4.4 Параллельные прямые

7 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: смежные и вертикальные углы, признаки равенства треугольников, перпендикуляр

Две прямые на листе тянутся вправо и почти не сближаются. Пересекутся ли они где-нибудь за краем стола? За краем комнаты? Проверить продолжением невозможно — прямая бесконечна. Значит, ответ должен давать не глаз, а измеримый признак прямо здесь, на листе.

◎ После урока ты сможешь

• называть накрест лежащие, односторонние и соответственные углы при секущей
• доказывать параллельность прямых по трём признакам
• формулировать аксиому параллельных прямых и понимать её роль
• вычислять углы, зная, что прямые параллельны
• доказывать свойства параллелограмма через накрест лежащие углы

Прогноз до вычислений

Прямые $a$ и $b$ пересечены третьей прямой. Углы, которые она образует с $a$ и с $b$ по разные стороны от себя, оказались равны $65°$ и $65°$. Как ты думаешь: пересекутся ли $a$ и $b$? А если бы углы были $65°$ и $67°$?

Определение и первый признак

∴ Определение

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Записывают $a \parallel b$.

Начнём с утверждения, которое понадобится дальше как рабочий инструмент.

◆ Единственность перпендикуляра

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной. Если бы таких прямых было две, то при перегибании плоскости по данной прямой они наложились бы друг на друга и совпали.

Теорема 6. Две различные прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Дано: $a \perp c$, $b \perp c$, прямые $a$ и $b$ различны.

Доказать: $a \parallel b$.

Доказательство (от противного). Предположим, что $a$ и $b$ пересекаются в некоторой точке $M$. Точка $M$ не лежит на прямой $c$: иначе $a$ и $b$ проходили бы через одну точку прямой $c$ перпендикулярно ей и по единственности перпендикуляра совпали бы, а они различны.

Значит, через точку $M$, не лежащую на $c$, проходят две различные прямые, перпендикулярные $c$. Это противоречит единственности перпендикуляра. Предположение неверно, поэтому $a$ и $b$ не пересекаются, то есть $a \parallel b$. $\blacksquare$

Восемь углов при секущей

∴ Определение

Прямая $c$ называется секущей для прямых $a$ и $b$, если она пересекает их в двух различных точках. При этом образуется восемь углов.

Углы $3$, $4$, $5$, $6$ лежат между прямыми $a$ и $b$ — их называют внутренними. Остальные четыре — внешние. Пары получают имена по расположению относительно секущей:

• накрест лежащие — внутренние по разные стороны от секущей: $\angle 3$ и $\angle 6$; $\angle 4$ и $\angle 5$;
• односторонние — внутренние по одну сторону от секущей: $\angle 3$ и $\angle 5$; $\angle 4$ и $\angle 6$;
• соответственные — занимают одинаковое положение у каждой прямой: $\angle 1$ и $\angle 5$; $\angle 2$ и $\angle 6$; $\angle 3$ и $\angle 7$; $\angle 4$ и $\angle 8$.

Признаки параллельности

Теорема 7. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: секущая пересекает $a$ в точке $P$ и $b$ в точке $Q$; накрест лежащие углы равны: $\angle 4 = \angle 5$.

Доказать: $a \parallel b$.

Доказательство. Если $\angle 4 = \angle 5 = 90°$, то обе прямые перпендикулярны секущей и по теореме 6 параллельны.

Пусть теперь эти углы не прямые. Возьмём точку $O$ — середину отрезка $PQ$ — и проведём из неё перпендикуляр $OH$ к прямой $a$. На прямой $b$ отложим от точки $Q$ отрезок $QH_1 = PH$ так, чтобы точки $H$ и $H_1$ лежали по разные стороны от секущей. Сравним треугольники $OPH$ и $OQH_1$:

1. $OP = OQ$ — так как $O$ середина;
2. $PH = QH_1$ — по построению;
3. $\angle OPH = \angle OQH_1$ — это и есть равные накрест лежащие углы.

По признаку I $\triangle OPH = \triangle OQH_1$, значит $\angle POH = \angle QOH_1$ и $\angle OH_1Q = \angle OHP = 90°$.

Лучи $OP$ и $OQ$ дополнительные, а лучи $OH$ и $OH_1$ образуют с ними равные углы по разные стороны от секущей. Поэтому лучи $OH$ и $OH_1$ тоже дополнительные, то есть точки $H$, $O$, $H_1$ лежат на одной прямой. Эта прямая перпендикулярна и $a$, и $b$, значит по теореме 6

$a \parallel b. \qquad \blacksquare$

Остальные два признака выводятся из теоремы 7 углами из урока 4.1.

∴ Три признака параллельности

Прямые $a$ и $b$ параллельны, если при секущей:

• накрест лежащие углы равны ($\angle 3 = \angle 6$);
• соответственные углы равны ($\angle 2 = \angle 6$), ведь $\angle 2 = \angle 3$ как вертикальные, и мы возвращаемся к накрест лежащим;
• односторонние углы в сумме дают $180°$ ($\angle 4 + \angle 6 = 180°$), ведь $\angle 3 + \angle 4 = 180°$ как смежные, откуда $\angle 3 = \angle 6$.

Аксиома параллельных

Признаки позволяют прямые построить. Но чтобы обратно извлекать равенство углов из параллельности, нужно ещё одно утверждение — и доказать его невозможно.

∴ Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Математики две тысячи лет пытались вывести её из остальных аксиом. Не получилось — и оказалось, что не могло получиться: существует непротиворечивая геометрия, в которой эта аксиома не выполняется. Её построил Николай Лобачевский. Наша школьная геометрия — та, где аксиома принята.

Теорема 8 (свойство). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Доказательство (от противного). Пусть $a \parallel b$, секущая пересекает их в точках $P$ и $Q$, но $\angle 4 \ne \angle 5$. Проведём через точку $P$ прямую $a'$ так, чтобы накрест лежащий угол с $\angle 5$ был ей равен. По теореме 7 получим $a' \parallel b$.

Прямая $a'$ не совпадает с $a$: углы, которые они образуют с секущей, различны. Значит, через точку $P$ проходят две различные прямые, параллельные $b$. Это противоречит аксиоме параллельных. Предположение неверно, поэтому $\angle 4 = \angle 5$. $\blacksquare$

Следствия. При параллельных прямых и секущей соответственные углы равны, а односторонние в сумме дают $180°$. Оба следствия получаются из теоремы 8 через вертикальные и смежные углы.

Управляемый эксперимент

Переключай вид пары углов и меняй наклон секущей. Все величины вычислены, а не подогнаны.

Лаборатория доказательств

Углы, которые нельзя нарисовать неправильно

Все величины на чертеже вычислены из одного угла — проверь, что теоремы выполняются при любом наклоне.

исследование

Две пересекающиеся прямыеПараллельные прямые и секущая

Угол между секущей и прямой a65°

−+

От 15° до 165°, шаг кнопок 5°

соответственныенакрест лежащиеодносторонние

∥

Углы накрест лежащие равны: оба по 65°.Это работает только потому, что прямые a и b параллельны: наклон секущей к обеим прямым один и тот же.

↺ Вернуть пример

Восемь углов из одногоРазбираем вместе

Прямые $a$ и $b$ параллельны, а секущая образует с прямой $a$ угол $52°$. Найдём все восемь углов.

При точке $P$: данный угол $52°$, смежный с ним $180° - 52° = 128°$, вертикальные им — снова $52°$ и $128°$.

При точке $Q$ соответственный угол равен $52°$ по следствию из теоремы 8, а дальше так же: $128°$, $52°$, $128°$.

Итог: четыре угла по $52°$ и четыре по $128°$. Проверка: у каждой точки пересечения сумма четырёх углов равна

$52° + 128° + 52° + 128° = 360°.$

Односторонние углы в отношенииРазбираем вместе

При параллельных прямых односторонние углы относятся как $4 : 5$. Найдём их.

Пусть углы равны $4x$ и $5x$. Односторонние углы при параллельных прямых дают в сумме $180°$:

$4x + 5x = 180°, \qquad 9x = 180°, \qquad x = 20°.$

Углы равны $4 \cdot 20° = 80°$ и $5 \cdot 20° = 100°$.

Проверка: $80° + 100° = 180°$ и $80 : 100 = 4 : 5$. $\blacksquare$

Проверка понимания

Прямые a и b параллельны, секущая образует с прямой a угол 70°. Чему равен односторонний с ним угол при прямой b?

• А. 110°
• Б. 70°
• В. 20°

! Три частые ошибки

Путать признак и свойство. Признак идёт от углов к параллельности: «углы равны — значит, прямые параллельны». Свойство идёт обратно: «прямые параллельны — значит, углы равны». Свойство работает только тогда, когда параллельность уже известна.

Считать односторонние углы равными. Они дают в сумме $180°$. Равными они бывают только если оба равны $90°$.

Применять свойство без параллельности. Если про прямые ничего не известно, из чертежа нельзя брать равенство накрест лежащих углов — его сначала нужно обосновать.

Первая награда: параллелограмм

Накрест лежащие углы — не самоцель. Вот фигура, все свойства которой они выдают за один ход.

∴ Определение

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

Наглядно ты встречал его в 6 классе: там равенство противоположных сторон проверяли линейкой. Теперь линейка не нужна.

Теорема (о диагонали). Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, то есть $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$; проведена диагональ $AC$.

Доказать: $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Доказательство. Диагональ $AC$ работает секущей сразу для двух пар параллельных прямых.

1. Для пары $AB \parallel CD$ углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ — накрест лежащие, поэтому по теореме 8 $\angle BAC = \angle DCA$.
2. Для пары $BC \parallel AD$ накрест лежащими оказываются $\angle BCA$ и $\angle DAC$, поэтому $\angle BCA = \angle DAC$.
3. Сторона $AC$ у треугольников $ABC$ и $CDA$ общая.

В треугольнике $ABC$ к стороне $AC$ прилежат углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$; в треугольнике $CDA$ к той же стороне прилежат равные им $\angle DCA$ и $\angle DAC$. По признаку II (сторона и два прилежащих угла)

$\triangle ABC = \triangle CDA. \qquad \blacksquare$

Теорема (свойства параллелограмма). В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Доказательство. В равных треугольниках $ABC$ и $CDA$ соответственные элементы равны. Вершине $A$ отвечает вершина $C$, вершине $B$ — вершина $D$, вершине $C$ — вершина $A$. Значит,

$AB = CD, \qquad BC = DA, \qquad \angle B = \angle D.$

Осталось сравнить углы $A$ и $C$: диагональ разбивает каждый из них на две части,

$\angle A = \angle BAC + \angle CAD, \qquad \angle C = \angle DCA + \angle ACB.$

Слагаемые попарно равны по шагам 1 и 2 предыдущего доказательства, поэтому $\angle A = \angle C$. $\blacksquare$

✦ Следствие: соседние углы дают 180°

Углы $\angle A$ и $\angle B$ — односторонние при параллельных $AD$ и $BC$ с секущей $AB$, значит $\angle A + \angle B = 180°$. То же верно для любой другой пары соседних углов. Отсюда сразу видно, что все четыре угла параллелограмма дают в сумме $180° + 180° = 360°$.

Все углы и периметр по одному углу и двум сторонамРазбираем вместе

В параллелограмме $ABCD$ известно: $\angle A = 58°$, $AB = 9$ см, $BC = 5$ см.

Противоположные углы равны, поэтому $\angle C = \angle A = 58°$. Соседний угол дополняет $\angle A$ до развёрнутого:

$\angle B = 180° - 58° = 122°, \qquad \angle D = \angle B = 122°.$

Проверка: $58° + 122° + 58° + 122° = 360°$ — ровно столько, сколько обещает следствие.

Противоположные стороны равны, значит $CD = AB = 9$ см и $AD = BC = 5$ см, а периметр равен

$P = 2 \cdot (9 + 5) = 28\ \text{см}.$

Практика

1. Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей; накрест лежащие углы равны $65°$ и $65°$. Параллельны ли прямые?
2. Соответственные углы при двух прямых и секущей равны $118°$ и $120°$. Параллельны ли прямые?
3. Прямые $a$ и $b$ параллельны, секущая образует с $a$ угол $52°$. Найди все восемь углов.
4. При параллельных прямых один из односторонних углов равен $70°$. Найди второй.
5. При параллельных прямых один из накрест лежащих углов равен $43°$. Найди второй и односторонний с ним.
6. Односторонние углы при параллельных прямых относятся как $4 : 5$. Найди их.
7. Один из односторонних углов при параллельных прямых на $30°$ больше другого. Найди углы.
8. Две прямые перпендикулярны третьей. Как они расположены друг относительно друга?
9. Известно, что $a \parallel b$ и $c \perp a$. Верно ли, что $c \perp b$?
10. Верно ли утверждение: «если односторонние углы при секущей равны, то прямые не параллельны»?
11. В параллелограмме $ABCD$ известно: $\angle A = 58°$, $AB = 9$ см, $BC = 5$ см. Найди остальные три угла, остальные две стороны и периметр.
12. Периметр параллелограмма равен $34$ см, а одна из сторон на $3$ см больше соседней. Найди все четыре стороны.

Ответы и пояснения

1. Да, по признаку: равные накрест лежащие углы дают параллельность.
2. Нет. Если бы прямые были параллельны, соответственные углы были бы равны. Раз $118° \ne 120°$, прямые пересекаются.
3. Четыре угла по $52°$ и четыре по $128°$, так как $180° - 52° = 128°$.
4. $180° - 70° = 110°$.
5. Накрест лежащий равен $43°$, односторонний с ним равен $180° - 43° = 137°$.
6. $4x + 5x = 180°$, $x = 20°$; углы $80°$ и $100°$.
7. $x + (x + 30°) = 180°$, $x = 75°$; углы $75°$ и $105°$.
8. Параллельны — по теореме 6.
9. Да. Секущая $c$ образует с $a$ угол $90°$; соответственный ему угол при $b$ тоже равен $90°$, значит $c \perp b$.
10. Неверно. Если оба односторонних угла равны $90°$, их сумма равна $180°$, и прямые параллельны. Во всех остальных случаях равные односторонние углы действительно означают, что прямые пересекаются.
11. $\angle C = \angle A = 58°$ как противоположные; $\angle B = 180° - 58° = 122°$ как соседний с $\angle A$, и $\angle D = \angle B = 122°$. Стороны: $CD = AB = 9$ см, $AD = BC = 5$ см. Периметр $P = 2 \cdot (9 + 5) = 28$ см.
12. Пусть меньшая сторона равна $x$ см, тогда соседняя равна $x + 3$. Противоположные стороны равны, поэтому $2 \cdot (x + x + 3) = 34$, то есть $2x + 3 = 17$ и $x = 7$. Стороны: $7$, $10$, $7$ и $10$ см; проверка $2 \cdot (7 + 10) = 34$.

Итог

• Параллельные прямые — прямые на плоскости, которые не пересекаются.
• Признаки: равные накрест лежащие, равные соответственные или дополняющие до $180°$ односторонние углы.
• Аксиома параллельных: через точку вне прямой проходит ровно одна параллельная ей прямая.
• Свойство (теорема 8) — обратное к признаку, и оно доказывается именно через аксиому.
• Первая награда за теорему 8 — параллелограмм: диагональ делит его на два равных треугольника, откуда следуют равенство противоположных сторон и равенство противоположных углов.

Теперь есть всё, чтобы доказать главную теорему главы: сумму углов треугольника.

← Равнобедренный треугольник · Дальше: сумма углов треугольника →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным