6.5 Практикум: разбор одного теста

10 класс · Вероятность◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ БазаНужно знать: уроки 6.1–6.4

Городская поликлиника решает, запускать ли массовую проверку на редкое заболевание. У неё есть данные опроса, характеристики теста и бюджет на уточняющие обследования.

Все четыре инструмента главы понадобятся сразу: таблица частот покажет связь признаков, критерий независимости отсеет ложные объяснения, формула Байеса переведёт точность теста в понятный ответ пациенту, а распределение оценит нагрузку на лабораторию.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать инструмент по формулировке вопроса, а не по номеру урока
• доводить расчёт до числа и проверять его вторым способом
• объяснять результат словами, понятными непрофессионалу
• называть ограничения модели

Станция 1. Таблица частот

Опрос $250$ школьников: у $100$ дома живёт кот, у $120$ — собака, у $60$ есть оба животных.

Прежде чем открывать лабораторию, заполни четыре клетки таблицы на бумаге. Помни: в клетку «есть кот» без собаки попадают не все владельцы кота, а только те, у кого нет собаки.

Лаборатория условной вероятности

Таблица частот и условная доля

Условие сужает группу: мы смотрим не на всех, а только на один столбец таблицы. Меняй частоты и следи, как расходятся доли.

n = 250

Домашняя работаДва станкаКоты и собаки

Опрос 250 школьников: у кого дома живёт кот, у кого — собака. Кто-то отметил обоих, кто-то никого.

есть кот и есть собака

есть кот, но собаки нет

кота нет, но есть собака

кота нет и собаки нет

Каждый объект попадает ровно в одну клетку, поэтому четыре числа в сумме дают всю группу: 250 школьников.

Таблица частот: 250 школьников

	есть собака	собаки нет	Всего
есть кот	60	40	100
кота нет	60	90	150
Всего	120	130	250

Итоги строк и столбцов — это частоты событий по отдельности, а четыре внутренние клетки — частоты пересечений.

?

Чему равна условная вероятность P(есть кот | есть собака)? Запиши обыкновенной дробью (например 1/12) или десятичной с тремя знаками

Проверить

?

Чему равна условная вероятность P(есть кот | есть собака)?Подсказка: условие сужает группу до одного столбца. Раздели число объектов в нужной клетке на итог этого столбца — и не путай его с итогом строки.

↺ Вернуть пример

Из трёх чисел — четыре клеткиРазбираем вместе

Дано: $n=250$, $n(\text{кот})=100$, $n(\text{собака})=120$, $n(\text{оба})=60$.

Клетка «кот, но без собаки»: $100-60=40$. Клетка «собака, но без кота»: $120-60=60$. Остальные: $250-60-40-60=90$.

Условные вероятности.

$P(\text{собака}\mid\text{кот})=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}=0{,}6,\qquad P(\text{кот}\mid\text{собака})=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}.$

Один и тот же числитель, разные знаменатели — разные ответы.

Проверка на независимость. $P(\text{кот})P(\text{собака})=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{12}{25}=\dfrac{24}{125}=0{,}192$, а $P(\text{оба})=\dfrac{60}{250}=0{,}24$. Не равны: события зависимы. При независимости в первой клетке стояло бы $\dfrac{100\cdot120}{250}=48$ человек, а стоит $60$.

Станция 2. Независимость и серия испытаний

Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0{,}7$; выстрелы независимы, их три. Прежде чем считать, ответь на глаз: чего больше — вероятности ровно двух попаданий или вероятности хотя бы одного?

Затем реши обе задачи и сверь ответы с задачей 6 итогового набора. Событие «хотя бы одно попадание» считай через противоположное — так короче и надёжнее перебора случаев.

Отдельно проверь себя на ловушке урока 6.2: детали из задачи 7 приходят с двух автоматов с разной долей брака. Независимы ли события «деталь с автомата B» и «деталь бракованная»? Ответ должен опираться на равенство, а не на здравый смысл.

Станция 3. Скрининг

Заболевание встречается у одного человека из $200$. Тест находит $99\%$ больных и не тревожит $99\%$ здоровых.

Лаборатория условной вероятности

Природные частоты: тест на редкую болезнь

Вместо процентов и формул — живые люди. Группа раскладывается по четырём клеткам целыми числами, и условная вероятность считается делением одного числа на другое.

20 000 человек

Как часто встречается болезнь1 из 20 — 5 % населения1 из 100 — 1 % населения1 из 200 — 0,5 % населения1 из 1000 — 0,1 % населенияБольных в группе: 100 из 20 000.

Чувствительность: тест находит больного80 %90 %95 %99 %Из 100 больных тест поймает 99.

Специфичность: тест не тревожит здорового80 %90 %95 %99 %Из 19 900 здоровых тест ошибётся на 199.

Численность группы подобрана так, чтобы все четыре числа получились целыми: ни одного округления.

Таблица частот: 20 000 человек в мысленной группе

	тест положительный	тест отрицательный	Всего
болен	99	1	100
здоров	199	19 701	19 900
Всего	298	19 702	20 000

Итоги строк и столбцов — это частоты событий по отдельности, а четыре внутренние клетки — частоты пересечений.

?

Чему равна вероятность того, что человек с положительным тестом действительно болен? Запиши обыкновенной дробью (например 1/12) или десятичной с тремя знаками

Проверить

?

Чему равна вероятность того, что человек с положительным тестом действительно болен?Подсказка: условие сужает группу до одного столбца. Раздели число объектов в нужной клетке на итог этого столбца — и не путай его с итогом строки.

↺ Вернуть пример

◆ Паспорт результата

Рядом с каждым числом запиши: какое событие оно описывает, какое условие стоит после вертикальной черты, что было в знаменателе и точное это число или приближённое. Вероятность без такого паспорта невозможно ни проверить, ни пересказать пациенту.

Станция 4. Распределение

$X$ — число шестёрок при трёх бросках кубика. Составь таблицу распределения на бумаге, найди $M(X)$, а затем пересчитай распределение при условии «выпала хотя бы одна шестёрка».

Лаборатория распределений

Случайная величина и её распределение

Слева таблица всех значений с точными вероятностями, справа их картина. Сумма вероятностей всегда равна единице — это первая проверка любой таблицы.

n = 3, p = 1/6

Схема БернуллиОпыт с равновозможными исходами

Число испытаний n 3От 1 до 12; испытания независимы, и вероятность успеха в каждом одна и та же.

Вероятность успеха p 1/61/6 — шестёрка при броске кубика1/4 — угадать ответ из четырёх наугад1/3 — вытянуть красный шар из трёх1/2 — орёл у симметричной монеты3/5 — попадание у среднего стрелка2/3 — верный ответ у подготовленного ученика3/4 — исправная деталь на потоке9/10 — надёжный блок прибораВероятность неудачи равна q = 1 − p = 5/6.

Схема Бернулли: 3 независимых испытаний, вероятность успеха в каждом равна 1/6 (шестёрка при броске кубика).

Отмеченное значение X 0Стрелки клавиатуры двигают отметку по значениям величины; для неё считаются P(X = k), P(X ≥ k) и P(X ≤ k).

?

Чему равна вероятность P(X = 0)? Запиши обыкновенной дробью, например 3/8

Проверить

Таблица распределения: число успехов, n = 3, p = 1/6

Значение	Число путей C(n, k)	Вероятность	Приближённо
0	1	?	?
1	3	?	?
2	3	?	?
3	1	?	?
Сумма	8	1	1

Второй столбец — строка треугольника Паскаля с номером 3; её сумма равна 2^3. Числа путей одинаковы при любом p, а вероятности — нет.

?

Посчитай P(X = 0) сам, запиши дробь и нажми «Проверить».Подсказка: перемножь три множителя — число путей C(3, 0), степень p и степень q.

↺ Вернуть пример

Удобная проверка: приведи все четыре вероятности к знаменателю $216$ и сложи числители — должно получиться ровно $216$.

Проверка понимания

В скрининге станции 3 из 20 000 человек тест дал 99 верных и 199 ложных положительных результатов. Какая дробь равна P(болен | тест положительный)?

• А. 99/100
• Б. 99/298
• В. 99/20 000

Итоговый набор задач

1. Заполни четыре клетки таблицы для опроса из станции 1.
2. Найди $P(\text{собака}\mid\text{кот})$ и $P(\text{кот}\mid\text{собака})$.
3. Независимы ли события «есть кот» и «есть собака»? Ответ обоснуй вычислением.
4. Сколько школьников стояло бы в клетке «есть и кот, и собака», если бы признаки были независимы?
5. Наугад выбирают одного из $250$ опрошенных. Какова вероятность, что у него есть хотя бы одно животное?
6. Стрелок с вероятностью попадания $0{,}7$ делает три независимых выстрела. Найди вероятность ровно двух попаданий и вероятность хотя бы одного попадания.
7. Детали поступают с двух автоматов: $70\%$ с автомата A (брак $3\%$) и $30\%$ с автомата B (брак $8\%$). Найди вероятность брака и вероятность того, что бракованная деталь сделана автоматом B.
8. Для скрининга станции 3 заполни таблицу на $20\,000$ человек и найди $P(\text{болен}\mid +)$.
9. Сколько ложных тревог приходится в этом скрининге на одного верно найденного больного?
10. $X$ — число шестёрок при трёх бросках кубика. Составь таблицу распределения и найди $M(X)$.
11. Найди условное распределение $X$ при условии «выпала хотя бы одна шестёрка» и условное ожидание.
12. Приведи из этого практикума пример, где $P(A\mid B)$ и $P(B\mid A)$ отличаются в разы, и объясни разницу одной фразой.

Ответы, проверки и модели

1. Оба животных — $60$; только кот — $40$; только собака — $60$; никого — $90$. Проверка: $60+40+60+90=250$.
2. $\dfrac{60}{100}=\dfrac35=0{,}6$ и $\dfrac{60}{120}=\dfrac12=0{,}5$.
3. $P(\text{кот})P(\text{собака})=\frac{2}{5}\cdot\frac{12}{25}=\frac{24}{125}=0{,}192$, а $P(\text{оба})=\frac{6}{25}=0{,}24$. События зависимы, связь положительная.
4. $\dfrac{100\cdot120}{250}=48$ школьников. Наблюдаемые $60$ заметно больше.
5. Без животных $90$ человек, значит с животными $160$: $P=\dfrac{160}{250}=\dfrac{16}{25}=0{,}64$.
6. $P(2)=C_3^2\cdot0{,}7^2\cdot0{,}3=3\cdot0{,}49\cdot0{,}3=0{,}441$; $P(\ge1)=1-0{,}3^3=1-0{,}027=0{,}973$.
7. $P(\text{брак})=0{,}7\cdot0{,}03+0{,}3\cdot0{,}08=0{,}021+0{,}024=0{,}045$; $P(\text{B}\mid\text{брак})=\dfrac{0{,}024}{0{,}045}=\dfrac{8}{15}\approx0{,}533$. Автомат B даёт меньше трети деталей, но больше половины брака. Независимости здесь нет: $P(\text{B})P(\text{брак})=0{,}3\cdot0{,}045=0{,}0135$, а $P(\text{B}\cap\text{брак})=0{,}3\cdot0{,}08=0{,}024$.
8. Больных $100$: тест находит $99$, пропускает $1$. Здоровых $19\,900$: спокоен у $19\,701$, ошибается на $199$. Значит $P(\text{болен}\mid +)=\dfrac{99}{298}\approx0{,}332$.
9. $\dfrac{199}{99}\approx2$: примерно две ложные тревоги на одного верно найденного больного. Именно столько лишних уточняющих обследований придётся оплатить.
10. $p=\frac16$, $n=3$: $P(0)=\frac{125}{216}$, $P(1)=\frac{75}{216}$, $P(2)=\frac{15}{216}$, $P(3)=\frac{1}{216}$. Проверка: $125+75+15+1=216$. Ожидание $M(X)=np=3\cdot\frac16=\frac12$.
11. $P(X\ge1)=\dfrac{75+15+1}{216}=\dfrac{91}{216}$. Условные вероятности: $\dfrac{75}{91}$, $\dfrac{15}{91}$, $\dfrac{1}{91}$; их сумма равна $1$. Ожидание: $\dfrac{1\cdot75+2\cdot15+3\cdot1}{91}=\dfrac{108}{91}\approx1{,}19$.
12. Например, в скрининге $P(+\mid\text{болен})=0{,}99$, а $P(\text{болен}\mid +)\approx0{,}33$: числитель у дробей общий, но в первом случае делим на $100$ больных, а во втором — на $298$ человек с положительным результатом.

Рефлексия проекта

1. Где ответ получился точной дробью, а где пришлось округлять — и почему?
2. Какую задачу ты проверил вторым способом? Совпали ли ответы?
3. Какое допущение модели скрининга труднее всего выполнить в реальной поликлинике?

Возможные ответы: все вероятности вычислены точными дробями, округление появляется только в десятичной записи ответа; задачу 8 проверяют формулой Байеса, а задачу 3 — сравнением $60$ и $48$; в жизни первым ломается предположение, что проверяемые люди — случайная выборка из населения: на обследование чаще приходят те, у кого уже есть жалобы, и доля больных среди них выше расчётной.

✦ Мост дальше

Мы научились пересчитывать вероятность, когда появляется новая информация. Это и есть базовая схема любого вывода из данных: было предположение, пришло наблюдение, стало уточнённое предположение.

Дальше распределений станет больше, а таблицу вероятностей заменит кривая — значения будут не отдельными числами, а целым промежутком. Проверки останутся прежними: сумма всех вероятностей равна единице, ожидание лежит внутри диапазона значений, а условие всегда сужает множество, по которому считается доля.

← Дискретные распределения · К обзору 10 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным