1.3 Свойства степеней

7 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: определение степени, порядок действий, сокращение дробей

Нужно вычислить $2^{5}\cdot2^{7}$. Можно честно найти $32$ и $128$, а потом перемножить. А можно заметить, что в произведении просто стоят подряд $5$ и ещё $7$ одинаковых множителей — всего $12$ штук.

Второй путь короче, и он же единственный возможный, когда основание — буква, а показатели большие.

◎ После урока ты сможешь

• применять свойства произведения и частного степеней с одинаковым основанием
• возводить степень в степень и произведение в степень
• объяснять, почему нулевая степень ненулевого числа равна единице
• отличать выражения, которые упрощаются, от тех, которые не упрощаются

Прогноз до вычислений

Не вычисляя значений, скажи: чему равны $3^{2}\cdot3^{4}$ и $\left(3^{2}\right)^{4}$? Одинаковые ли получатся показатели? Запиши обе догадки и проверь их в лаборатории — там каждое свойство подтверждается точным вычислением на конкретном числе.

Лаборатория степеней

Степень: запись, свойства и порядок числа

Разверни степень в произведение, проверь свойства на конкретном числе и посмотри, где число стоит на шкале порядков.

aⁿ

Что такое степеньСвойства степенейСтандартный вид

ПроизведениеЧастноеСтепень степени

Первый показатель m 3

−+

Натуральное число от 1 до 8.

Второй показатель n 4

−+

Натуральное число от 1 до 8.

Основание для проверки 2

−+

На этом числе свойство проверяется точным вычислением.

2³·2⁴=2⁷

Проверка на числе

Оба пути дают 128

Множители обеих степеней просто встают в один ряд, поэтому показатели складываются. Прямое действие над значениями степеней даёт 128, вычисление по свойству — 128.

=

Показатель результата равен 7.Множители обеих степеней просто встают в один ряд, поэтому показатели складываются.

↺ Вернуть пример

Переключай свойство и следи за квадратиками: каждый квадратик — один множитель. Свойство степеней — это просто аккуратный подсчёт этих множителей.

Три основных свойства

∴ Степени с одинаковым основанием

Для любого числа $a$ и натуральных $m$, $n$:

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},\qquad \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}.$

Для частного нужны два дополнительных условия — $a\ne0$ и $m\ge n$:

$a^{m}:a^{n}=a^{m-n}.$

Условие $m\ge n$ пока обязательно: при $m<n$ показатель перестал бы быть натуральным. Такие степени появятся в 8 классе.

Каждое из них доказывается подсчётом множителей.

Произведение. В записи $a^{m}\cdot a^{n}$ сначала стоят $m$ множителей, потом ещё $n$. Всего их $m+n$:

$a^{3}\cdot a^{4}=(a\cdot a\cdot a)\cdot(a\cdot a\cdot a\cdot a)=a^{7}.$

Частное. В дроби $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}$ каждый множитель знаменателя сокращается с множителем числителя. Сокращается $n$ штук, остаётся $m-n$:

$\frac{a^{5}}{a^{2}}=\frac{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a}=a^{3}.$

Степень степени. В записи $\left(a^{m}\right)^{n}$ скобка повторяется $n$ раз, и в каждой скобке $m$ множителей. Всего $mn$:

$\left(a^{2}\right)^{3}=a^{2}\cdot a^{2}\cdot a^{2}=a^{6}.$

∴ Степень произведения

$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}.$

Множители можно переставлять, поэтому в записи $(ab)(ab)\ldots(ab)$ соберём отдельно все $a$ и отдельно все $b$. Например, $(2\cdot5)^{3}=10^{3}=1000$ и $2^{3}\cdot5^{3}=8\cdot125=1000$.

Что такое $a^{0}$

Правило для частного естественно продолжить на случай $m=n$. С одной стороны, $a^{5}:a^{5}=1$. С другой — по формуле получилось бы $a^{5-5}=a^{0}$. Чтобы правило работало без исключений, договариваются:

◆ Нулевой показатель

$a^{0}=1\quad\text{при}\quad a\ne0.$

Это не «доказанный факт про ноль множителей», а соглашение, выбранное так, чтобы свойства степеней не ломались. Выражение $0^{0}$ не определено.

Пять упрощенийРазбираем вместе

$3^{4}\cdot3^{5}=3^{9}.$

$7^{8}:7^{6}=7^{2}=49.$

$\left(2^{3}\right)^{4}=2^{12}=4096.$

$x^{4}\cdot x\cdot x^{2}=x^{7}\quad\text{(не забывай, что } x=x^{1}\text{)}.$

$\frac{4^{3}\cdot4^{2}}{4^{4}}=4^{3+2-4}=4^{1}=4.$

Проверим последнее прямым счётом: $\dfrac{64\cdot16}{256}=\dfrac{1024}{256}=4$. Совпало.

! Сумма степеней не упрощается

Запись $2^{3}+2^{4}$ не равна $2^{7}$: свойства работают для произведения и частного, а не для суммы. Проверим: $8+16=24$, а $2^{7}=128$.

Вторая частая ошибка — перемножить показатели вместо сложения: $2^{3}\cdot2^{4}=2^{12}$. Разверни запись, и станет видно, что множителей ровно $3+4=7$.

Третья — тронуть основание: $3^{2}\cdot3^{3}=9^{5}$. Основание при умножении степеней не меняется: верно $3^{2}\cdot3^{3}=3^{5}=243$, а $9^{5}=59\,049$.

Проверка понимания

Чему равно произведение 5³ · 5⁴?

• А. 5⁷
• Б. 5¹²
• В. 25⁷

Практика

1. Упрости: $2^{5}\cdot2^{3}$ и вычисли значение.
2. Упрости: $a^{7}\cdot a$.
3. Упрости и вычисли: $3^{10}:3^{7}$.
4. Вычисли: $\left(5^{2}\right)^{3}$.
5. Упрости: $\left(x^{4}\right)^{2}\cdot x^{3}$.
6. Упрости: $(2a)^{3}$.
7. Вычисли: $6^{5}:6^{5}$.
8. Упрости и вычисли: $\dfrac{4^{3}\cdot4^{2}}{4^{4}}$.
9. Сравни $2^{10}\cdot2^{10}$ и $2^{20}$.
10. Верно ли равенство $3^{2}\cdot3^{3}=9^{5}$? Если нет, исправь его.

Ответы и пояснения

1. $2^{5}\cdot2^{3}=2^{8}=256$.
2. $a^{7}\cdot a=a^{7}\cdot a^{1}=a^{8}$.
3. $3^{10}:3^{7}=3^{3}=27$.
4. $\left(5^{2}\right)^{3}=5^{6}=15\,625$.
5. $\left(x^{4}\right)^{2}\cdot x^{3}=x^{8}\cdot x^{3}=x^{11}$.
6. $(2a)^{3}=2^{3}a^{3}=8a^{3}$.
7. $6^{5}:6^{5}=6^{0}=1$.
8. $4^{3+2-4}=4^{1}=4$.
9. Они равны: $2^{10}\cdot2^{10}=2^{20}$.
10. Неверно. Основание не меняется: $3^{2}\cdot3^{3}=3^{5}=243$, тогда как $9^{5}=59\,049$.

Итог

• $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$, $a^{m}:a^{n}=a^{m-n}$ при $m\ge n$ и $a\ne0$, $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$.
• Все три свойства — это подсчёт одинаковых множителей, а не отдельные формулы для заучивания.
• $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$; основание при умножении степеней не меняется.
• $a^{0}=1$ при $a\ne0$ — соглашение, согласованное с правилом для частного.

Теперь у нас есть всё, чтобы работать с очень большими числами: степень десятки плюс свойства степеней дают удобную форму записи, в которой не нужно считать нули.

← Степень с натуральным показателем · Дальше: стандартный вид числа →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным