$ квадратный дециметр, на $100$ или на что-то третье?

◎ После урока ты сможешь

• выводить формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов
• объяснять каждое слагаемое формулы как площадь конкретного куска фигуры
• применять формулы для раскрытия скобок и для устного счёта
• распознавать типичную подмену (a + b)² на a² + b²

Прогноз до вычислений

Не считая, ответь:

• Больше или меньше $2600$ будет $51^2$?
• Изменится ли ответ, если сторону не увеличить, а уменьшить на $1$ дм?
• Что общего у произведений $(x+7)(x-7)$ и $(a-5)(a+5)$ из прошлого урока?

Управляемый эксперимент

Каждое слагаемое формулы — площадь настоящего куска фигуры. Переключай вкладки и меняй $a$ и $b$: рисунок пересчитывается по этим числам, поэтому пропорции на нём всегда честные.

Лаборатория формул сокращённого умножения

Формула как разрезанный квадрат

Каждое слагаемое формулы — это площадь настоящего куска фигуры. Меняй a и b: пропорции на рисунке пересчитываются честно.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Квадрат суммыКвадрат разностиРазность квадратов

Отрезок a 5

−+

Целое число от 2 до 12 условных единиц.

Отрезок b 2

−+

Целое число от 1 до 12 условных единиц.

(a + b)² = a² + 2ab + b²→(5 + 2)² = 25 + 20 + 4 = 49

1. 1

   Сторона. Она равна a + b, то есть 5 + 2 = 7.

2. 2

   Части. 5² = 25, два прямоугольника по 5 · 2 = 10, и 2² = 4.

3. 3

   Итог. 25 + 20 + 4 = 49 — это и есть (5 + 2)².

=

(5 + 2)² = 25 + 20 + 4 = 49Удвоенное произведение — это два одинаковых прямоугольника. Именно их теряют, когда пишут (a + b)² = a² + b².

↺ Вернуть пример

Что показывает модель:

• Квадрат суммы. Квадрат со стороной $a+b$ разрезается на квадрат $a^2$, два одинаковых прямоугольника $ab$ и квадрат $b^2$. Двух прямоугольников — потому и «удвоенное произведение».
• Квадрат разности. Из квадрата $a^2$ срезаются две полосы по $ab$. Они пересекаются по квадрату $b^2$, который поэтому вычтен дважды; один раз его возвращают.
• Разность квадратов. Из квадрата $a^2$ вырезают квадрат $b^2$, а два оставшихся куска складывают в прямоугольник со сторонами $a+b$ и $a-b$. Площадь при перекладывании не меняется.

Три формулы

∴ Формулы сокращённого умножения

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,$

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$

Каждая проверяется обычным умножением многочленов. Например,

$(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2:$

средние члены взаимно уничтожаются.

Обрати внимание: в обоих квадратах $b^2$ входит со знаком плюс. Знак минус в формуле квадрата разности стоит только у удвоенного произведения — это площадь срезанных полос.

Раскроем (3x + 4)² и (2a − 5b)²Разбираем вместе

В формуле $(a+b)^2$ роль $a$ играет $3x$, роль $b$ — число $4$:

$(3x)^2+2\cdot3x\cdot4+4^2=9x^2+24x+16.$

Во втором примере буквы в формуле и в задании выглядят одинаково, поэтому сразу назовём части: первое выражение — $2a$, второе — $5b$.

$(2a)^2-2\cdot2a\cdot5b+(5b)^2=4a^2-20ab+25b^2.$

Проверка второго результата при $a=1$, $b=1$: слева $(2-5)^2=9$, справа $4-20+25=9$.

Устный счёт

Формулы позволяют считать в уме то, что обычно требует столбика.

$51^2=(50+1)^2=2500+2\cdot50\cdot1+1=2500+100+1=2601.$

Значит, площадь клумбы выросла на $101$ квадратный дециметр, а не на $1$.

$49^2=(50-1)^2=2500-100+1=2401.$

$51\cdot49=(50+1)(50-1)=2500-1=2499.$

$102^2=(100+2)^2=10\,000+400+4=10\,404.$

! Квадрат суммы — это не сумма квадратов

$(a+b)^2\ne a^2+b^2$. На рисунке видно, чего не хватает: двух прямоугольников $ab$.

Числовая проверка при $a=3$, $b=4$: $(3+4)^2=49$, а $9+16=25$. Разница $24$ — это ровно $2\cdot3\cdot4$.

Проверка понимания

Чему равно (x + 5)²?

• А. x² + 25
• Б. x² + 10x + 25
• В. x² + 5x + 25

Практика

1. Раскрой скобки: $(x+3)^2$.
2. Раскрой скобки: $(y-6)^2$.
3. Раскрой скобки: $(2a+1)^2$.
4. Раскрой скобки: $(3m-2n)^2$.
5. Выполни умножение: $(x-7)(x+7)$.
6. Выполни умножение: $(4a+3b)(4a-3b)$.
7. Вычисли устно $41^2$.
8. Вычисли устно $98^2$.
9. Вычисли устно $63\cdot57$.
10. Упрости $(a+4)^2-(a-4)^2$.

Ответы и пояснения

1. $x^2+6x+9$.
2. $y^2-12y+36$.
3. $(2a)^2+2\cdot2a\cdot1+1=4a^2+4a+1$.
4. $(3m)^2-2\cdot3m\cdot2n+(2n)^2=9m^2-12mn+4n^2$.
5. $x^2-49$.
6. $(4a)^2-(3b)^2=16a^2-9b^2$.
7. $(40+1)^2=1600+80+1=1681$.
8. $(100-2)^2=10\,000-400+4=9604$.
9. $(60+3)(60-3)=3600-9=3591$.
10. $(a^2+8a+16)-(a^2-8a+16)=16a$. Проверка при $a=1$: $25-9=16$.

Итог

• Формулы сокращённого умножения — это не новые правила, а записанный результат обычного умножения многочленов.
• Каждое слагаемое формулы имеет геометрический смысл: это площадь конкретного куска квадрата.
• В обоих квадратах $b^2$ входит со знаком плюс; минус стоит только у удвоенного произведения.
• Формулы работают и как средство устного счёта.

До сих пор мы шли от произведения к сумме. Дальше пойдём в обратную сторону — от суммы к произведению: разложение на множители.

← Умножение многочленов · Дальше: разложение на множители →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным