1.1. Делители и кратные

6 класс · Делимость◷ 30–35 минут◇ БазаНужно знать: таблица умножения и деление без остатка

Для выставки нужно разместить $24$ фотографии равными рядами. Можно сделать $4$ ряда по $6$ фотографий или $3$ ряда по $8$. А какие варианты мы ещё не заметили — и как доказать, что нашли все?

◎ После урока ты сможешь

• узнавать делитель как возможную длину стороны прямоугольника
• находить все делители числа парами без пропусков
• различать делители числа и его кратные

Построй прямоугольник

Лаборатория делителей

Собери число в прямоугольник

Если предметы заполнили все ряды без пустот, длина ряда и число рядов — делители.

все пары видны

Исследуемое число 24

1 × 242 × 123 × 84 × 6

4 · 6 = 24

8 делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

↺ Вернуть число 24

Каждый прямоугольник без пустот даёт равенство. Например,

$24=3\cdot8.$

Поэтому и $3$, и $8$ делят $24$ без остатка. Они образуют пару делителей.

∴ Делитель

Натуральное число $a$ называют делителем натурального числа $n$, если существует натуральное $k$, для которого $n=a\cdot k$. Это записывают $a\mid n$ и читают: «$a$ делит $n$».

У числа $24$ пары множителей таковы:

$1\cdot24,\qquad 2\cdot12,\qquad 3\cdot8,\qquad 4\cdot6.$

Значит, все натуральные делители числа $24$:

$1,2,3,4,6,8,12,24.$

Как не пропустить делитель

Проверяй возможные первые множители по порядку: $1,2,3,\ldots$ Как только пары начинают повторяться в обратном порядке, поиск закончен.

Найдём все делители числа 36Разбираем вместе

Начинаем с единицы и записываем пары:

$36=1\cdot36=2\cdot18=3\cdot12=4\cdot9=6\cdot6.$

После $6\cdot6$ пошли бы уже знакомые пары: $9\cdot4$, $12\cdot3$ и так далее. Поэтому делители можно выписать симметрично:

$1,2,3,4,6,9,12,18,36.$

У квадрата $36=6^2$ средний делитель $6$ входит в список один раз.

✦ Почему достаточно дойти до квадратного корня

В каждой паре $a\cdot b=n$ хотя бы один множитель не больше $\sqrt n$. Если оба были бы больше $\sqrt n$, их произведение оказалось бы больше $n$. В 6 классе можно пользоваться рисунком: после почти квадратного прямоугольника стороны просто меняются местами.

А что такое кратное

Если $a$ — делитель $n$, то $n$ — кратное $a$. Например, $24$ кратно $3$, потому что $24=3\cdot8$.

Положительные кратные числа $6$ получаются умножением на $1,2,3,\ldots$:

$6,12,18,24,30,36,\ldots$

Делителей у натурального числа конечное количество: делитель не может быть больше самого числа. Положительных кратных бесконечно много: множитель можно увеличивать без конца.

Проверка понимания

Какое утверждение о числах 7 и 42 верно?

• А. 42 — делитель 7
• Б. 7 — кратное 42
• В. 7 — делитель 42, а 42 — кратное 7

! Ловушка: перепутать направление

Фраза «$5$ делит $30$» означает, что $30$ можно собрать из пятёрок: $30=5\cdot6$. Число $5$ — делитель, а $30$ — кратное. Полезно каждый раз восстанавливать произведение.

Практика

Проверь смысл

1. Выпиши все натуральные делители числа $28$.
2. Назови первые шесть положительных кратных числа $9$.
3. Верно ли: $6\mid132$? А $6\mid145$?
4. Какие прямоугольники из $30$ одинаковых клеток можно построить? Повороты не считай новым вариантом.

Применяй системно

5. Найди все делители числа $48$.
6. У какого числа пары множителей $1\cdot36$, $2\cdot18$, $3\cdot12$, $4\cdot9$, $6\cdot6$?
7. Найди общее кратное чисел $4$ и $6$, которое находится между $20$ и $30$.
8. Выпиши делители чисел $25$ и $36$. Почему у каждого квадрата один делитель в середине не образует пару с другим числом?

Объясни

9. Почему у любого натурального числа есть делители $1$ и само число?
10. Почему список кратных нельзя закончить словами «это все»?

Ответы и объяснения

1. $1,2,4,7,14,28$.
2. $9,18,27,36,45,54$.
3. Да, $132=6\cdot22$; нет, $145=6\cdot24+1$.
4. $1\times30$, $2\times15$, $3\times10$, $5\times6$.
5. $1,2,3,4,6,8,12,16,24,48$.
6. Это число $36$.
7. $24$.
8. У $25$ делители $1,5,25$, у $36$ — $1,2,3,4,6,9,12,18,36$. В паре для среднего делителя обе стороны совпадают: $25=5\cdot5$ и $36=6\cdot6$, поэтому этот делитель записывают один раз.
9. $n=1\cdot n$.
10. После кратного $a\cdot k$ всегда существует следующее $a\cdot(k+1)$.

Итог

• Делители числа появляются парами множителей.
• Систематический перебор заканчивается, когда пары начинают повторяться.
• Делителей конечное число, а положительных кратных — бесконечно много.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным