2.5 Практикум: арка, цена и допуск

9 класс · Алгебра◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 2.1–2.4

Три задачи, три вопроса — и одна и та же парабола под ними.

Свод тоннеля спрашивает «какая высота в данной точке». Киоск с кофе спрашивает «где максимум». Договор с поставщиком спрашивает «в каком диапазоне цен условие выполняется». Первый вопрос — про значение функции, второй — про вершину, третий — про неравенство.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать инструмент под вопрос: значение функции, вершину или неравенство
• составлять квадратичную модель по описанию ситуации
• проверять ответ вторым способом и оценивать его правдоподобие
• называть ограничения модели и область допустимых значений переменной

Станция 1. Свод тоннеля

Свод пешеходного тоннеля имеет форму параболы. Если считать $x$ расстоянием от середины прохода в метрах, то высота свода описывается формулой

$h=4-x^2.$

Лаборатория квадратичной функции

Три коэффициента задают одну параболу

Меняй a, b и c и следи сразу за тремя вещами: направлением ветвей, положением вершины и числом точек пересечения с осью x.

y = ax² + bx + c

Коэффициент a −1

−+

Целое от −4 до 4, кроме нуля

Коэффициент b 0

−+

Целое от −12 до 12

Свободный член c 4

−+

Целое от −24 до 24

y = −x² + 4→D = 16

Значения в точках, симметричных относительно оси x = 0

x	−2	−1	0	1	2
y	0	3	4	3	0

1. 1

   Ветви направлены внизЗнак старшего коэффициента: a = −1. В вершине достигается наибольшее значение.

2. 2

   Вершина (0; 4), ось симметрии x = 0x₀ = −b/(2a) = −(0) / (2·−1); y₀ = −D/(4a).

3. 3

   два нуля: x = −2 и x = 2D = 16; график пересекает ось y в точке (0; 4).

4. 4

   Убывает на [0; +∞), возрастает на (−∞; 0]Область значений: y ⩽ 4. Выше оси x: −2 < x < 2. Ниже оси x: x < −2 или x > 2.

∩

y = −x² + 4: вершина (0; 4), ось симметрии x = 0.Ветви направлены вниз, поэтому в вершине достигается наибольшее значение. Область значений: y ⩽ 4.

↺ Вернуть пример

Читаем размеры прямо с графикаРазбираем вместе

Вершина: $a=-1$, $b=0$, поэтому $x_0=0$ и $h(0)=4$. Наибольшая высота тоннеля — $4$ м, ровно посередине.

Ширина у земли: решаем $4-x^2=0$, откуда $x=\pm2$. Края свода отстоят от середины на $2$ м, значит проход имеет ширину $4$ м.

Ширина на высоте $3$ м: $4-x^2=3$ даёт $x^2=1$ и $x=\pm1$. На этой высоте между стенками остаётся всего $2$ м.

Отсюда сразу видно ограничение модели: свод — не прямоугольник, и чем выше груз, тем уже становится проход.

Станция 2. Цена в киоске

Киоск продаёт кофе. Наблюдения показали: при цене $x$ рублей за стакан за день покупают примерно $200-x$ стаканов. Себестоимость одного стакана — $50$ рублей.

Дневная прибыль равна «прибыль с одного стакана, умноженная на число стаканов»:

$P=(x-50)(200-x)=-x^2+250x-10\,000.$

Где максимум прибылиРазбираем вместе

Ветви вниз, так как $a=-1$. Значит, наибольшее значение стоит в вершине:

$x_0=-\frac{250}{2\cdot(-1)}=125.$

Подставим: $P(125)=-15\,625+31\,250-10\,000=5\,625$.

Проверим вторым способом, без формулы вершины: при цене $125$ рублей продаётся $200-125=75$ стаканов, прибыль с каждого равна $125-50=75$ рублей, итого $75\cdot75=5\,625$ рублей. Совпало.

Модель работает не при всех $x$: при $x<50$ прибыль с каждого стакана отрицательна, а при $x>200$ покупателей не остаётся. Разумная область — $50<x<200$.

Станция 3. Диапазон допустимых цен

Владелец согласен на любую цену, при которой дневная прибыль составит не меньше $5\,000$ рублей. Это уже не поиск максимума, а неравенство:

$-x^2+250x-10\,000\geqslant 5\,000.$

Реши его самостоятельно, а потом сверься с ответом в общем списке. Потренироваться на более простых неравенствах можно здесь — график появляется только после проверки:

Лаборатория квадратных неравенств

Предскажи форму ответа, потом посмотри на параболу

Неравенство задано, график скрыт. Реши его в уме или на бумаге, выбери форму ответа и только потом проверь себя.

ax² + bx + c ⋛ 0

Неравенство № 1 из 6Следующее неравенство

x² − 5x + 6 > 0→D = ?

промежуток между корнямидва луча вне корнейвся числовая прямаярешений нетодно числовся прямая без одной точкиПроверить

?

Какой формы будет ответ?Найди нули трёхчлена, представь параболу и выбери форму множества решений. График появится после проверки.

↺ Вернуть пример

◆ Паспорт ответа

Рядом с каждым числом запиши четыре вещи: что оно означает, в каких единицах получено, точное оно или приближённое и при каком ограничении модели верно.

Цена $125$ рублей без пометки «модель считает спрос равным $200-x$ и верна примерно при $50<x<200$» — это просто число, которое нечем проверить.

Станция 4. Быстрый разбор вершины

Последний прогон перед итоговым набором: функция задана стандартным видом, вершину нужно назвать в уме.

Лаборатория преобразований графика

Найди вершину, не рисуя график

Функция задана стандартным видом. Определи, на сколько и куда сдвинут эталон y = x², и только потом проверь себя рисунком.

y = a(x − m)² + n

Функция № 1 из 6Следующая функция

y = x² − 6x + 5→вершина (?; ?)

Моя вершина

Абсцисса вершины m 0−5−4−3−2−1012345Это же число — сдвиг вдоль оси x.

Ордината вершины n 0−5−4−3−2−1012345Это же число — сдвиг вдоль оси y.

Проверить

?

Куда уехала вершина?Выдели полный квадрат или найди вершину по формуле x₀ = −b/(2a). График появится после проверки.

↺ Вернуть пример

Проверка понимания

Вопрос: «При каких ценах дневная прибыль будет не меньше 5000 рублей?» Что нужно решать?

• А. Искать вершину параболы
• Б. Решать уравнение P(x) = 5000
• В. Решать неравенство P(x) ⩾ 5000

Итоговый набор задач

1. Назови $a$, $b$, $c$ и направление ветвей для $y=-3x^2+12x-7$.
2. Найди вершину этой параболы.
3. Укажи её область значений и наибольшее значение функции.
4. Запиши $y=x^2-10x+21$ в вершинной форме.
5. Найди нули функции $y=x^2-10x+21$.
6. При каких $x$ график из задачи 5 лежит выше оси $x$?
7. Реши неравенство $-2x^2+8x\geqslant 0$.
8. Свод тоннеля задан формулой $h=4-x^2$. Какова ширина прохода у земли и на высоте $3$ м?
9. Пройдёт ли через этот тоннель фургон шириной $2$ м и высотой $3$ м?
10. Прибыль киоска равна $P=(x-50)(200-x)$. При какой цене она наибольшая и чему равна?
11. При каких ценах прибыль будет не меньше $5\,000$ рублей?
12. Сравни число точек пересечения с осью $x$ у графиков $y=x^2-4x+4$ и $y=x^2-4x+5$.

Ответы, модели и проверки

1. $a=-3$, $b=12$, $c=-7$; ветви вниз.
2. $x_0=-\dfrac{12}{2\cdot(-3)}=2$, $y_0=-12+24-7=5$. Вершина $(2;5)$.
3. Ветви вниз, поэтому область значений $y\leqslant5$, наибольшее значение равно $5$.
4. $x^2-10x+21=(x^2-10x+25)-25+21=(x-5)^2-4$. Вершина $(5;-4)$.
5. $D=100-84=16$, $x=\dfrac{10\pm4}{2}$: нули $3$ и $7$. Проверка осью симметрии: $\dfrac{3+7}{2}=5$.
6. Ветви вверх, выше оси — вне нулей: $x<3$ или $x>7$, то есть $(-\infty;3)\cup(7;+\infty)$.
7. Умножим на $-1$: $2x^2-8x\leqslant0$, то есть $2x(x-4)\leqslant0$. Нули $0$ и $4$, ветви вверх, ответ $0\leqslant x\leqslant4$, то есть $[0;\ 4]$.
8. У земли $h=0$ даёт $x=\pm2$ — ширина $4$ м. На высоте $3$ м: $x^2=1$, $x=\pm1$ — ширина $2$ м.
9. Фургон шириной $2$ м занимает полосу от $-1$ до $1$, а над её краями свод как раз на высоте $3$ м. Запаса нет совсем: формально «впритык», практически проезжать нельзя.
10. $P=-x^2+250x-10\,000$, $x_0=125$ рублей, $P(125)=5\,625$ рублей.
11. $-x^2+250x-10\,000\geqslant5\,000$ приводится к $x^2-250x+15\,000\leqslant0$. $D=62\,500-60\,000=2\,500$, $\sqrt{D}=50$, корни $\dfrac{250\pm50}{2}$: $100$ и $150$. Ответ: $100\leqslant x\leqslant150$ рублей. Проверка: $P(100)=-10\,000+25\,000-10\,000=5\,000$.
12. У первой $D=16-16=0$ — одна общая точка, касание при $x=2$. У второй $D=16-20=-4<0$ — общих точек нет, весь график выше оси $x$.

Рефлексия проекта

1. В какой из трёх станций ответом было число, а в какой — целый промежуток? Почему?
2. Какую задачу ты проверил вторым способом и что именно совпало?
3. Какое реальное ограничение не учитывает модель тоннеля и модель спроса?

Возможные ответы: тоннель и максимум прибыли дают числа, условие «не меньше $5\,000$» — промежуток цен; прибыль в вершине проверяется прямым счётом «$75$ стаканов по $75$ рублей»; модель тоннеля не учитывает толщину облицовки, зеркала и запас безопасности, а модель спроса — что зависимость $200-x$ приближённая и верна лишь в узком диапазоне цен.

✦ Мост дальше

Парабола — первый случай, когда по формуле удалось предсказать поведение функции целиком: где она растёт, где убывает и где достигает максимума. Дальше этот же вопрос будут задавать про любые функции, и отвечать на него будет общий аппарат, а не отдельная формула вершины.

А метод «нули плюс знак на промежутках» переносится с квадратного трёхчлена почти без изменений на более сложные неравенства.

← Квадратные неравенства · К обзору 9 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным