5.6 Практикум: измеряем недоступное

8 класс · Геометрия◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 5.1–5.5

Высота башни, ширина реки, радиус сломанной шестерёнки — всё это нельзя измерить рулеткой. Зато можно измерить то, до чего дотянуться легко: тень, отрезок на своём берегу, хорду детали.

Дальше работает геометрия. Пять станций — пять способов узнать число, не подходя к объекту.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать подходящий инструмент: подобие, Пифагор, тригонометрию или свойство окружности
• переводить условие реальной задачи в чертёж с обозначениями
• проверять полученный ответ вторым способом и на правдоподобие
• честно отделять точный результат от приближённого

Станция 1. Высота башни по тени

Столб высотой $4$ м отбрасывает тень $2{,}5$ м. В тот же момент тень башни равна $30$ м.

Солнечные лучи параллельны, поэтому треугольники «столб — тень» и «башня — тень» подобны по двум углам. Поработай с коэффициентом в лаборатории, а потом реши задачу.

Лаборатория подобия

Одинаковая форма, разный размер

Обе картинки нарисованы в одном масштабе: если фигура на экране больше в полтора раза, значит коэффициент подобия действительно равен 1,5.

исследование

Коэффициент подобияПараллельная прямая

Сторона AB8 см

−+

От 4 до 12 см

Сторона AC5 см

−+

От 4 до 12 см

Угол A70°

−+

От 25° до 120°

Коэффициент k1,6

−+

Десятые доли: 5 означает k = 0,5, а 25 — k = 2,5

∼

k = 1,6: каждая сторона длиннее в 1,6 раза, площадь — в 2,56 раза.Периметры: 20,85 и 33,36 см. Площади: 18,79 и 48,11 см². Углы не изменились: подобие меняет размер, но не форму.

↺ Вернуть пример

БашняРазбираем вместе

Коэффициент подобия равен отношению теней:

$k = \frac{30}{2{,}5} = 12.$

Значит высота башни

$H = 4 \cdot 12 = 48 \text{ м}.$

Проверка вторым способом: $\dfrac{4}{2{,}5} = 1{,}6$ — столько метров высоты приходится на метр тени; тогда $30 \cdot 1{,}6 = 48$ м. Ответы совпали.

Ограничение модели: земля считается горизонтальной, а башня — вертикальной. На склоне метод даст ошибку.

Станция 2. Ширина реки

К реке подойти можно, переплыть — нет. На своём берегу отмечают точку $A$, ставят вешки $M$ и $N$ так, чтобы $MN$ была параллельна линии противоположного берега $BC$.

Лаборатория подобия

Одинаковая форма, разный размер

Обе картинки нарисованы в одном масштабе: если фигура на экране больше в полтора раза, значит коэффициент подобия действительно равен 1,5.

задача

Коэффициент подобияПараллельная прямая

Сторона AB12 см

−+

От 4 до 12 см

Сторона AC9 см

−+

От 4 до 12 см

Угол A65°

−+

От 25° до 120°

Отрезок AM4 см

−+

От 1 до 11 см: точка M лежит на стороне AB

Длина NC, смПроверить

?

AM = 4, MB = 8, AN = 3 см. Найди NC.Прямая MN параллельна BC, поэтому AM : MB = AN : NC. Ответ можно записать десятичной дробью.

↺ Вернуть пример

РекаРазбираем вместе

Измерения на берегу: $AM = 12$ м, $MB = 24$ м, $MN = 15$ м. Найдём $BC$ — ширину реки в этом створе.

Так как $MN \parallel BC$, треугольники $AMN$ и $ABC$ подобны, и отношение здесь — часть к целому:

$k = \frac{AB}{AM} = \frac{12 + 24}{12} = 3.$

Тогда

$BC = MN \cdot k = 15 \cdot 3 = 45 \text{ м}.$

Типичная ошибка на этой станции — взять $\dfrac{MB}{AM} = 2$ вместо $\dfrac{AB}{AM} = 3$ и получить $30$ м. Часть к целому и часть к части — разные отношения.

Станция 3. Диагональ и расстояние

Прямоугольный участок имеет стороны $9$ и $12$ м. Сколько метров троса нужно, чтобы натянуть его по диагонали?

Лаборатория прямоугольного треугольника

Квадраты, корни и отношения сторон

Все длины и площади вычисляются из введённых катетов, а квадраты строятся по настоящим координатам.

задача

Квадраты на сторонахНайти сторонуСинус, косинус, тангенс

Катет AC12 см

−+

От 3 до 12 см

Катет BC9 см

−+

От 3 до 12 см

Гипотенуза, смПроверить

?

Катеты равны 12 и 9 см. Найди гипотенузу с точностью до десятых.Сначала найди c², потом извлеки корень. Ответ вводи десятичной дробью.

↺ Вернуть пример

Проверь себя ещё на двух наборах: катеты $5$ и $7$ (корень не извлекается) и катеты $8$ и $6$ (извлекается нацело).

Станция 4. Угол наклона крыши

Стропило длиной $9$ м поднимается под углом $35°$ к горизонту.

Лаборатория прямоугольного треугольника

Квадраты, корни и отношения сторон

Все длины и площади вычисляются из введённых катетов, а квадраты строятся по настоящим координатам.

задача

Квадраты на сторонахНайти сторонуСинус, косинус, тангенс

Гипотенуза AB9 см

−+

От 5 до 15 см

Угол A35°

−+

От 10° до 80°

Катет BC, смПроверить

?

Гипотенуза 9 см, угол A равен 35°. Найди катет BC с точностью до десятых.Катет BC лежит против угла A, значит нужен синус: BC = AB · sin A.

↺ Вернуть пример

Высота конька — это противолежащий катет, поэтому нужен синус; длина горизонтальной проекции — прилежащий катет, поэтому косинус. Если известны обе стороны, а угол неизвестен, работает тангенс.

Станция 5. Радиус сломанной детали

От круглой шестерёнки остался обломок. Прямой линейкой измерили хорду $AB = 48$ мм и высоту дуги над ней $8$ мм. Диаметр измерить невозможно — центра нет.

Радиус по хорде и высоте сегментаРазбираем вместе

Проведём радиус в середину хорды. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, поэтому получается прямоугольный треугольник с катетами $24$ и $R - 8$ и гипотенузой $R$:

$24^2 + (R-8)^2 = R^2.$

Раскроем скобки:

$576 + R^2 - 16R + 64 = R^2 \;\Longrightarrow\; 640 = 16R \;\Longrightarrow\; R = 40 \text{ мм}.$

Проверка: при $R = 40$ расстояние от центра до хорды равно $40 - 8 = 32$, и тогда половина хорды равна $\sqrt{1600 - 1024} = \sqrt{576} = 24$ мм. Сходится.

◆ Паспорт результата

Рядом с каждым числом запиши: что именно измерено, в каких единицах, точный ответ или округлённый и какое допущение сделано (горизонтальная земля, параллельные лучи, идеальная окружность). Без такого паспорта чужой результат невозможно проверить.

Проверка понимания

Известны длина наклонной лестницы и угол её наклона к земле. Какой инструмент даёт высоту верхнего конца?

• А. Теорема Пифагора
• Б. Признак подобия по трём сторонам
• В. Синус острого угла

Итоговый набор задач

1. Треугольники подобны с коэффициентом $k = 2{,}5$. Периметр меньшего равен $16$ см. Найди периметр большего.
2. Площади подобных треугольников равны $27$ и $48\text{ см}^2$. Найди коэффициент подобия.
3. В треугольнике $ABC$ проведена $MN \parallel BC$: $AM = 6$, $MB = 9$, $AN = 8$. Найди $NC$.
4. Столб высотой $4$ м даёт тень $2{,}5$ м, тень башни равна $30$ м. Найди высоту башни.
5. Катеты прямоугольного треугольника равны $20$ и $21$. Найди гипотенузу.
6. Гипотенуза равна $41$, один катет — $9$. Найди второй катет.
7. В прямоугольном треугольнике катет равен $7$, а прилежащий к нему острый угол — $60°$. Найди гипотенузу и второй катет.
8. Острый угол $\alpha$ таков, что $\cos \alpha = 0{,}28$. Найди $\sin \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$.
9. Из точки, удалённой от центра на $17$, проведена касательная длиной $15$. Найди радиус окружности.
10. Хорда равна $30$, расстояние от центра до неё — $8$. Найди радиус.
11. $AB$ — диаметр окружности, точка $C$ лежит на окружности, $AC = 5$, $BC = 12$. Найди диаметр.
12. Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$: $AE = 5$, $EB = 8$, $CE = 4$. Найди $ED$ и длину хорды $CD$.
13. Вписанный угол равен $28°$. Найди дугу, на которую он опирается, и центральный угол.
14. Хорда обломка детали равна $48$ мм, высота дуги над ней — $8$ мм. Найди радиус.

Ответы, модели и проверки

1. $16 \cdot 2{,}5 = 40$ см: периметр растёт в первой степени.
2. $k^2 = \dfrac{48}{27} = \dfrac{16}{9}$, поэтому $k = \dfrac{4}{3}$.
3. $\dfrac{6}{9} = \dfrac{8}{NC}$, откуда $NC = \dfrac{8 \cdot 9}{6} = 12$.
4. $k = \dfrac{30}{2{,}5} = 12$, высота башни $4 \cdot 12 = 48$ м.
5. $c^2 = 400 + 441 = 841$, поэтому $c = 29$.
6. $a^2 = 1681 - 81 = 1600$, поэтому $a = 40$.
7. $\cos 60° = \dfrac{7}{c}$, то есть $c = \dfrac{7}{0{,}5} = 14$. Второй катет: $7 \cdot \operatorname{tg} 60° = 7\sqrt{3} \approx 12{,}12$.
8. $\sin^2 \alpha = 1 - 0{,}0784 = 0{,}9216$, поэтому $\sin \alpha = 0{,}96$; $\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{0{,}96}{0{,}28} = \dfrac{24}{7} \approx 3{,}43$.
9. $R^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$, поэтому $R = 8$.
10. Половина хорды равна $15$; $R^2 = 225 + 64 = 289$, поэтому $R = 17$.
11. Угол $C$ опирается на диаметр, значит он прямой: $AB^2 = 25 + 144 = 169$, $AB = 13$.
12. $5 \cdot 8 = 4 \cdot ED$, поэтому $ED = 10$, а $CD = 4 + 10 = 14$.
13. Дуга равна $56°$, центральный угол тоже $56°$.
14. $24^2 + (R-8)^2 = R^2$, откуда $640 = 16R$ и $R = 40$ мм.

Рефлексия проекта

1. В каких задачах ответ получился точным, а в каких пришлось округлять? Что именно вносило приближение: корень, значение тангенса или само измерение?
2. Какие две задачи можно было решить и подобием, и теоремой Пифагора? Какой способ оказался короче?
3. Какое допущение делает метод тени и когда он перестаёт работать?
4. Почему для радиуса детали хватило хорды и высоты дуги — какое свойство окружности это обеспечило?

Возможные ответы: точные результаты дали задачи с пифагоровыми тройками и с подобием, приближение появилось там, где корень не извлекается или где значение тангенса взято из таблицы; задачу про диагональ участка можно решить и через подобие с известным треугольником $3{-}4{-}5$; метод тени требует горизонтальной земли, вертикального объекта и одновременных измерений; радиус восстанавливается потому, что перпендикуляр из центра делит хорду пополам.

✦ Мост дальше

Подобие и прямоугольный треугольник — это фундамент. Дальше синус и косинус перестанут быть привязаны к острому углу и будут определены для любого угла, появятся теоремы синусов и косинусов для произвольного треугольника, а свойства окружности превратятся в инструмент работы с многоугольниками. Всё это опирается ровно на то, что ты уже доказал в этой главе.

← Вписанные углы · К обзору 8 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным