1.6 Практикум: площадка, ограда и мозаика

8 класс · Алгебра◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 1.1–1.5

Во дворе школы делают квадратную площадку площадью $45\text{ м}^2$ : её нужно разметить, обнести бордюром и выложить квадратной плиткой. Три задачи — три разных требования к ответу.

Для разметки нужна точная запись стороны. Для закупки бордюра — приближение с избытком, иначе не хватит. Для раскладки плитки — целое число рядов, то есть приближение с недостатком. Одно и то же число, три разных округления, и каждое должно быть обосновано.

Станция 1. Разметка площадки

Сторона площадки равна $\sqrt{45}$ м. Сначала запишем это число точно и коротко.

Число под корнем45

Целое число от 2 до 10000

Множитель перед корнем

Число под корнем

Приведи √45 к простейшему виду.Найди наибольший квадратный делитель подкоренного числа, вынеси его корень и запиши ответ в двух полях.

Точная запись и её проверкаРазбираем вместе

Наибольший квадратный делитель числа $45$ — это $9$ , поэтому

$\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}.$

Проверка внесением множителя: $3^2\cdot5=9\cdot5=45$ . Совпало.

Записи $\sqrt{45}$ и $3\sqrt{5}$ обозначают одно и то же число. Вторая удобнее: сразу видно, что оно чуть больше $3\cdot2{,}2=6{,}6$ .

Станция 2. Бордюр по периметру

Теперь нужна оценка. Зажмём сторону между сотыми.

Число под корнем45От 0,01 до 10000; можно вводить десятичную дробь.

Приближение с недостатком

Зажми √45 с точностью до сотых.Запиши приближение с недостатком — наибольшее число нужного разряда, квадрат которого не больше подкоренного числа. Затем нажми «Проверить».

$6{,}70^2=44{,}89\le45$ , а $6{,}71^2=45{,}0241>45$ , поэтому

$6{,}70<\sqrt{45}<6{,}71.$

Периметр равен $4\sqrt{45}$ , значит он заключён между $26{,}80$ и $26{,}84$ м. Для закупки берут с избытком: $26{,}9$ м, а лучше с запасом на стыки.

Станция 3. Мозаика

Плитка квадратная, площадью $2\text{ дм}^2$ ; её сторона равна $\sqrt{2}$ дм. Ряд плитки укладывают вдоль отрезка длиной $20$ дм.

Сколько целых плиток поместится? Проверим кандидатов внесением множителя:

$14\sqrt{2}=\sqrt{392},\qquad 15\sqrt{2}=\sqrt{450}.$

Так как $392<400\le450$ , получаем $14\sqrt{2}<20<15\sqrt{2}$ . Помещается ровно $14$ плиток, и никакие приближённые вычисления для этого вывода не понадобились.

Проверка понимания

Для закупки бордюра по периметру площадки какое значение стороны нужно взять?

Итоговый набор задач

Найди точное значение стороны квадрата площадью $45\text{ м}^2$ и вынеси множитель из-под корня.
Найди приближение этой стороны до сотых с недостатком и с избытком.
Сколько метров бордюра нужно на периметр площадки? Округли с избытком до десятых.
Плитка квадратная площадью $2\text{ дм}^2$ . Найди её сторону точно и приближённо до сотых.
Сколько целых плиток из задачи 4 уложится в ряд длиной $20$ дм? Обоснуй без калькулятора.
Вычисли $\sqrt{8}\cdot\sqrt{18}$ .
Упрости $2\sqrt{12}-\sqrt{27}$ .
Найди значение $(2\sqrt{3})^2$ .
Реши уравнение $x^2=20$ и запиши ответ точно.
Что больше: $\sqrt{99}$ или $9{,}9$ ?
Рационально ли число $\sqrt{50}\cdot\sqrt{2}$ ?
Комната квадратная, площадью $30\text{ м}^2$ . Поместится ли в ней квадратный ковёр со стороной $5{,}5$ м?

Ответы, модели и проверки

$\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$ м. Проверка: $3^2\cdot5=45$ .
$6{,}70^2=44{,}89\le45$ и $6{,}71^2=45{,}0241>45$ , поэтому с недостатком $6{,}70$ , с избытком $6{,}71$ .
Периметр $4\sqrt{45}$ лежит между $4\cdot6{,}70=26{,}80$ и $4\cdot6{,}71=26{,}84$ м. С избытком до десятых: $26{,}9$ м.
Сторона $\sqrt{2}$ дм; $1{,}41^2=1{,}9881\le2$ и $1{,}42^2=2{,}0164>2$ , поэтому $\sqrt{2}\approx1{,}41$ с недостатком.
$14\sqrt{2}=\sqrt{392}<\sqrt{400}=20$ , а $15\sqrt{2}=\sqrt{450}>20$ . Значит, помещается $14$ плиток.
$\sqrt{8}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{144}=12$ .
$2\sqrt{12}-\sqrt{27}=2\cdot2\sqrt{3}-3\sqrt{3}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$ .
$(2\sqrt{3})^2=4\cdot3=12$ .
$x=2\sqrt{5}$ или $x=-2\sqrt{5}$ , потому что $\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}$ .
$9{,}9^2=98{,}01<99$ , поэтому $\sqrt{99}>9{,}9$ .
Да: $\sqrt{50}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{100}=10$ .
Сторона комнаты равна $\sqrt{30}$ ; $5{,}5^2=30{,}25>30$ , значит $\sqrt{30}<5{,}5$ и ковёр не поместится.

Рефлексия проекта

В каких задачах ответ был точным, а в каких неизбежно приближённым?
Где округление с недостатком дало бы неверное практическое решение, а где — округление с избытком?
Какой ответ ты проверил вторым способом и как именно?
Чего не учитывает модель площадки и мозаики?

Возможные ответы: точны задачи 1, 6–9, 11; приближения нужны в задачах 2–4. Бордюра при округлении с недостатком не хватит, а плиток при округлении с избытком окажется на одну больше, чем поместится. Проверять удобно внесением множителя и возведением в квадрат. Модель не учитывает швы между плитками, ширину бордюра, погрешность разметки и неровности грунта.

← Степень с целым показателем · К обзору 8 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.