3.7. Практикум · Фестиваль пропорций

6 класс · Отношения◷ 75–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 3.1–3.6

Школьный фестиваль нужно спланировать, начертить, снабдить материалами и проанализировать. В каждой задаче сначала выбери модель, а уже потом выполняй действие.

Карта выбора

Вопрос задачи	Модель	Быстрая проверка
как соотносятся две величины?	отношение	порядок и единицы верны?
как сохранить тот же состав?	равные отношения, пропорция	обе части изменены одним множителем?
сколько приходится на одну единицу?	единичная ставка	у коэффициента осмысленные единицы?
как перевести план в реальность?	масштаб	длины приведены к одной единице?
какую долю из ста составляет часть?	процент	что принято за $100\%$ ?
какой стала величина после изменения?	коэффициент $1\pm p/100$	процент взят от правильной базы?

Проверка понимания

На карте 1 : 40 000 маршрут имеет длину 7,5 см. Какой первый шаг относится к смыслу задачи?

Разбор проекта от начала до конца

Для напитка смешивают концентрат и воду в отношении $2:5$ . Нужно приготовить $21$ литр. Один литр напитка разливают в $4$ одинаковых стакана. На утреннюю смену планируют $35\%$ всех $240$ посетителей.

Три модели в одном проектеРазбираем вместе

Состав напитка. Всего в отношении $2+5=7$ условных частей. Одна часть равна

$21:7=3\text{ л}.$

Поэтому концентрата нужно $2\cdot3=6$ л, воды — $5\cdot3=15$ л.

Ставка разлива. На каждый литр приходится $4$ стакана:

$21\cdot4=84\text{ стакана}.$

Утренняя смена. За $100\%$ принимаем всех посетителей:

$240\cdot0{,}35=84\text{ посетителя}.$

Одинаковое число $84$ появилось из двух разных моделей. Единицы показывают, что ответы нельзя смешивать.

Поменяй состав групп в лаборатории и каждый раз проговори три отношения: первая группа ко второй, первая ко всему и вторая ко всему.

Группа A

Количество 18Целое число от 0 до 30

ЕдиницаДля отношения важен вид величины

Группа B

Количество 12Целое число от 1 до 30

ЕдиницаДля отношения важен вид величины

Единицы совпадают — можно сравнивать сами количества.

часть к части

A : B

Сколько единиц A приходится на единицы B.

часть к целому

A : (A + B)

Какую долю всего составляет первая часть.

часть к целому

B : (A + B)

Какую долю всего составляет вторая часть.

Сокращаем оба члена одним и тем же делителем.Порядок важен: A : B и B : A отвечают на разные вопросы.

Станция 1. Быстрые связи

Для мозаики взяли $18$ красных и $12$ синих плиток. Найди красные : синие, красные : все и процент красных.
Дополни пропорцию $7:9=x:36$ .
$8$ одинаковых наборов стоят $520$ рублей. Найди цену одного набора и стоимость $15$ наборов.
На плане масштаба $1:200$ сцена $12\times8$ м. Найди размеры сцены на плане.
Найди $35\%$ от $240$ .
После увеличения на $20\%$ число стало равно $540$ . Найди исходное число.

Ответы к станции 1

$18:12=3:2$ ; $18:30=3:5$ ; красные составляют $60\%$ .
Множитель $4$ , поэтому $x=28$ .
$520:8=65$ рублей за набор; $65\cdot15=975$ рублей.
$12$ м $=1200$ см, $8$ м $=800$ см; на плане $6\times4$ см.
$240\cdot0{,}35=84$ .
Коэффициент роста $1{,}2$ ; $540:1{,}2=450$ .

Станция 2. Выбери модель

Упаковка A: $300$ г орехов за $135$ рублей. Упаковка B: $500$ г за $210$ рублей. Какая выгоднее?
На карте $1:40\,000$ маршрут имеет длину $7{,}5$ см. Найди реальное расстояние.
После скидки $15\%$ толстовка стоит $1360$ рублей. Найди прежнюю цену.
Малые и большие сувениры изготовили в отношении $5:3$ , всего $40$ штук. Продали $80\%$ малых и $60\%$ больших. Сколько сувениров продали и какой процент от всех?
Цена $500$ рублей сначала выросла на $20\%$ , затем уменьшилась на $20\%$ . Вернулась ли она к исходной?
★ Определи вид связи: а) число одинаковых билетов и их стоимость; б) число одинаково производительных работников и время фиксированной работы (проверь, что произведение числа работников и времени постоянно); в) возраст и рост человека.

Ответы и разбор станции 2

A стоит $135:3=45$ рублей за $100$ г; B — $210:5=42$ рубля за $100$ г. Выгоднее B.
$7{,}5\cdot40\,000=300\,000$ см $=3$ км.
Новая цена — $85\%$ старой: $1360:0{,}85=1600$ рублей.
Всего $8$ условных частей, одна часть — $40:8=5$ . Малых $25$ , больших $15$ . Продали $20+9=29$ штук; $29:40\cdot100\%=72{,}5\%$ .
Нет: $500\cdot1{,}2\cdot0{,}8=480$ рублей, на $4\%$ меньше исходной цены.
а) прямая пропорциональность; б) обратная в идеализированной модели; в) точной функциональной зависимости нет.

Станция 3. Исследуй и объясни

В смеси отношение сиропа к воде равно $2:7$ . Ученик утверждает, что сироп занимает $\frac27$ смеси. Исправь объяснение.
Таблица содержит пары $(1;5)$ , $(2;8)$ , $(4;14)$ . Обе величины растут. Почему зависимость всё равно не является прямой пропорциональностью?
Квадрат на плане $1:100$ имеет площадь $9$ см². Какова площадь реального квадрата в квадратных метрах?
Доля участников выросла с $40\%$ до $52\%$ . На сколько процентных пунктов и на сколько процентов от прежнего значения она выросла?
Придумай одну ситуацию для отношения $3:4$ , одну — для прямой пропорциональности $y=3x$ и одну — для $30\%$ . Объясни, что означает число $3$ в каждом контексте.

Идеи решений станции 3

Отношение $2:7$ сравнивает две части. Всего $2+7=9$ частей, поэтому сироп занимает $\frac29$ смеси.
Отношения $y:x$ равны $5$ , $4$ , $3{,}5$ и не постоянны. Пары лежат на прямой $y=3x+2$ , которая не проходит через начало координат.
Сторона плана равна $3$ см. Реальная сторона $3\cdot100=300$ см $=3$ м, площадь $9$ м². Площадь выросла в $100^2$ раз.
На $12$ процентных пунктов; относительно прежних $40\%$ рост равен $12:40\cdot100\%=30\%$ .
Ответ зависит от сюжета. В отношении $3$ — первый член сравнения; в $y=3x$ — значение $y$ на единицу $x$ ; в $30\%$ число означает $30$ сотых от выбранного целого.

Финальная самопроверка

Проверка понимания

Какое утверждение верно?

Что взять с собой дальше

Отношение хранит порядок и смысл сравниваемых величин.
Пропорция и формула $y=kx$ описывают сохранение одного коэффициента.
Масштаб требует одинаковых единиц, процент — явно названного целого.
Проверка размерности и основания важна не меньше вычисления.

В следующей главе появятся числа со знаком. Коэффициенты останутся с нами, но теперь смогут показывать не только размер изменения, но и его направление.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.