3.1 Линейные уравнения

7 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: буквенные выражения, раскрытие скобок, подобные слагаемые

Прокат самоката берёт $50$ ₽ за старт и ещё $8$ ₽ за каждую минуту поездки. На карте есть $210$ ₽. Сколько минут можно ехать?

Подставлять числа наугад можно, но долго. Уравнение решает эту задачу один раз и для любой суммы.

◎ После урока ты сможешь

• отличать уравнение от выражения и проверять, является ли число корнем
• применять три равносильных преобразования, не меняя множество корней
• решать уравнения вида ax + b = cx + d, в том числе со скобками и дробями
• узнавать случаи «корней нет» и «корень — любое число»

Прогноз до вычислений

Ответь до всяких выкладок, только рассуждением:

1. Больше или меньше $20$ минут получится в задаче о прокате?
2. Если сумма на карте вырастет вдвое, вырастет ли вдвое время поездки?

Запиши свои ответы — к ним мы вернёмся.

Эксперимент: таблица вместо угадывания

Стоимость поездки задаётся выражением $50+8t$, где $t$ — время в минутах. Прогони через таблицу несколько значений и найди, где появляется $210$.

Машина выражений

Подставить числа и выполнить план

Дерево показывает, какие действия зависят друг от друга, а трассировка — в каком порядке они выполняются.

50+8 · t

ПодстановкаПорядок действийТаблица

Время поездки, мин 10

−+

От 0 до 40, шаг 1.

50+8 · t→130

Меняем один вход

Таблица значений

t	Стоимость, ₽	Состояние
0	50	определено
5	90	определено
10	130	определено
15	170	определено
20	210	определено
25	250	определено

ƒ

Стоимость, ₽: 130.В таблице меняется t; остальные значения остаются закреплёнными.

↺ Вернуть пример

Таблица даёт пары $(0;50)$, $(5;90)$, $(10;130)$, $(15;170)$, $(20;210)$, $(25;250)$. Значение $210$ появляется при $t=20$.

Заметь две вещи. Во-первых, каждая пятая минута добавляет ровно $40$ ₽ — рост равномерный. Во-вторых, таблица нашла ответ только потому, что число $20$ случайно оказалось в списке. Если бы бюджет был $186$ ₽, таблица не помогла бы. Нужен способ, который работает всегда.

Уравнение, корень, равносильность

∴ Три определения

Уравнение — равенство с переменной. Корень уравнения — значение переменной, при котором равенство становится верным числовым равенством. Решить уравнение — найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнение вида $ax+b=cx+d$, где $a$, $b$, $c$, $d$ — числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Проверить корень легко: подставь и посчитай. Например, для уравнения $50+8t=210$ подставим $t=20$:

$50+8\cdot20=50+160=210.$

Верно — значит, $20$ действительно корень.

А как его найти? Здесь работают преобразования, которые не теряют и не добавляют корней.

∴ Равносильные преобразования

Уравнения называют равносильными, если у них одно и то же множество корней. Множество корней не меняется, если:

1. перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак;
2. умножить или разделить обе части на одно и то же число, не равное нулю;
3. упростить любую часть тождественным преобразованием: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые.

Первое правило — это короткая запись для «прибавим к обеим частям одно и то же число».

Решим задачу о прокате до конца:

$50+8t=210 \;\Longrightarrow\; 8t=210-50 \;\Longrightarrow\; 8t=160 \;\Longrightarrow\; t=20.$

Прогноз о «вдвое большем времени» не подтвердился: при $420$ ₽ получится $8t=370$, то есть $t=46{,}25$ минуты, а не $40$. Виновата постоянная часть $50$ ₽: она платится один раз и вдвое не растёт.

Порядок действий для любого линейного уравнения

1. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в каждой части.
2. Перенести все слагаемые с переменной влево, все числа — вправо, меняя знаки.
3. Привести подобные: получится $ax=b$.
4. Если $a\ne0$, разделить обе части на $a$.
5. Проверить корень подстановкой в исходное уравнение.

Переменная в обеих частяхРазбираем вместе

Решим $3x+4=x-2$.

Переносим $x$ влево, а $4$ вправо, меняя знаки:

$3x-x=-2-4.$

Приводим подобные: $2x=-6$. Делим обе части на $2$:

$x=-3.$

Проверка в исходном уравнении: слева $3\cdot(-3)+4=-9+4=-5$, справа $-3-2=-5$. Равенство верное, значит, $x=-3$ — корень.

Со скобкамиРазбираем вместе

Решим $5(x+2)=3x+4$.

Раскрываем скобки: $5x+10=3x+4$. Переносим:

$5x-3x=4-10,\qquad 2x=-6,\qquad x=-3.$

Проверка: слева $5\cdot(-3+2)=5\cdot(-1)=-5$, справа $3\cdot(-3)+4=-5$. Совпало.

С дробным коэффициентомРазбираем вместе

Решим $\dfrac{x}{3}+2=5$.

Переносим $2$ вправо: $\dfrac{x}{3}=3$. Умножаем обе части на $3$:

$x=9.$

Проверка: $\dfrac{9}{3}+2=3+2=5$. Верно.

Когда корень один, когда корней нет и когда их бесконечно много

После шага 3 остаётся уравнение $ax=b$. Дальше всё решает коэффициент $a$.

• $a\ne0$ — ровно один корень $x=\dfrac{b}{a}$.
• $a=0$ и $b\ne0$ — получилось $0\cdot x=b$, левая часть всегда ноль. Корней нет.
• $a=0$ и $b=0$ — получилось $0\cdot x=0$, верно при любом $x$. Корень — любое число.

Например, $3x+5=3x-1$ даёт $0\cdot x=-6$ — корней нет. А $4(x+1)=4x+4$ даёт $0\cdot x=0$ — подходит любое число.

Проверка понимания

Какое уравнение равносильно уравнению 6x − 1 = 2x + 11?

• А. 6x + 2x = 11 + 1
• Б. 4x = 12
• В. 8x = 10

! Перенос без смены знака

Самая частая потеря — знак. Запись $6x-1=2x+11$ превращается в $6x-2x=11+1$, а не в $6x+2x=11-1$. Проверяй себя так: перенос — это прибавление одного и того же числа к обеим частям. Прибавили $1$ — слева $-1$ исчезло, справа появилось $+1$.

Вторая ловушка — деление на выражение с переменной. Из $x^2=x$ нельзя «сократить на $x$»: так теряется корень $x=0$. В линейных уравнениях делят только на число, и только если оно не равно нулю.

Практика

Реши уравнения и обязательно проверь корень подстановкой.

1. $4x=20$
2. $x+7=3$
3. $3x-5=16$
4. $6x-1=2x+11$
5. $2(x-3)=10$
6. $7-2x=1$
7. $5(x+2)=3x+4$
8. $4(x+1)=4x+4$
9. $3x+5=3x-1$
10. $0{,}5x+1=4$
11. Является ли $x=2$ корнем уравнения $3x-1=2x+1$?
12. Составь уравнение по условию: прокат берёт $50$ ₽ за старт и $8$ ₽ за минуту, всего заплатили $186$ ₽. Найди время поездки.

Ответы и пояснения

1. $x=20:4=5$. Проверка: $4\cdot5=20$.
2. $x=3-7=-4$. Проверка: $-4+7=3$.
3. $3x=16+5=21$, значит $x=7$. Проверка: $3\cdot7-5=16$.
4. $6x-2x=11+1$, то есть $4x=12$ и $x=3$. Проверка: $6\cdot3-1=17$ и $2\cdot3+11=17$.
5. $2x-6=10$, $2x=16$, $x=8$. Проверка: $2\cdot(8-3)=10$.
6. $-2x=1-7=-6$, значит $x=3$. Проверка: $7-2\cdot3=1$.
7. $5x+10=3x+4$, $2x=-6$, $x=-3$. Проверка: $5\cdot(-1)=-5$ и $3\cdot(-3)+4=-5$.
8. $4x+4=4x+4$, получается $0\cdot x=0$ — корень любое число.
9. $0\cdot x=-6$ — корней нет.
10. $0{,}5x=3$, значит $x=6$. Проверка: $0{,}5\cdot6+1=4$.
11. Да: слева $3\cdot2-1=5$, справа $2\cdot2+1=5$.
12. $50+8t=186$, откуда $8t=136$ и $t=17$ минут. Проверка: $50+8\cdot17=50+136=186$.

Итог

• Корень уравнения проверяется подстановкой, а находится равносильными преобразованиями.
• Порядок один и тот же: упростить части, собрать переменную слева, числа справа, разделить на коэффициент.
• Если коэффициент при переменной обнулился, ответ звучит словами: «корней нет» или «любое число».
• Уравнение сильнее таблицы: оно работает и для тех значений, которых в таблице нет.

Дальше научимся получать такое уравнение из текста задачи — и проверять ответ не только арифметикой, но и здравым смыслом.

← Вход в тему · Дальше: текстовые задачи через уравнение →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным