5.5 Вписанные углы

8 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: равнобедренный треугольник, внешний угол, подобие, касательные

Трое болельщиков сидят на круглой трибуне в совершенно разных местах. Все трое смотрят на одни и те же ворота — и все трое видят их под одинаковым углом.

Это не оптическая иллюзия и не совпадение. Это теорема, которую мы сейчас докажем.

◎ После урока ты сможешь

• различать центральный и вписанный углы и находить градусную меру дуги
• доказывать и применять теорему о вписанном угле
• использовать следствие про угол, опирающийся на диаметр
• применять свойство отрезков пересекающихся хорд

Прогноз до вычислений

На окружности отмечены две точки $A$ и $B$. Точка $C$ бегает по большей дуге.

Как, по-твоему, ведёт себя угол $ACB$: растёт, убывает или остаётся неизменным? Запиши версию до чертежа.

Управляемый эксперимент

Возьми транспортир и измерь три угла с вершинами $C_1$, $C_2$, $C_3$ на чертеже ниже. Все три опираются на одну и ту же дугу $AB$.

Все три угла равны $50°$, а центральный угол $AOB$ равен $100°$. Точка $C$ гуляет по дуге, а угол не шевелится — и он ровно вдвое меньше центрального.

Углы и дуги

∴ Определения

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Градусной мерой дуги называют градусную меру соответствующего ей центрального угла.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её. Говорят, что такой угол опирается на дугу, заключённую между его сторонами и не содержащую вершину.

Вся окружность — это дуга в $360°$, полуокружность — $180°$.

Теорема о вписанном угле

∴ Теорема

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:

$\angle ACB = \frac{1}{2} \overset{\smile}{AB} = \frac{1}{2} \angle AOB.$

Доказательство (основной случай). Пусть одна сторона угла проходит через центр, то есть $CB$ — диаметр. Треугольник $AOC$ равнобедренный: $OA = OC = R$. Значит углы при основании равны:

$\angle OCA = \angle OAC = \beta.$

Угол $AOB$ — внешний угол треугольника $AOC$ при вершине $O$, а внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним:

$\angle AOB = \beta + \beta = 2\beta.$

Но $\beta$ — это и есть наш вписанный угол $\angle ACB$. Получили $\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$. $\blacksquare$

Остальные случаи сводятся к основному: проведём из вершины $C$ диаметр. Если центр лежит внутри угла, вписанный угол разбивается диаметром на два угла основного вида, и их меры складываются. Если центр вне угла — вычитаются. Половина суммы равна сумме половин, поэтому вывод сохраняется.

Три следствия

◆ Следствия, которые решают задачи

1. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Каждый из них — половина одного и того же центрального угла. Именно поэтому все болельщики видят ворота одинаково.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Полуокружность равна $180°$, половина — $90°$.
3. У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180°$. Две дуги, на которые опираются противоположные углы, вместе составляют всю окружность: $\frac{1}{2}\cdot 360° = 180°$.

Второе следствие бесплатно подключает к окружности теорему Пифагора: если $AB$ — диаметр, то треугольник $ABC$ прямоугольный и $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Лаборатория прямоугольного треугольника

Квадраты, корни и отношения сторон

Все длины и площади вычисляются из введённых катетов, а квадраты строятся по настоящим координатам.

задача

Квадраты на сторонахНайти сторонуСинус, косинус, тангенс

Катет AC8 см

−+

От 3 до 12 см

Катет BC6 см

−+

От 3 до 12 см

Гипотенуза, смПроверить

?

Катеты равны 8 и 6 см. Найди гипотенузу с точностью до десятых.Сначала найди c², потом извлеки корень. Ответ вводи десятичной дробью.

↺ Вернуть пример

Пересекающиеся хорды

∴ Свойство хорд

Если хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, то

$AE \cdot EB = CE \cdot ED.$

Доказательство. Рассмотрим треугольники $AEC$ и $DEB$. Углы $\angle CAE$ и $\angle BDE$ вписанные и опираются на одну дугу $CB$, значит они равны. Углы при вершине $E$ вертикальные и тоже равны. По признаку подобия «два угла»

$\triangle AEC \sim \triangle DEB \;\Longrightarrow\; \frac{AE}{DE} = \frac{CE}{BE} \;\Longrightarrow\; AE \cdot BE = CE \cdot DE. \qquad \blacksquare$

Обрати внимание: доказательство про окружность полностью опирается на подобие из урока 5.1. Глава замыкается.

Углы треугольника, вписанного в окружностьРазбираем вместе

Треугольник $ABC$ вписан в окружность, $AB$ — диаметр, $\angle A = 35°$. Найдём остальные углы.

Угол $C$ опирается на диаметр, поэтому $\angle C = 90°$. Тогда

$\angle B = 180° - 90° - 35° = 55°.$

Проверка через дуги: угол $A = 35°$ опирается на дугу $BC$, значит $\overset{\smile}{BC} = 70°$; угол $B = 55°$ опирается на дугу $AC$, значит $\overset{\smile}{AC} = 110°$. Вместе с полуокружностью $AB$: $70° + 110° + 180° = 360°$. Сходится.

Отрезок хордыРазбираем вместе

Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, причём $AE = 4$, $EB = 6$, $CE = 3$. Найдём $ED$.

$AE \cdot EB = CE \cdot ED \;\Longrightarrow\; 4 \cdot 6 = 3 \cdot ED \;\Longrightarrow\; ED = \frac{24}{3} = 8.$

Хорда $CD$ имеет длину $3 + 8 = 11$, а хорда $AB$ — длину $10$. Разные хорды, одно произведение — так и должно быть.

! Три ловушки этой темы

Вписанный угол принимают за центральный. Смотри на вершину: в центре — центральный, на окружности — вписанный. Один вдвое больше другого, и перепутать их — значит ошибиться ровно в два раза.

Опираются не на ту дугу. Угол опирается на дугу, которая лежит между его сторонами и не содержит вершину. Если точки $A$ и $B$ делят окружность на дуги $100°$ и $260°$, то вершина на большей дуге даёт угол $50°$, а вершина на меньшей — угол $130°$.

Считают, что угол зависит от положения вершины. Пока вершина остаётся на своей дуге, угол не меняется вовсе.

Проверка понимания

Вписанный угол опирается на дугу в 100°. Чему он равен?

• А. 100°
• Б. 50°
• В. 200°

Практика

1. Центральный угол равен $80°$. Найди вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.
2. Вписанный угол равен $35°$. Найди центральный угол и градусную меру дуги, на которую он опирается.
3. Вписанный угол опирается на диаметр. Чему он равен и почему?
4. Дуга $AB$ равна $120°$. Найди вписанный угол, опирающийся на неё.
5. Треугольник $ABC$ вписан в окружность, $AB$ — диаметр, $\angle A = 35°$. Найди $\angle B$ и $\angle C$.
6. Два вписанных угла опираются на одну дугу, один из них равен $42°$. Чему равен второй?
7. Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$: $AE = 4$, $EB = 6$, $CE = 3$. Найди $ED$.
8. $AB$ — диаметр окружности, $C$ лежит на окружности, $AC = 6$, $BC = 8$. Найди диаметр.
9. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $\angle A = 70°$. Найди $\angle C$.
10. Точки $A$ и $B$ делят окружность на дуги $100°$ и $260°$. Найди угол $ACB$, если точка $C$ лежит на большей дуге.

Ответы и пояснения

1. $80° : 2 = 40°$.
2. Центральный угол $35° \cdot 2 = 70°$; дуга тоже $70°$.
3. $90°$: диаметр стягивает полуокружность в $180°$, а вписанный угол равен её половине.
4. $120° : 2 = 60°$.
5. $\angle C = 90°$ как угол, опирающийся на диаметр; $\angle B = 180° - 90° - 35° = 55°$.
6. Тоже $42°$: оба равны половине одного центрального угла.
7. $4 \cdot 6 = 3 \cdot ED$, поэтому $ED = 8$.
8. Угол $C$ прямой, поэтому $AB^2 = 36 + 64 = 100$ и $AB = 10$.
9. $\angle C = 180° - 70° = 110°$.
10. Точка на большей дуге опирается на меньшую дугу $100°$, поэтому $\angle ACB = 50°$.

Итог

• Градусная мера дуги — это мера соответствующего центрального угла.
• Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается; доказательство держится на равнобедренном треугольнике и теореме о внешнем угле.
• Углы на одной дуге равны; угол на диаметре прямой; у вписанного четырёхугольника противоположные углы дают $180°$.
• Произведения отрезков пересекающихся хорд равны — и доказывается это подобием.

Дальше — практикум: измеряем то, к чему нельзя подойти с рулеткой.

← Окружность и касательные · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным