1.5 Уравнения и неравенства

11 класс · Алгебра◷ 65–75 минут◇ БазаНужно знать: логарифм и его свойства, монотонность показательной и логарифмической функций, числовые промежутки

Вклад под $8\%$ годовых. Через сколько лет он удвоится?

Модель записывается сразу: $1{,}08^{t}=2$. Неизвестное стоит в показателе — ни одно из школьных умений до этой главы такое уравнение не берёт. Зато теперь берёт: логарифм для того и придуман.

А если вопрос звучит иначе — «через сколько лет вклад станет больше двойного?» — появится неравенство, и вместе с ним новая ловушка: при основании меньше единицы знак придётся перевернуть.

◎ После урока ты сможешь

• решать простейшие показательные уравнения приведением к одному основанию и через логарифм
• решать простейшие логарифмические уравнения с обязательной проверкой ОДЗ
• решать показательные и логарифмические неравенства, следя за направлением знака
• применять замену переменной в уравнениях, сводящихся к квадратным

Прогноз до вычислений

1. Сколько корней у уравнения $2^{x}=8$? А у уравнения $2^{x}=-8$?
2. Решением неравенства $2^{x}>8$ будет луч вправо или влево?
3. А решением неравенства $\left(\dfrac12\right)^{x}>8$?
4. Обязана ли проверка ОДЗ отсечь хотя бы один корень? Или бывает, что она ничего не отсекает?

Эксперимент: ответ — это промежуток

Ответ у неравенства почти никогда не одно число. Потренируй запись промежутка и особенно круглые и квадратные скобки: дальше в этом уроке от них будет зависеть, входит ли граница в ответ.

Лаборатория неравенств

Собери промежуток и прочитай его запись

Меняй границы и их включённость. Следи за тремя записями одного и того же множества: рисунок, скобки, неравенство.

[3; 5)

Левая граница 3

−+

От −10 до 10, шаг 0,5

Правая граница 5

−+

От −10 до 10, шаг 0,5

Левый конец: включена

[ включена( не включена−∞

Правый конец: не включена

] включена) не включена+∞

↔

[3; 5) — это полуинтервал.Условие на число: 3 ⩽ x < 5. Круглая скобка — граница не входит, квадратная — входит.

↺ Вернуть пример

Промежуток $(3;5)$ выбран не случайно: именно он окажется ответом двойного неравенства $8<2^{x}<32$ в конце урока.

Показательные уравнения

∴ Два базовых приёма

Пусть $a>0$ и $a\neq1$.

Приведение к одному основанию. По монотонности показательной функции

$a^{f(x)}=a^{g(x)}\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=g(x).$

Никакого ОДЗ здесь нет: показатель может быть любым числом.

Через логарифм. Уравнение $a^{x}=b$ при $b>0$ имеет единственный корень $x=\log_a b$, а при $b\leqslant0$ корней не имеет вовсе.

Приведение к одному основаниюРазбираем вместе

$2^{x+1}=8$. Записываем правую часть как степень двойки: $8=2^{3}$. Тогда $2^{x+1}=2^{3}$, откуда $x+1=3$ и $x=2$.

Проверка: $2^{3}=8$.

$3^{2x-1}=\dfrac{1}{27}$. Здесь $\dfrac{1}{27}=3^{-3}$, поэтому $2x-1=-3$, откуда $x=-1$.

Проверка: $3^{2\cdot(-1)-1}=3^{-3}=\dfrac{1}{27}$.

$\left(\dfrac14\right)^{x}=64$. Приведём к основанию $4$: слева $4^{-x}$, справа $4^{3}$. Значит $-x=3$ и $x=-3$.

Когда общего основания нетРазбираем вместе

Вернёмся к вкладу: $1{,}08^{t}=2$.

Двойка не является степенью числа $1{,}08$ с рациональным показателем, поэтому первый приём не работает. Берём логарифм по определению:

$t=\log_{1{,}08}2.$

Это точный ответ. Для практического вывода переведём его в десятичные логарифмы по формуле перехода:

$t=\frac{\lg 2}{\lg 1{,}08}\approx\frac{0{,}30103}{0{,}03342}\approx9{,}01.$

Значит, за $9$ лет вклад ещё не удвоится ($1{,}08^{9}\approx1{,}999$), а за $10$ лет уже перевалит за двойное значение ($1{,}08^{10}\approx2{,}159$). Ответ на исходный вопрос: десять полных лет.

Замена переменнойРазбираем вместе

Решим $4^{x}-5\cdot2^{x}+4=0$.

Заметим, что $4^{x}=\left(2^{2}\right)^{x}=\left(2^{x}\right)^{2}$. Обозначим $t=2^{x}$; при этом обязательно $t>0$.

Уравнение превращается в квадратное: $t^{2}-5t+4=0$. По теореме Виета корни $t_1=1$ и $t_2=4$ — оба положительны, оба годятся.

Возвращаемся к переменной $x$:

$2^{x}=1\ \Rightarrow\ x=0,\qquad 2^{x}=4\ \Rightarrow\ x=2.$

Проверка: при $x=0$ получаем $1-5+4=0$; при $x=2$ получаем $16-20+4=0$.

Ответ: $x=0$ и $x=2$.

Логарифмические уравнения

∴ Два базовых приёма и одно обязательное условие

Пусть $a>0$ и $a\neq1$.

Логарифм равен числу. $\log_a f(x)=c\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=a^{c}$.

Здесь ОДЗ выполняется автоматически: $a^{c}>0$ при любом $c$. Но записать его всё равно стоит — чтобы не потерять привычку.

Логарифм равен логарифму. $\log_a f(x)=\log_a g(x)\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=g(x)$ и $f(x)>0$.

Вот здесь ОДЗ работает всерьёз: уравнение $f(x)=g(x)$ может иметь корни, при которых аргументы отрицательны. Такие корни посторонние, их надо отбросить — это ровно та ситуация с уравнением-следствием, которую разбирали в 10 классе.

Логарифм равен числуРазбираем вместе

Решим $\log_2(x-3)=4$.

ОДЗ: $x-3>0$, то есть $x>3$.

По определению логарифма $x-3=2^{4}=16$, откуда $x=19$. Условие $19>3$ выполнено.

Проверка: $\log_2(19-3)=\log_2 16=4$.

Ответ: $x=19$.

Логарифм равен логарифму — и посторонний кореньРазбираем вместе

Решим $\lg\left(x^{2}-3\right)=\lg(2x)$.

ОДЗ: оба аргумента положительны. Достаточно потребовать $2x>0$, то есть $x>0$: если аргументы равны, то вместе с $2x$ положителен и $x^{2}-3$.

Приравниваем аргументы: $x^{2}-3=2x$, то есть $x^{2}-2x-3=0$. Корни: $x_1=3$ и $x_2=-1$.

Корень $x_2=-1$ не входит в ОДЗ — отбрасываем. Он появился не по ошибке: возведение обеих частей «в аргумент» расширяет множество решений, и проверка обязана его сузить обратно.

Проверка оставшегося корня: $x^{2}-3=9-3=6$ и $2x=6$ — совпало.

Ответ: $x=3$.

Неравенства

∴ Направление знака решает основание

Показательное неравенство. При $a>1$ знак сохраняется, при $0<a<1$ переворачивается:

$a^{f}>a^{g}\ \Longleftrightarrow\ f>g\ \ (a>1),\qquad a^{f}>a^{g}\ \Longleftrightarrow\ f<g\ \ (0<a<1).$

Если справа стоит неположительное число, логарифм не нужен: неравенство $a^{x}>b$ при $b\leqslant0$ верно для всех $x$, а $a^{x}<b$ не имеет решений.

Логарифмическое неравенство. Те же два случая — плюс ОДЗ, которое надо пересечь с полученным ответом:

$\log_a f>c\ \Longleftrightarrow\ \begin{cases} f>a^{c}, & a>1,\\ 0<f<a^{c}, & 0<a<1.\end{cases}$

При $a>1$ условие $f>a^{c}$ уже гарантирует $f>0$, и ОДЗ ничего не добавляет. При $0<a<1$ левую границу $f>0$ надо писать обязательно.

Три неравенстваРазбираем вместе

$0{,}5^{x}>8$. Запишем обе части с основанием $0{,}5$: $8=2^{3}=0{,}5^{-3}$. Основание меньше единицы, знак переворачивается:

$0{,}5^{x}>0{,}5^{-3}\ \Longleftrightarrow\ x<-3.$

Ответ: $(-\infty;-3)$. Проверка: при $x=-4$ имеем $0{,}5^{-4}=16>8$ — верно; при $x=-2$ имеем $0{,}5^{-2}=4>8$ — неверно.

$\log_2(x-3)<4$. ОДЗ: $x>3$. Основание больше единицы, знак сохраняется: $x-3<2^{4}=16$, то есть $x<19$.

Пересекаем с ОДЗ: $3<x<19$. Ответ: $(3;19)$. Без ОДЗ получился бы луч $(-\infty;19)$ — грубая ошибка.

$8<2^{x}<32$. Обе границы — степени двойки: $2^{3}<2^{x}<2^{5}$. Основание больше единицы, знак сохраняется дважды:

$3<x<5.$

Ответ: $(3;5)$ — тот самый промежуток из лаборатории в начале урока.

Проверка понимания

Каково решение неравенства (1/3) в степени x > 9?

• А. x > 2
• Б. x < −2
• В. x > −2

! Два способа потерять ответ

Забыли перевернуть знак. Решаем $\log_{1/2}x>1$. Основание меньше единицы, значит правильно так: $0<x<\left(\dfrac12\right)^{1}=\dfrac12$, ответ $\left(0;\dfrac12\right)$.

Если знак не перевернуть, получится $x>\dfrac12$ — и, например, $x=4$ попадёт в «ответ». Проверим: $\log_{1/2}4=-2$, а это вовсе не больше единицы.

Забыли ОДЗ. Решаем $\log_3(x-4)=\log_3\left(x^{2}-16\right)$. Приравнивание аргументов даёт $x^{2}-16=x-4$, то есть $x^{2}-x-12=0$ и корни $x_1=4$, $x_2=-3$.

Оба посторонние. При $x=4$ аргумент $x-4$ равен нулю, при $x=-3$ он равен $-7$ — логарифм не определён ни там, ни там. Правильный ответ: корней нет.

Мораль одна: ОДЗ выписывается первым действием, до всех преобразований.

Практика

Ответы к неравенствам записывай промежутками.

1. $2^{x}=32$.
2. $3^{x-1}=9$.
3. $5^{2x}=\dfrac{1}{125}$.
4. $\left(\dfrac14\right)^{x}=64$.
5. $7^{x}=0$.
6. $9^{x}-4\cdot3^{x}+3=0$.
7. $\log_3 x=4$.
8. $\log_5(2x+1)=2$.
9. $\log_2(x-1)=\log_2(3x-7)$.
10. $\lg\left(x^{2}-3\right)=\lg(2x)$.
11. $2^{x}>16$.
12. $0{,}2^{x}\geqslant0{,}04$.
13. $3^{x}<\dfrac19$.
14. $\log_2 x>3$.
15. $\log_{1/3}x\geqslant-2$.
16. $\log_5(x-2)\leqslant1$.
17. $8<2^{x}<32$.
18. Вклад растёт на $8\%$ в год. Через сколько полных лет он станет не меньше удвоенного? Считай $\lg 2\approx0{,}30103$ и $\lg1{,}08\approx0{,}03342$.

Ответы и пояснения

1. $2^{x}=2^{5}$, поэтому $x=5$.
2. $3^{x-1}=3^{2}$, поэтому $x-1=2$ и $x=3$.
3. $5^{2x}=5^{-3}$, поэтому $2x=-3$ и $x=-1{,}5$.
4. $4^{-x}=4^{3}$, поэтому $-x=3$ и $x=-3$.
5. Корней нет: показательная функция принимает только положительные значения.
6. Замена $t=3^{x}>0$ даёт $t^{2}-4t+3=0$, корни $t=1$ и $t=3$, оба положительны. Значит $x=0$ и $x=1$. Проверка при $x=1$: $9-12+3=0$.
7. $x=3^{4}=81$. ОДЗ $x>0$ выполнено.
8. ОДЗ: $2x+1>0$. Из $2x+1=25$ получаем $x=12$; проверка: $2\cdot12+1=25>0$.
9. ОДЗ: $x-1>0$ и $3x-7>0$. Из $x-1=3x-7$ получаем $2x=6$ и $x=3$; тогда оба аргумента равны $2>0$. Ответ $x=3$.
10. ОДЗ: $2x>0$, то есть $x>0$. Из $x^{2}-3=2x$ получаем $x^{2}-2x-3=0$, корни $3$ и $-1$; второй не входит в ОДЗ. Ответ $x=3$.
11. $2^{x}>2^{4}$, основание больше единицы, знак сохраняется: $(4;+\infty)$.
12. $0{,}2^{x}\geqslant0{,}2^{2}$, основание меньше единицы, знак переворачивается: $(-\infty;2]$. Граница входит, потому что неравенство нестрогое.
13. $3^{x}<3^{-2}$, знак сохраняется: $(-\infty;-2)$.
14. ОДЗ $x>0$; из $x>2^{3}$ получаем $(8;+\infty)$ — ОДЗ ничего не добавило.
15. Основание меньше единицы, знак переворачивается: $x\leqslant\left(\dfrac13\right)^{-2}=9$. Вместе с ОДЗ $x>0$ получаем $(0;9]$.
16. ОДЗ: $x>2$. Из $x-2\leqslant5$ получаем $x\leqslant7$. Пересечение: $(2;7]$.
17. $2^{3}<2^{x}<2^{5}$, поэтому $3<x<5$, ответ $(3;5)$.
18. Неравенство $1{,}08^{t}\geqslant2$ даёт $t\geqslant\log_{1{,}08}2=\dfrac{\lg2}{\lg1{,}08}\approx\dfrac{0{,}30103}{0{,}03342}\approx9{,}01$. Наименьшее целое число лет — $10$: при $t=9$ множитель равен примерно $1{,}999$, а при $t=10$ — примерно $2{,}159$.

Итог

• Показательное уравнение решают приведением к одному основанию, а если общего основания нет — логарифмированием: $a^{x}=b$ при $b>0$ даёт $x=\log_a b$.
• Логарифмическое уравнение сводят к $f(x)=a^{c}$ или к $f(x)=g(x)$, но только вместе с ОДЗ; посторонние корни здесь появляются регулярно.
• Замена $t=a^{x}$ с условием $t>0$ превращает целый класс уравнений в квадратные.
• В неравенствах направление знака определяет основание: при $a>1$ знак сохраняется, при $0<a<1$ переворачивается. Ответ записывается промежутком.

Осталось собрать всё вместе. В практикуме вклад, распад изотопа, шкала громкости и кислотность раствора встретятся в одном наборе задач — и на каждой придётся выбирать: приводить к одному основанию, логарифмировать, делать замену или просто читать шкалу.

← Логарифмическая функция · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным