3.1 Первообразная

11 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: производная многочлена, степень с рациональным показателем, уравнение касательной и график функции

На счётчике воды сломалось табло с общим расходом, но датчик расхода жив: он показывает, сколько литров в минуту течёт прямо сейчас. По его записи нужно восстановить, сколько воды набралось в баке.

Задача звучит непривычно. Раньше мы всегда шли в одну сторону: дана функция — найди производную. Теперь дана производная — найди функцию.

◎ После урока ты сможешь

• проверять по определению, является ли данная функция первообразной
• находить первообразные степенной, тригонометрических и показательной функций
• объяснять, почему первообразных бесконечно много и чем они отличаются
• выбирать единственную первообразную по дополнительному условию

Прогноз до вычислений

Ответь навскидку, не пиша выкладок.

1. Чья производная равна $2x$?
2. Есть ли ещё функции с такой же производной? Сколько их?
3. Если две функции имеют одинаковую производную, обязаны ли они совпадать?

Третий вопрос — главный в уроке. Ответ на него объясняет, почему в ответах интегрирования всё время появляется загадочная буква $C$.

◆ Что нужно помнить о производной

Производная $f'(x)$ — это скорость изменения функции $f$ в точке $x$: на сколько примерно изменится значение, если аргумент подрастёт на маленькое $\Delta x$. Формально $\Delta f\approx f'(x)\cdot\Delta x$.

Нам понадобится короткий список:

$(x^n)'=n x^{n-1},\qquad (kx+b)'=k,\qquad C'=0,$

$(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (e^x)'=e^x,\qquad (\ln x)'=\frac{1}{x}.$

Плюс два правила: производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель выносится: $(k f)'=k f'$.

Определение

∴ Первообразная

Функция $F$ называется первообразной для функции $f$ на промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка

$F'(x)=f(x).$

Проверка первообразной всегда одна и та же: продифференцируй ответ и сравни с исходной функцией. Это делает интегрирование удобной темой — ответ можно проверить самому, без ключа.

Например, для $f(x)=2x$ первообразной будет $F(x)=x^2$, потому что $(x^2)'=2x$. Но ровно так же годится $x^2+7$: постоянное слагаемое при дифференцировании исчезает.

Семейство, а не одна функция

∴ Основное свойство первообразных

Если $F$ — одна из первообразных функции $f$ на промежутке, то все первообразные этой функции имеют вид

$F(x)+C,\qquad C\in\mathbb{R}.$

Почему больше ничего быть не может? Пусть $F'=f$ и $G'=f$. Тогда у разности $H=G-F$ производная равна нулю в каждой точке промежутка. Функция с нулевой скоростью изменения не растёт и не убывает — значит, она постоянна: $H(x)=C$. Отсюда $G=F+C$.

Геометрически семейство первообразных — это стопка одинаковых графиков, сдвинутых друг относительно друга по вертикали. В точках с одной и той же абсциссой у них одинаковый наклон касательной: наклон и есть значение $f(x)$, а оно у всех членов семейства общее.

Эксперимент: проверь первообразную дифференцированием

Лаборатория умеет находить первообразную многочлена. Поставь нижнюю функцию $g$ равной $0$ — тогда во второй строке разбора появится первообразная самой $f$.

Твоя работа — не читать её, а предсказать: закрой строку рукой, найди первообразную сам, потом открой и сравни. И обязательно продифференцируй ответ обратно.

Число в самом низу лаборатория тоже считает — это площадь под графиком. Пока не обращай на него внимания: оно станет главным героем со следующего урока.

Лаборатория первообразной

Площадь считается вычитанием

Выбери две функции и отрезок. Площадь фигуры между графиками — это интеграл разности, а интеграл считается через первообразную.

F(b) − F(a)

Верхняя функция f022x + 1x + 2x²4 − x²x² − 2x + 3x³График этой функции рисуется сплошной линией.

Нижняя функция g022x + 1x + 2x²4 − x²x² − 2x + 3x³Значение «0» — это ось абсцисс: получится площадь под графиком.

Нижний предел a 0От −8 до 8.

Верхний предел b 2Должен быть больше a хотя бы на 0,2.

Графики пересекаются при x = −2; 2.Взять пределы по пересечениям

1. 1

   Разность: f(x) − g(x) = −x² + 4Высота вертикального отрезка внутри фигуры.

2. 2

   Первообразная: F(x) = −x³/3 + 4xПостоянную C можно не писать: при вычитании она исчезнет.

3. 3

   F(2) = 16/3, F(0) = 0Подставляем сначала верхний предел, потом нижний.

4. 4

   F(b) − F(a) = 16/3Разность неотрицательна на всём отрезке, поэтому это и есть площадь.

∫

Площадь равна 16/3.Интеграл разности сразу даёт площадь: на всём отрезке один график лежит выше другого.

↺ Вернуть пример

Таблица первообразных

Таблица получается «зеркальным отражением» таблицы производных. Всюду ниже $C$ — произвольная постоянная.

$f(x)$	$F(x)$	Где работает
$0$	$C$	всюду
$k$	$kx+C$	всюду
$x^n$, $n\neq -1$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$	там, где определена степень
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\lvert x\rvert+C$	$x\neq 0$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}+C$	$x>0$
$e^x$	$e^x+C$	всюду
$\sin x$	$-\cos x+C$	всюду
$\cos x$	$\sin x+C$	всюду

Ключевая строка — третья. Правило простое: показатель увеличиваем на единицу и делим на новый показатель. Производная делала ровно обратное.

Проверим на $f(x)=x^2$:

$F(x)=\frac{x^{3}}{3}+C,\qquad F'(x)=\frac{3x^{2}}{3}=x^{2}.$

∴ Три правила интегрирования

Пусть $F$ — первообразная для $f$, а $G$ — для $g$. Тогда:

1. Сумма. $F+G$ — первообразная для $f+g$.
2. Постоянный множитель. $kF$ — первообразная для $kf$.
3. Линейная замена. $\dfrac{1}{k}F(kx+b)$ — первообразная для $f(kx+b)$ при $k\neq 0$.

Первые два правила — прямое следствие правил дифференцирования. Третье появляется из-за того, что при дифференцировании сложной функции наружу выходит множитель $k$, и его приходится компенсировать делением.

Обрати внимание, чего в списке нет: правил для произведения и частного. Первообразная произведения не равна произведению первообразных, и это не забывчивость авторов — таких простых правил просто не существует.

Одна первообразная из всего семействаРазбираем вместе

Найдём первообразную функции $f(x)=3x^2-4x+5$, график которой проходит через точку $(1;2)$.

Шаг 1. Общий вид. Интегрируем по слагаемым:

$F(x)=3\cdot\frac{x^3}{3}-4\cdot\frac{x^2}{2}+5x+C=x^3-2x^2+5x+C.$

Шаг 2. Проверка. Дифференцируем обратно: $F'(x)=3x^2-4x+5$. Совпало с $f$.

Шаг 3. Условие. Подставляем $x=1$ и требуем значение $2$:

$1-2+5+C=2\quad\Longrightarrow\quad 4+C=2\quad\Longrightarrow\quad C=-2.$

Ответ. $F(x)=x^3-2x^2+5x-2$. Из бесконечного семейства условие выбрало ровно одну функцию: через каждую точку плоскости проходит ровно один график семейства.

Проверка понимания

Какая функция является первообразной для f(x) = x³?

• А. 3x²
• Б. x⁴/4
• В. x⁴

! Три типичные ошибки

Потерянная постоянная. Запись «первообразная функции $2x$ равна $x^2$» верна лишь наполовину: это одна из первообразных. Если спрашивают общий вид, ответ обязан содержать $+C$.

Перепутанное направление. Для $f(x)=x^5$ ответ $5x^4$ — это производная. Проверяй себя дифференцированием ответа: если получилась не исходная функция, направление выбрано неверно.

Правило для произведения. Для $f(x)=x\cdot x$ ответ $\dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{x^4}{4}$ неверен: производная этой функции равна $x^3$, а не $x^2$. Сначала упрощай выражение, а потом интегрируй.

Практика

1. Проверь дифференцированием, что $F(x)=\dfrac{x^4}{4}$ — первообразная для $f(x)=x^3$.
2. Найди общий вид первообразной для $f(x)=x^5$.
3. Найди общий вид первообразной для $f(x)=6x^2$.
4. Найди общий вид первообразной для $f(x)=4x^3-2x+7$.
5. Найди общий вид первообразной для $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ и укажи, где ответ работает.
6. Найди общий вид первообразной для $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.
7. Найди общий вид первообразной для $f(x)=\sin x$.
8. Найди общий вид первообразной для $f(x)=\cos x+e^x$.
9. Для $f(x)=3x^2$ найди первообразную, график которой проходит через точку $(2;5)$.
10. Для $f(x)=2x+3$ найди первообразную, для которой $F(0)=-1$.
11. Сколько первообразных у функции $f(x)=5$? Запиши их общий вид.
12. Функции $F(x)=x^2$ и $G(x)=x^2+7$ — первообразные одной и той же функции. Чему равна их разность и что это означает на графике?
13. Проверь, что $F(x)=\dfrac{(2x+1)^5}{10}$ — первообразная для $f(x)=(2x+1)^4$.
14. Скорость наполнения бака равна $v(t)=0{,}4t$ литров в минуту. Найди общий вид функции объёма $V(t)$ и объясни физический смысл постоянной $C$.

Ответы и пояснения

1. $\left(\dfrac{x^4}{4}\right)'=\dfrac{4x^3}{4}=x^3$. Совпало.
2. $F(x)=\dfrac{x^6}{6}+C$.
3. $F(x)=6\cdot\dfrac{x^3}{3}+C=2x^3+C$.
4. $F(x)=x^4-x^2+7x+C$; проверка: $F'=4x^3-2x+7$.
5. $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$, поэтому $F(x)=\dfrac{x^{-1}}{-1}+C=-\dfrac{1}{x}+C$. Отдельно на промежутке $x>0$ и отдельно на $x<0$: в нуле функция не определена.
6. $\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$, поэтому $F(x)=\dfrac{x^{1/2}}{1/2}+C=2\sqrt{x}+C$ при $x>0$.
7. $F(x)=-\cos x+C$; проверка: $(-\cos x)'=\sin x$.
8. $F(x)=\sin x+e^x+C$.
9. $F(x)=x^3+C$; из $8+C=5$ получаем $C=-3$, то есть $F(x)=x^3-3$.
10. $F(x)=x^2+3x+C$; из $F(0)=C=-1$ получаем $F(x)=x^2+3x-1$.
11. Бесконечно много: $F(x)=5x+C$.
12. Разность равна $7$ — это постоянная. Графики отличаются сдвигом на $7$ вверх, а касательные в точках с одинаковой абсциссой параллельны.
13. По правилу линейной замены или напрямую: $F'(x)=\dfrac{5(2x+1)^4\cdot 2}{10}=(2x+1)^4$. Совпало.
14. $V(t)=0{,}2t^2+C$. Постоянная $C$ — это объём, который был в баке в момент $t=0$: датчик расхода про него ничего не знает, поэтому по одной лишь скорости объём восстанавливается с точностью до начального запаса.

Итог

• Первообразная — функция, производная которой равна данной; проверка всегда делается дифференцированием.
• Первообразных бесконечно много, и все они отличаются на постоянную: $F(x)+C$.
• Таблица первообразных получается обращением таблицы производных; главное правило — увеличить показатель и разделить на новый показатель.
• Дополнительное условие (точка на графике или значение в точке) выбирает из семейства ровно одну функцию.

Задача 14 показала границу метода: по скорости мы восстановили объём с точностью до начального запаса. Но если спросить не «сколько всего», а «сколько добавилось с 0-й по 5-ю минуту», неизвестная $C$ сократится, и ответ станет однозначным. Именно такие вопросы — про накопленное за промежуток — приведут нас к площади под графиком.

← Вход в тему · Дальше: площадь под графиком →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным