3.1 Неполные квадратные уравнения

8 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: разложение на множители, арифметический квадратный корень, линейные уравнения

Мяч подбросили вертикально вверх со скоростью $20$ м/с. Пока он летит, высота над землёй описывается формулой

$h=20t-5t^2,$

где $t$ — время в секундах, $h$ — высота в метрах. Когда мяч окажется на земле?

Земля — это $h=0$. Значит, надо решить уравнение $20t-5t^2=0$. Линейным его не назовёшь: буква умножается сама на себя.

◎ После урока ты сможешь

• узнавать квадратное уравнение и называть его коэффициенты
• различать три вида неполных квадратных уравнений
• решать неполные уравнения разложением на множители и извлечением корня
• объяснять, почему деление на выражение с переменной теряет корень

Прогноз до вычислений

Ответь рассуждением, без выкладок:

1. Сколько существует моментов времени, когда высота мяча равна нулю?
2. Уравнение $x^2=-4$ — сколько у него корней?

Запиши ответы, к ним вернёмся.

Определение и коэффициенты

∴ Квадратное уравнение

Квадратным уравнением называют уравнение вида

$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0,$

где $a$, $b$, $c$ — числа. Число $a$ — старший коэффициент, $b$ — второй коэффициент, $c$ — свободный член.

Уравнение называют приведённым, если $a=1$, и неполным, если $b=0$ или $c=0$ (или оба сразу).

Условие $a\ne0$ обязательно: при $a=0$ остаётся линейное уравнение $bx+c=0$, и вся теория этой главы к нему не применяется.

В нашем уравнении $20t-5t^2=0$ удобно записать слагаемые по убыванию степени: $-5t^2+20t=0$. Здесь $a=-5$, $b=20$, $c=0$ — свободного члена нет, уравнение неполное.

Эксперимент: что решает знак свободного члена

В лаборатории поставь $b=0$ и меняй только $c$. Следи, как парабола двигается вверх и вниз и сколько раз она встречает ось $x$.

Лаборатория дискриминанта

Один знак решает, сколько корней

Меняй коэффициенты и следи за двумя вещами сразу: за знаком D и за тем, как парабола стоит относительно оси x.

D = b² − 4ac

Коэффициент a 1

−+

Целое от −4 до 4, кроме нуля

Коэффициент b 0

−+

Целое от −12 до 12

Свободный член c −9

−+

Целое от −24 до 24

x² − 9 = 0→D = 36

1. 1

   неполное уравнение вида ax² + c = 0a = 1, b = 0, c = −9

2. 2

   Полный квадрат: x² − 9Вершина параболы: (0; −9)

3. 3

   D > 0 → два различных корняD — точный квадрат, корни рациональные

••

D = 0² − 4·1·(−9) = 36 — два различных корня.Корни: −3; 3. Проверка: значение в корне равно 0.

↺ Вернуть пример

Ты увидишь ровно три сценария для уравнения $x^2+c=0$: при $c<0$ парабола пересекает ось дважды, при $c=0$ касается её в одной точке, при $c>0$ проходит выше и не встречает ось вообще.

Главный инструмент: произведение равно нулю

∴ Условие равенства произведения нулю

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$A\cdot B=0 \iff A=0 \ \text{ или } \ B=0.$

Ни для какой другой правой части такого правила нет: из $A\cdot B=6$ не следует ни $A=6$, ни $B=6$.

Вот ради чего в 7 классе учились раскладывать на множители: сумма про свои нули ничего не рассказывает, а произведение рассказывает всё. Разложение переводит уравнение на язык, где правило выше работает.

Теперь разберём три вида неполных уравнений.

Вид 1: $c=0$, то есть $ax^2+bx=0$. Выносим $x$ за скобку:

$x(ax+b)=0\ \Longrightarrow\ x=0\ \text{ или } \ ax+b=0\ \Longrightarrow\ x_1=0,\quad x_2=-\frac{b}{a}.$

Такое уравнение всегда имеет два корня, и один из них — ноль.

Вид 2: $b=0$, то есть $ax^2+c=0$. Переносим и делим на $a$:

$x^2=-\frac{c}{a}.$

Дальше всё решает знак правой части: если она положительна — два корня $\pm\sqrt{-c/a}$; если равна нулю — один корень $x=0$; если отрицательна — корней нет, потому что квадрат числа не бывает отрицательным.

Вид 3: $b=0$ и $c=0$, то есть $ax^2=0$. Тогда $x^2=0$ и корень один: $x=0$.

Возвращение мячаРазбираем вместе

Решаем $-5t^2+20t=0$. Выносим общий множитель:

$-5t(t-4)=0.$

Произведение равно нулю, значит $-5t=0$ или $t-4=0$, то есть $t_1=0$ и $t_2=4$.

Оба корня осмысленны: $t=0$ — момент броска, $t=4$ — момент приземления. Прогноз о двух моментах подтвердился.

Проверка: при $t=4$ получаем $20\cdot4-5\cdot16=80-80=0$. Верно.

Уравнение без второго коэффициентаРазбираем вместе

Решаем $2x^2-50=0$.

$2x^2=50,\qquad x^2=25,\qquad x=\pm5.$

Проверка для $x=-5$: $2\cdot25-50=0$. Верно. Два корня: $-5$ и $5$.

А уравнение $x^2+16=0$ даёт $x^2=-16$ — корней нет: квадрат любого числа неотрицателен.

Дробный ответРазбираем вместе

Решаем $9x^2-4=0$.

$9x^2=4,\qquad x^2=\frac49,\qquad x=\pm\frac23.$

Проверка: $9\cdot\dfrac49-4=4-4=0$. Верно.

Мостик к следующему уроку

Тем же приёмом решается уравнение, в котором квадрат уже собран:

$(x-3)^2=16\ \Longrightarrow\ x-3=4\ \text{ или } \ x-3=-4\ \Longrightarrow\ x_1=7,\quad x_2=-1.$

Проверка: $(7-3)^2=16$ и $(-1-3)^2=16$. Оба корня подходят.

Запомни этот шаг: на следующем уроке мы научимся приводить любое квадратное уравнение к такому виду.

Проверка понимания

Сколько корней у уравнения 5x² − 45 = 0?

• А. Один: x = 3
• Б. Два: x = 3 и x = −3
• В. Корней нет

! Сокращение на x убивает корень

В уравнении $3x^2-12x=0$ соблазнительно «сократить на $x$» и получить $3x-12=0$, то есть $x=4$. Но корень $x=0$ при этом исчез: подставь его в исходное уравнение — $0-0=0$, равенство верное.

Делить обе части на выражение с переменной нельзя, пока не доказано, что оно не равно нулю. Правильный ход — вынести множитель, а не сократить его:

$3x(x-4)=0\ \Longrightarrow\ x_1=0,\quad x_2=4.$

Вторая частая потеря — знак в уравнении $x^2=25$. Корней два: $5$ и $-5$. Запись $\sqrt{25}=5$ говорит о другом: арифметический квадратный корень по определению неотрицателен.

Практика

Реши уравнения. Каждый корень проверь подстановкой.

1. $x^2-49=0$
2. $4x^2-36=0$
3. $x^2+9=0$
4. $3x^2=0$
5. $x^2-7x=0$
6. $5x^2+15x=0$
7. $2x^2-8x=0$
8. $9x^2-4=0$
9. $(x+2)^2=9$
10. $(x-5)^2=0$
11. $-x^2+16=0$
12. Площадь квадратной клумбы равна $0{,}25\ \text{м}^2$. Найди её сторону.

Ответы и пояснения

1. $x^2=49$, значит $x=\pm7$. Проверка: $49-49=0$.
2. $4x^2=36$, $x^2=9$, $x=\pm3$. Проверка: $4\cdot9-36=0$.
3. $x^2=-9$ — корней нет: квадрат неотрицателен.
4. $x^2=0$, единственный корень $x=0$.
5. $x(x-7)=0$, корни $x_1=0$, $x_2=7$. Проверка: $49-7\cdot7=0$.
6. $5x(x+3)=0$, корни $x_1=0$, $x_2=-3$. Проверка: $5\cdot9+15\cdot(-3)=45-45=0$.
7. $2x(x-4)=0$, корни $x_1=0$, $x_2=4$. Проверка: $2\cdot16-8\cdot4=32-32=0$.
8. $x^2=\dfrac49$, значит $x=\pm\dfrac23$. Проверка: $9\cdot\dfrac49-4=0$.
9. $x+2=\pm3$, корни $x_1=1$, $x_2=-5$. Проверка: $(1+2)^2=9$ и $(-5+2)^2=9$.
10. $x-5=0$, единственный корень $x=5$.
11. $x^2=16$, значит $x=\pm4$. Проверка: $-16+16=0$.
12. Уравнение $x^2=0{,}25$ даёт $x=\pm0{,}5$. Сторона положительна, поэтому подходит только $x=0{,}5$ м. Отрицательный корень отбрасываем не «на всякий случай», а по смыслу задачи.

Итог

• Квадратное уравнение — это $ax^2+bx+c=0$ при $a\ne0$; проверка условия $a\ne0$ идёт первой.
• Уравнение $ax^2+bx=0$ решается вынесением множителя и всегда имеет корень $x=0$.
• Уравнение $ax^2+c=0$ сводится к $x^2=k$: два корня при $k>0$, один при $k=0$, ни одного при $k<0$.
• Сокращать на выражение с переменной нельзя — корень теряется без предупреждения.

Неполные уравнения решаются быстро именно потому, что квадрат в них уже «собран». На следующем уроке мы соберём квадрат в любом уравнении — и получим формулу, работающую всегда.

← Вход в тему · Дальше: полный квадрат и дискриминант →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным