6.5 Практикум: разбор случайного опыта

8 класс · Вероятность◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 6.1–6.4

Школа проводит математическую ярмарку. На четырёх станциях гости тянут карточки, бросают кубики, вынимают шары из мешка и сравнивают результаты стрелкового тира. Организаторам нужно заранее посчитать все вероятности: иначе призовой фонд не сойдётся.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать подходящий инструмент: список исходов, формулу или дерево
• проверять ответ вторым способом и оценивать его правдоподобие
• описывать данные центром и разбросом одновременно
• объяснять, где модель опирается на равновозможность исходов

Станция 1. Карточки и диаграмма

Гость тянет одну из двенадцати карточек с числами от $1$ до $12$. Приз выдают, если число простое или больше $6$.

Лаборатория событий

События, операции и диаграмма Эйлера

В мешке двенадцать одинаковых карточек с числами от 1 до 12; одну достают наугад. Выбери два события и посмотри, из каких исходов складывается результат операции.

n = 12

Событие Aчисло чётноечисло нечётноечисло делится на 3число простоечисло больше 6Благоприятных исходов: 5

Событие Bчисло чётноечисло нечётноечисло делится на 3число простоечисло больше 6Благоприятных исходов: 6

ABA ∪ BA ∩ BĀA \ B

Событие A

5

число простое: {2; 3; 5; 7; 11}.

Событие B

6

число больше 6: {7; 8; 9; 10; 11; 12}.

∪

A ∪ B = {2; 3; 5; 7; 8; 9; 10; 11; 12}; в этом событии 9 из 12 исходов.Событие A ∪ B происходит ровно тогда, когда произошло хотя бы одно из событий. Проверка суммы по областям диаграммы: 3 + 2 + 4 + 3 = 12.

Сколько призов готовитьРазбираем вместе

$A$ — «число простое» $=\{2;\,3;\,5;\,7;\,11\}$, значит $|A|=5$. $B$ — «число больше $6$» $=\{7;\,8;\,9;\,10;\,11;\,12\}$, значит $|B|=6$.

Общая часть: $A\cap B=\{7;\,11\}$, то есть $|A\cap B|=2$.

$|A\cup B|=5+6-2=9,\qquad P(A\cup B)=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}.$

Приз получают три гостя из четырёх — организаторам стоит пересмотреть условие или уменьшить приз.

Станция 2. Два кубика

Гость бросает красный и синий кубики. Исход — пара чисел, всего таких пар $6\cdot6=36$, и они равновозможны.

Сумма	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
Число пар	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$	$1$

Крупный приз обещан за сумму $11$ или больше: таких пар $2+1=3$, поэтому вероятность равна $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$. Мелкий приз — за сумму $7$: вероятность $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

Станция 3. Мешок с шарами

В мешке $3$ красных и $2$ синих шара. Гость вынимает два шара подряд, не возвращая первый. Приз — за два красных.

Посчитай вероятность сам, запиши её дробью и только потом нажми «Проверить»: дерево подскажет ответ.

Лаборатория дерева испытаний

Многошаговый опыт и правило умножения

В мешке лежат красные (К) и синие (С) шары. Шары вынимают по одному; режим определяет, возвращается ли шар обратно.

4 пути

Мешок с шарамиСерия выстрелов

Красных шаров 3От 1 до 5; стрелки клавиатуры меняют число на 1.

Синих шаров 2Всего в мешке 5 шаров.

Извлечений 2Каждый новый шаг ветвит дерево дальше; сейчас у него 4 пути.

Без возвращенияС возвращением

все 2 шара красныехотя бы один красный шарровно один красный шарни одного красного шара

?

Вероятность события «все 2 шара красные» — запиши дробью вида 3/10

Проверить

Пути дерева: вероятность пути — произведение вероятностей его рёбер

Путь	Произведение по рёбрам	Вероятность	Событие
КК	3/5 · 1/2	3/10	?
КС	3/5 · 1/2	3/10	?
СК	2/5 · 3/4	3/10	?
СС	2/5 · 1/4	1/10	?

?

Посчитай вероятность события сам, запиши дробь и нажми «Проверить».Сумма вероятностей всех 4 путей равна 1 — дерево полное, ни один исход не потерян. Подсказка: вероятность каждого пути — произведение чисел на его рёбрах.

↺ Вернуть пример

◆ Паспорт каждого ответа

Рядом с вероятностью запиши четыре вещи: какой опыт, какой список исходов, почему они равновозможны и точный это ответ или оценка по серии. Число без такого паспорта проверить невозможно — и спорить с ним бесполезно.

Станция 4. Тир и разброс

Тир записывает результаты двух гостей по пять выстрелов:

• Дима: $7$, $7$, $8$, $9$, $9$;
• Егор: $5$, $7$, $8$, $10$, $10$.

Средние: $\frac{40}{5}=8$ у обоих. Размахи: $9-7=2$ и $10-5=5$. Дисперсии считаем по таблице квадратов отклонений:

Гость	Отклонения	Квадраты	Сумма	$S^2$
Дима	$-1;\;-1;\;0;\;1;\;1$	$1;\;1;\;0;\;1;\;1$	$4$	$4:5=0{,}8$
Егор	$-3;\;-1;\;0;\;2;\;2$	$9;\;1;\;0;\;4;\;4$	$18$	$18:5=3{,}6$

Средний результат одинаков, но Дима стабильнее более чем вчетверо.

Проверка понимания

Какой инструмент подходит для вопроса «какова вероятность вынуть два красных шара подряд без возвращения»?

• А. Формула P = m/n по числу шаров в мешке
• Б. Дерево испытаний с правилом умножения вдоль пути
• В. Дисперсия результатов серии опытов

Итоговый набор задач

1. Карточки от $1$ до $12$. $A$ — «число простое», $B$ — «число больше $6$». Найди $A\cap B$ и $|A\cup B|$.
2. Для тех же событий найди $P(A)$, $P(B)$ и $P(A\cup B)$ двумя способами.
3. Найди $P(\bar{A})$ для события $A$ из задачи 1 и объясни, что это событие означает словами.
4. Бросают два кубика. Найди вероятность того, что сумма равна $5$.
5. Бросают два кубика. Найди вероятность того, что произведение очков чётно.
6. В мешке $3$ красных и $2$ синих шара, вынимают два шара без возвращения. Найди вероятности событий «оба красных» и «хотя бы один синий».
7. Тот же мешок, но шар возвращают обратно. Найди вероятность двух красных и сравни с предыдущим ответом.
8. Монету бросают трижды. Найди вероятность события «выпало ровно два орла».
9. Стрелок попадает с вероятностью $\frac{2}{5}$, выстрелы независимы. Найди вероятность того, что из двух выстрелов будет хотя бы одно попадание.
10. Найди размах и дисперсию ряда $4$, $4$, $7$, $9$.
11. Сравни разброс рядов Димы и Егора со станции 4 и объясни, почему одного среднего тренеру мало.
12. Организатор считает: «сумма на двух кубиках бывает от $2$ до $12$, значит каждая сумма равновероятна». В чём ошибка и как её исправить?

Ответы, проверки и модели

1. $A=\{2;\,3;\,5;\,7;\,11\}$, $B=\{7;\,8;\,9;\,10;\,11;\,12\}$; $A\cap B=\{7;\,11\}$; $|A\cup B|=5+6-2=9$.
2. $P(A)=\frac{5}{12}$, $P(B)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Прямой счёт: $P(A\cup B)=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$. По правилу сложения: $\frac{5}{12}+\frac{6}{12}-\frac{2}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$ — совпало.
3. $P(\bar{A})=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$; это событие «вытянутое число не простое», то есть $1$ или составное число.
4. Пар с суммой $5$ четыре: $\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.
5. Противоположное событие — «произведение нечётно», а это значит, что оба числа нечётные: $3\cdot3=9$ пар. Значит, $1-\frac{9}{36}=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$.
6. Оба красных: $\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$. Хотя бы один синий — противоположное событие: $1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$.
7. С возвращением $\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{25}$. Это больше, чем $\frac{3}{10}$ ($\frac{9}{25}=0{,}36$ против $0{,}3$): возвращённый красный шар сохраняет шансы второй попытки.
8. Восемь равновозможных путей, ровно два орла дают три из них: $\frac{3}{8}$.
9. Противоположное событие — два промаха: $\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{25}$. Ответ: $1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$.
10. Среднее $\frac{4+4+7+9}{4}=\frac{24}{4}=6$; размах $9-4=5$; отклонения $-2$, $-2$, $1$, $3$ (сумма $0$); квадраты $4$, $4$, $1$, $9$; дисперсия $\frac{18}{4}=4{,}5$.
11. Средние равны $8$, но размахи $2$ и $5$, а дисперсии $0{,}8$ и $3{,}6$. Среднее описывает только центр; без разброса непонятно, насколько результат надёжен.
12. Равновозможны не суммы, а пары чисел на кубиках: их $36$. Сумма $2$ получается одним способом, сумма $7$ — шестью. Исправление: считать долю пар, а не долю сумм.

Рефлексия проекта

1. В каких задачах ответ был точным, а где он опирался на предположение о равновозможности?
2. Какую задачу ты проверил вторым способом? Что дала проверка?
3. Где противоположное событие сократило работу сильнее всего?
4. Какое ограничение реальной ярмарки не учитывает наша модель?

Возможные ответы: все вероятности точны при условии, что карточки, кубики и шары симметричны и перемешаны; задача 2 проверяется прямым счётом и правилом сложения; события «хотя бы один» почти всегда быстрее считать через противоположное; модель не учитывает, что гость может вытянуть карточку не совсем наугад, что кубик слегка несимметричен и что число гостей ограничено.

✦ Мост дальше

Сейчас ты умеешь считать вероятность там, где исходы можно перечислить или разложить по дереву. Дальше появятся опыты, где путей слишком много, чтобы рисовать их поодиночке: понадобятся формулы комбинаторики и понятие независимых событий в общем виде. Разброс данных тоже получит продолжение — из дисперсии извлекут корень и получат величину, измеряемую в тех же единицах, что и сами данные.

Но фундамент останется прежним: список исходов, честная проверка равновозможности и сумма, равная единице.

← Рассеивание данных · К обзору 8 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным