Общий язык функций

10 класс · Алгебра◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: линейная и квадратичная функции, квадратный корень, числовые промежутки, координатная плоскость

До этого года функции приходили по одной. Линейная — в 7 классе, гипербола и уголок — в 8, парабола — в 9. Каждый раз это была отдельная история со своим набором фактов.

В 10 классе история меняется. Функция становится общим языком, на котором дальше будут записаны тригонометрия, показательные модели, производная и интеграл. И у этого языка есть небольшой словарь: область определения, множество значений, чётность, монотонность, ограниченность, преобразование, обратимость, композиция.

Восемь слов. Их хватит, чтобы описать любую функцию — включая те, которых ты ещё не видел.

◎ После урока ты сможешь

• находить область определения и множество значений по формуле и по графику
• проверять чётность, монотонность и ограниченность и честно записывать вывод
• строить график цепочкой преобразований эталона и читать преобразование по формуле
• проверять обратимость функции и находить формулу обратной
• вычислять композицию функций и находить её область определения

◆ Одна формула — четыре разных вопроса

Запись $f(x)=\sqrt{x-3}$ отвечает сразу на несколько вопросов, но на разные.

Что можно подставить? Только $x\geqslant 3$. Что может получиться? Только $y\geqslant 0$. Как выглядит график? Это $y=\sqrt{x}$, сдвинутый вправо на $3$. Можно ли вернуться назад от $y$ к $x$? Да, и обратная функция — $y=x^2+3$ при $x\geqslant 0$.

Вся глава — про то, чтобы отвечать на эти вопросы отдельно и не смешивать их.

Входная диагностика

Ответь без вычислений там, где это возможно.

1. Что нельзя подставлять в выражение $\dfrac{1}{x-4}$?
2. Что нельзя подставлять под знак квадратного корня?
3. Какие значения принимает функция $y=x^2$?
4. Симметричен ли график $y=x^2$ относительно оси $y$?
5. Как из графика $y=x^2$ получить график $y=(x-5)^2$?
6. Возрастает или убывает функция $y=-2x+1$?
7. Точка $(2;7)$ лежит на графике функции $f$. Чему равно $f(2)$?
8. Может ли вертикальная прямая пересечь график функции в двух точках?

Ответы для самопроверки

1. Число $4$: знаменатель обратится в ноль.
2. Отрицательные числа.
3. Все неотрицательные, то есть $y\geqslant 0$.
4. Да.
5. Сдвинуть на $5$ вправо.
6. Убывает: угловой коэффициент отрицателен.
7. $f(2)=7$.
8. Нет. Иначе одному $x$ отвечали бы два значения — и это уже не функция.

Договорённости главы

• Ответ «область определения» записываем промежутками — так, как научились в 8 классе.
• Рядом с каждым свойством указываем множество, на котором оно проверено: «возрастает на $[0;+\infty)$», а не просто «возрастает».
• Численный эксперимент в лаборатории показывает, что происходит, но не доказывает. Доказательство — выкладка.
• Обозначения одинаковы всюду: $D(f)$ — область определения, $E(f)$ — множество значений, $f^{-1}$ — обратная функция.

Маршрут главы

1. Что такое функция — соответствие, $D(f)$ и $E(f)$, чётность, монотонность и ограниченность.
2. Преобразования графиков — сдвиги, растяжения, отражения и два разных модуля.
3. Обратная функция — когда возврат возможен и как найти формулу.
4. Композиция функций — конвейер из двух правил и его область определения.
5. Практикум — собираем полный паспорт незнакомой функции.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с самого слова «функция» — оно окажется строже, чем кажется.