Алгебраические дроби

8 класс · Алгебра◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: обыкновенные дроби, многочлены, разложение на множители, линейные уравнения

Обычная дробь $\dfrac{7}{4}$ всегда имеет смысл: знаменатель — фиксированное число, и оно не ноль. А что будет с дробью $\dfrac{7}{x-4}$?

Пока $x$ не назван, ответить нельзя. При $x=6$ дробь равна $3{,}5$, при $x=4{,}1$ — уже $70$, при $x=4{,}001$ — $7000$, а при $x=4$ её просто не существует. Одна и та же запись то работает, то теряет смысл — и различает эти случаи только знаменатель.

Так появляется новый объект: алгебраическая дробь. Она ведёт себя как обыкновенная — сокращается, складывается, умножается по тем же законам, — но у неё есть паспорт: список значений буквы, при которых работать с ней нельзя.

◎ После урока ты сможешь

• находить допустимые значения переменной и объяснять, почему остальные запрещены
• сокращать алгебраические дроби через разложение на множители
• складывать и вычитать дроби с разными знаменателями
• умножать, делить и возводить дроби в степень
• решать простейшие рациональные уравнения и отсеивать посторонние корни

◆ Главная договорённость главы

Преобразование алгебраической дроби считается верным, если новая запись даёт то же значение при всех допустимых значениях буквы. Поэтому у каждого ответа два этажа: сама запись и условие вида $x\ne3$, которое досталось от исходного выражения.

Входная диагностика

Отвечай по смыслу — эти вопросы про 6 и 7 класс.

1. Сократи обыкновенную дробь $\dfrac{18}{24}$.
2. Приведи $\dfrac{1}{6}$ и $\dfrac{1}{4}$ к общему знаменателю.
3. Чему равно $\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{9}{8}$?
4. Чему равно $\dfrac{3}{5}:\dfrac{6}{25}$?
5. Разложи на множители $x^2-25$.
6. Разложи на множители $5a+10$.
7. Реши уравнение $2x-6=0$.
8. Почему на ноль делить нельзя?

Ответы для самопроверки

1. $\dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4}$: числитель и знаменатель разделили на $6$.
2. Общий знаменатель $12$: $\dfrac{2}{12}$ и $\dfrac{3}{12}$.
3. $\dfrac{2\cdot9}{3\cdot8}=\dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4}$.
4. $\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{25}{6}=\dfrac{75}{30}=\dfrac{5}{2}=2{,}5$.
5. $(x-5)(x+5)$.
6. $5(a+2)$.
7. $x=3$.
8. Равенство $a:0=c$ означало бы $c\cdot0=a$, а произведение с нулём всегда равно нулю. При $a\ne0$ такого $c$ нет, при $a=0$ подходит любое.

Договорённости главы

• Буквы обозначают числа, поэтому работают все привычные законы арифметики.
• Сокращать можно только множители, и никогда — слагаемые.
• Каждое преобразование сопровождается условием на переменную; условие берут из исходной записи, а не из ответа.
• Корни рационального уравнения обязательно проверяются на допустимость: посторонний корень — не ошибка вычислений, а неизбежный спутник метода.

Маршрут главы

1. Алгебраическая дробь и допустимые значения — учимся читать паспорт дроби.
2. Основное свойство и сокращение — переносим правило $\dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4}$ на буквы.
3. Сложение и вычитание — приводим к общему знаменателю и не теряем скобки.
4. Умножение, деление и степень — самые простые действия и самые незаметные запреты.
5. Рациональные уравнения — решаем и отсеиваем посторонние корни.
6. Практикум — собираем всё вместе на смешанных задачах.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 6 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с вопроса, которого не было у обыкновенных дробей: где эта дробь теряет смысл?