1.1 Степень с рациональным показателем

11 класс · Алгебра◷ 60–70 минут◇ БазаНужно знать: свойства степеней с целым показателем, арифметический квадратный корень, модуль числа

Банк обещает: за $10$ лет вклад удвоится. Сколько это в год?

Ответ «в $1{,}1$ раза» неверен: проценты не складываются, они перемножаются. Нужно такое число $k$, что

$k^{10}=2.$

Такое число обозначают корнем десятой степени: $k=\sqrt[10]{2}$ — что это за знак, разберём в первом же разделе урока. Но удобнее было бы написать $k=2^{1/10}$ — тогда десять лет дадут $\left(2^{1/10}\right)^{10}=2^{1}=2$, и вычисление станет просто сложением показателей.

Вопрос урока: можно ли вообще ставить дробь в показатель степени — и если да, то не остаётся ли у нас свободы выбора?

◎ После урока ты сможешь

• вычислять корень n-й степени и различать случаи чётного и нечётного показателя
• объяснять, почему определение степени с дробным показателем задано однозначно
• переводить запись с корнем в запись со степенью и обратно
• вычислять значения вида a в степени p/q без калькулятора
• применять свойства степеней к дробным показателям и следить за условием a больше нуля

Прогноз до вычислений

1. Если бы запись $4^{1/2}$ имела смысл, чему она должна была бы равняться? Подсказка: подумай, чему обязано равняться $\left(4^{1/2}\right)^2$.
2. А $8^{1/3}$?
3. Свободны ли мы выбрать значение $4^{1/2}$ произвольно — например, объявить его равным $10$?

Эксперимент: какое свойство мы отказываемся терять

В 7 классе степени с натуральными показателями подчинялись правилу «степень в степени — показатели перемножаются», а в 8 классе оно вместе с остальными свойствами степеней распространилось на целые показатели — именно ради его сохранения там и появились равенства $a^{0}=1$ и $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$. Проверь правило ещё раз на конкретных числах и обрати внимание: оно работает не потому, что так решили, а потому, что так устроено умножение.

Лаборатория степеней

Степень: запись, свойства и порядок числа

Разверни степень в произведение, проверь свойства на конкретном числе и посмотри, где число стоит на шкале порядков.

aⁿ

Что такое степеньСвойства степенейСтандартный вид

ПроизведениеЧастноеСтепень степени

Внутренний показатель m 2

−+

Натуральное число от 1 до 8.

Внешний показатель n 3

−+

Натуральное число от 1 до 8.

Основание для проверки 2

−+

На этом числе свойство проверяется точным вычислением.

(2²)³=2⁶

Проверка на числе

Оба пути дают 64

Каждая из n скобок содержит m множителей, поэтому показатели перемножаются. Прямое действие над значениями степеней даёт 64, вычисление по свойству — 64.

=

Показатель результата равен 6.Каждая из n скобок содержит m множителей, поэтому показатели перемножаются.

↺ Вернуть пример

Теперь главный ход рассуждения. Мы хотим, чтобы это же правило работало и для дробей. Тогда

$\left(a^{1/q}\right)^{q}=a^{\frac{1}{q}\cdot q}=a^{1}=a.$

Значит, $a^{1/q}$ обязано быть числом, $q$-я степень которого равна $a$. Никакой свободы у нас не осталось: свойство степеней само выбрало ответ.

Корень $n$-й степени

«Число, $q$-я степень которого равна $a$» — слишком длинно, чтобы повторять это каждый раз. У такого числа есть имя и свой знак, и с ним надо разобраться до того, как мы напишем определение степени.

∴ Корень n-й степени

Пусть $n$ — натуральное число, $n\geqslant 2$. Корнем $n$-й степени из числа $a$ называют такое число $b$, что $b^{n}=a$. Число $n$ называют показателем корня, число $a$ — подкоренным выражением.

Дальше всё зависит от чётности $n$.

Чётный показатель. Чётная степень любого числа неотрицательна, поэтому равенство $b^{n}=a$ возможно только при $a\geqslant 0$. Подходящих $b$ при $a>0$ ровно два, и они противоположны; знаком $\sqrt[n]{a}$ обозначают неотрицательное из них:

$\sqrt[n]{a}\geqslant 0,\qquad \left(\sqrt[n]{a}\right)^{n}=a\qquad (a\geqslant 0).$

Нечётный показатель. Здесь картина другая: $b^{n}$ строго возрастает и пробегает всю числовую прямую. Поэтому для любого $a$ — хоть положительного, хоть отрицательного — существует ровно одно такое $b$, и знак у него тот же, что у $a$. Второго кандидата нет, выбирать не из чего:

$\sqrt[3]{27}=3,\qquad \sqrt[3]{-27}=-3,\qquad \sqrt[5]{-32}=-2.$

При $n=2$ показатель не пишут: $\sqrt[2]{a}$ — это привычное $\sqrt{a}$.

Проверить любое из этих равенств можно прямо по определению — возведением в степень: $3^3=27$, $(-3)^3=-27$, $(-2)^5=-32$.

✦ Почему это не отменяет договорённость 8 класса

В 8 классе мы условились так: под знаком корня стоит только неотрицательное число, и значение корня тоже неотрицательно. Сейчас появился $\sqrt[3]{-27}=-3$ — противоречие?

Нет. Договорённость 8 класса — это в точности случай $n=2$, а двойка чётна. В новом определении для чётного показателя не изменилось ни буквы: $\sqrt{9}=3$, а $\sqrt{-9}$ по-прежнему не имеет смысла, и $\sqrt[4]{-16}$ тоже.

Расширение касается только нечётных показателей. Запрет на отрицательное подкоренное выражение возник не из вредности, а из-за квадрата: $b^{2}\geqslant 0$ при любом $b$, и числа с квадратом $-9$ просто не существует. У куба такой преграды нет — $(-3)^{3}=-27$ — и вдобавок нет второго кандидата, из-за которого пришлось бы что-то выбирать.

Одной фразой: запрет был не про корень вообще, а про чётную степень.

∴ Свойства корня n-й степени

Пусть корни в обеих частях определены (при чётном $n$ это значит $a\geqslant 0$ и $b\geqslant 0$; при нечётном ограничений нет). Тогда

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b},\qquad \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\quad (b\neq 0),\qquad \left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}.$

Отдельно стоит корень из степени с тем же показателем:

$\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\ \text{при чётном } n,\qquad \sqrt[n]{a^{n}}=a\ \text{при нечётном } n.$

Это ровно та же история, что и $\sqrt{a^{2}}=|a|$ в 8 классе: чётная степень стирает знак, и корень уже не может его вернуть — модуль обязателен. Нечётная степень знак сохраняет, поэтому модуль не нужен.

Семь корней по определениюРазбираем вместе

$\sqrt[3]{-125}=-5$. Показатель нечётный, значит отрицательное подкоренное разрешено. Проверка: $(-5)^{3}=-125$.

$\sqrt[4]{16}=2$, а не $-2$. Показатель чётный, поэтому значение корня неотрицательно. Число $-2$ тоже даёт $16$ в четвёртой степени, но знак корня выбирает из двух кандидатов неотрицательного — как и в 8 классе с $\sqrt{25}=5$.

$\sqrt[5]{-32}=-2$, потому что $(-2)^{5}=-32$.

$\sqrt[4]{-16}$ смысла не имеет: четвёртая степень любого числа неотрицательна.

$\sqrt[4]{(-2)^{4}}=\sqrt[4]{16}=2=|-2|$ — вот он, тот самый модуль.

$\sqrt[3]{(-2)^{3}}=\sqrt[3]{-8}=-2$ — при нечётном показателе знак проходит насквозь, модуль не нужен.

$\sqrt[3]{8\cdot 27}=\sqrt[3]{216}=6$, и то же самое по свойству произведения: $\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}=2\cdot 3=6$.

Теперь у записи $\sqrt[q]{a}$ есть точный смысл, и определение степени можно писать.

Определение

∴ Степень с рациональным показателем

Пусть $a>0$, число $p$ целое, а $q$ — натуральное, $q\geqslant 2$. Тогда по определению

$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^{p}}.$

В частности, $a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a}$, а $a^{-\frac{p}{q}}=\dfrac{1}{\sqrt[q]{a^{p}}}$.

Значение степени всегда положительно: арифметический корень из положительного числа положителен.

Определение корректно: если дробь сократить, результат не изменится. Например, при $a>0$

$\sqrt[6]{a^{2}}=\sqrt[3]{a},$

потому что оба числа положительны и их шестые степени равны $a^2$. Поэтому можно спокойно писать $a^{2/6}=a^{1/3}$ — запись зависит только от значения дроби, а не от того, как её записали.

✦ Почему требуем a > 0

Для отрицательного основания корректность ломается. Возьмём $a=-8$ и одну и ту же дробь в двух записях:

$\sqrt[3]{(-8)^{1}}=-2,\qquad \sqrt[6]{(-8)^{2}}=\sqrt[6]{64}=2.$

Показатель один и тот же — $\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}$, — а ответы разные. Значит, при отрицательном основании запись $a^{p/q}$ не определяет число однозначно.

Договорённость проста: в степень с дробным показателем возводим только положительные числа. Кубический корень $\sqrt[3]{-8}=-2$ при этом никуда не девается — просто его нельзя переписывать как $(-8)^{1/3}$.

Как считать без калькулятора

Порядок действий выбирай так, чтобы корень извлекался из маленького числа: сначала корень, потом степень.

Четыре значения в умеРазбираем вместе

$8^{2/3}$. Сначала корень: $\sqrt[3]{8}=2$. Потом степень: $2^2=4$. Итого $8^{2/3}=4$.

Если пойти в другом порядке, придётся считать $\sqrt[3]{64}$ — тот же ответ, но лишняя работа.

$16^{3/4}$. $\sqrt[4]{16}=2$, затем $2^3=8$.

$27^{-2/3}$. Минус в показателе — это переворот дроби: $27^{-2/3}=\dfrac{1}{27^{2/3}}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}$.

$0{,}25^{1/2}$. Здесь $0{,}25=\dfrac{1}{4}$, поэтому значение равно $\dfrac{1}{2}=0{,}5$.

Свойства остались прежними

∴ Пять правил, которые работают и для дробей

Пусть $a>0$, $b>0$, а $p$ и $q$ — любые рациональные числа. Тогда

$a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q},\qquad \frac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q},\qquad \left(a^{p}\right)^{q}=a^{pq},$

$(ab)^{p}=a^{p}b^{p},\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{p}=\frac{a^{p}}{b^{p}}.$

Это ровно тот же список, что и для целых показателей. В этом и был смысл определения: расширить область применения, ничего не сломав.

Упрощение выражения с дробными показателямиРазбираем вместе

Упростим при $a>0$ выражение $\left(a^{1/2}\cdot a^{1/3}\right)^{6}$.

Внутри скобок складываем показатели: $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$.

Затем показатели перемножаются: $\dfrac{5}{6}\cdot 6=5$.

Ответ: $a^5$.

Проверка при $a=64$: $64^{1/2}=8$, $64^{1/3}=4$, произведение $32$, и $32^6=2^{30}$. С другой стороны, $64^5=\left(2^6\right)^5=2^{30}$. Совпало.

От корня к степени и обратноРазбираем вместе

Запись $\sqrt[5]{a^{3}}$ — это $a^{3/5}$.

Запись $\dfrac{1}{\sqrt{a}}$ — это $a^{-1/2}$.

Обратный перевод: $a^{7/4}=\sqrt[4]{a^{7}}$, а удобнее вынести целую часть: $a^{7/4}=a^{1}\cdot a^{3/4}=a\sqrt[4]{a^{3}}$.

Зачем это нужно? Выражение $\sqrt{a}\cdot\sqrt[3]{a}$ в виде корней упростить трудно, а в виде степеней — мгновенно: $a^{1/2}\cdot a^{1/3}=a^{5/6}=\sqrt[6]{a^{5}}$.

Проверка понимания

Чему равно 32 в степени 2/5?

• А. 12,8
• Б. 4
• В. 64

! Дробь в показателе — не деление основания

Самая частая ошибка выглядит так: «$9^{1/2}$ — это $9$ пополам, то есть $4{,}5$».

Проверим определением: $9^{1/2}=\sqrt{9}=3$. И действительно $3^2=9$, а $4{,}5^2=20{,}25$ — совсем не то.

Вторая ошибка того же рода: «$a^{2/3}$ — это $\dfrac{a^2}{3}$». Нет: знаменатель показателя всегда уходит в степень корня, а не в делитель.

Простая проверка на пальцах: возведи полученный ответ в знаменатель показателя. Если $9^{1/2}=3$, то $3^2=9$ — сходится. Если бы $9^{1/2}=4{,}5$, то $4{,}5^2$ должно было бы дать $9$ — не сходится.

Практика

Всюду считай, что буквенные основания положительны.

1. Вычисли $4^{1/2}$.
2. Вычисли $125^{1/3}$.
3. Вычисли $81^{3/4}$.
4. Вычисли $32^{2/5}$.
5. Вычисли $16^{-1/2}$.
6. Вычисли $8^{-2/3}$.
7. Вычисли $\left(\dfrac{1}{9}\right)^{-1/2}$.
8. Вычисли $0{,}008^{1/3}$.
9. Вычисли $5^{1/2}\cdot 5^{1/2}$.
10. Упрости $7^{3/4}:7^{1/4}$.
11. Вычисли $\left(2^{2/3}\right)^{3/2}$.
12. Упрости $\left(a^{3/4}\right)^{8/3}$.
13. Запиши $\sqrt[5]{a^{3}}$ в виде степени, а $a^{-1/2}$ — в виде выражения с корнем.
14. Упрости $\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[6]{a}$ и запиши ответ корнем.
15. Что больше: $2^{1/2}$ или $2^{1/3}$? Ответ обоснуй, не вычисляя корней.
16. Объясни, почему запись $(-4)^{1/2}$ не имеет смысла, а $\sqrt[3]{-27}$ — имеет.
17. Вычисли $\sqrt[3]{-64}$, $\sqrt[4]{81}$ и $\sqrt[5]{-32}$. Какое из трёх выражений было бы бессмысленным, если бы подкоренные числа поменялись знаком?
18. Упрости $\sqrt[4]{(-3)^{4}}$ и $\sqrt[3]{(-3)^{3}}$. Почему ответы разные?

Ответы и пояснения

1. $4^{1/2}=\sqrt{4}=2$.
2. $125^{1/3}=\sqrt[3]{125}=5$.
3. $\sqrt[4]{81}=3$, затем $3^3=27$.
4. $\sqrt[5]{32}=2$, затем $2^2=4$.
5. $16^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{16}}=\dfrac{1}{4}$.
6. $8^{-2/3}=\dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^2}=\dfrac{1}{4}$.
7. Отрицательный показатель переворачивает дробь: $\left(\dfrac{1}{9}\right)^{-1/2}=9^{1/2}=3$.
8. $0{,}008=\dfrac{8}{1000}$, поэтому корень равен $\dfrac{2}{10}=0{,}2$.
9. $5^{1/2+1/2}=5^{1}=5$. Это ровно то, что означает $\sqrt5\cdot\sqrt5$.
10. $7^{3/4-1/4}=7^{1/2}=\sqrt7$.
11. $\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{2}=1$, поэтому значение равно $2$.
12. $\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{8}{3}=2$, ответ $a^2$.
13. $\sqrt[5]{a^{3}}=a^{3/5}$; $a^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt a}$.
14. $a^{1/3}\cdot a^{1/6}=a^{1/2}=\sqrt a$, потому что $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}$.
15. Больше $2^{1/2}$. Возведём оба числа в шестую степень: $\left(2^{1/2}\right)^6=2^3=8$, а $\left(2^{1/3}\right)^6=2^2=4$. Обе величины положительны, значит из $8>4$ следует $2^{1/2}>2^{1/3}$.
16. Основание $-4$ отрицательно, а для степени с дробным показателем определение требует $a>0$: иначе одна и та же дробь в разных записях даёт разные значения. Корень нечётной степени определяется отдельно и для отрицательных чисел, поэтому $\sqrt[3]{-27}=-3$ — законная запись.
17. $\sqrt[3]{-64}=-4$, потому что $(-4)^{3}=-64$; $\sqrt[4]{81}=3$, потому что $3^{4}=81$ и корень чётной степени неотрицателен; $\sqrt[5]{-32}=-2$, потому что $(-2)^{5}=-32$. После смены знаков останутся $\sqrt[3]{64}=4$ и $\sqrt[5]{32}=2$, а вот $\sqrt[4]{-81}$ смысла не имеет: четвёртая степень любого числа неотрицательна.
18. $\sqrt[4]{(-3)^{4}}=\sqrt[4]{81}=3=|-3|$, а $\sqrt[3]{(-3)^{3}}=\sqrt[3]{-27}=-3$. Разница именно в чётности: четвёртая степень стерла знак, и корень вернул неотрицательное число, поэтому нужен модуль; третья степень знак сохранила, и корень вернул его обратно.

Итог

• Корень $n$-й степени — это число, $n$-я степень которого равна подкоренному. При чётном $n$ подкоренное неотрицательно и значение корня неотрицательно, при нечётном корень определён всегда и его знак совпадает со знаком подкоренного.
• Отсюда и модуль: $\sqrt[n]{a^{n}}=|a|$ при чётном $n$ и $\sqrt[n]{a^{n}}=a$ при нечётном.
• Определение $a^{p/q}=\sqrt[q]{a^{p}}$ не выдумано: оно единственное, при котором сохраняется правило $\left(a^{p}\right)^{q}=a^{pq}$.
• Основание берём строго положительным — иначе значение зависит от того, сократили дробь или нет.
• Считать удобнее в порядке «сначала корень, потом степень»: числа остаются маленькими.
• Все пять свойств степеней работают для рациональных показателей без изменений.

Теперь показатель может быть любой дробью. Ничто не мешает считать его вообще любым числом — и тогда $a^x$ становится функцией, определённой на всей числовой прямой. Как выглядит её график и почему она обгоняет любую параболу — в следующем уроке.

← Вход в тему · Дальше: показательная функция →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным