4.1. Координатная прямая

6 класс · Числа со знаком◷ 35–40 минут◇ БазаНужно знать: числовой луч, дроби и десятичные числа

В порту высоту отсчитывают от уровня моря. Маяк находится на высоте $18$ м, а датчик — на глубине $6$ м. Числа $18$ и $6$ сообщают расстояние, но без слов «выше» и «ниже» направление теряется.

Договоримся: положение выше уровня моря обозначаем знаком «плюс», ниже — знаком «минус». Тогда координаты объектов равны $18$ и $-6$.

◎ После урока ты сможешь

• читать и отмечать целые, дробные и десятичные числа на координатной прямой
• находить число, противоположное данному, по отражению относительно нуля
• различать отрицательное число, знак противоположности и вычитание

Продолжим луч влево

На числовом луче мы двигались от нуля только вправо. Теперь проведём прямую и сохраним единичный отрезок по обе стороны от нуля. Вправо координаты растут: $1,2,3,\ldots$ Влево идут числа $-1,-2,-3,\ldots$

Исследуй прямую: поставь точку на $-3{,}5$, затем перемещай её через ноль и следи, как знак хранит сторону.

Лаборатория координатной прямой

Числа как точки и расстояния

Меняй координаты кнопками или вводи их с клавиатуры. Следи не только за знаком, но и за положением точки.

шаг 0,5

ПоложениеПротивоположныеМодульСравнениеРасстояние

Координата A −3,5

−+

От −8 до 8, шаг 0,5

↔

Точка A находится в −3,5.Отрицательные числа стоят слева от нуля.

↺ Вернуть пример

∴ Координатная прямая

Координатная прямая — это прямая с выбранными началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением. Число, соответствующее точке, называют её координатой.

Числа правее нуля называют положительными, числа левее нуля — отрицательными. Число $0$ не относится ни к положительным, ни к отрицательным: оно служит границей и началом отсчёта.

Знак «плюс» у положительного числа обычно опускают: $+5=5$. Знак отрицательного числа опустить нельзя: $-5$ и $5$ — разные координаты.

Между целыми тоже есть числа

Деления слева от нуля устроены так же, как справа. Точка $-2{,}5$ лежит ровно посередине между $-3$ и $-2$. Точка $-\frac34$ находится на расстоянии трёх четвертей единицы от нуля слева.

Отметим −1,75Разбираем вместе

Число $-1{,}75=-1\frac34$ лежит между $-2$ и $-1$. Разделим единичный отрезок на четыре равные части. От точки $-1$ нужно пройти влево ещё три такие части — или от $-2$ вправо одну четверть.

Полезная проверка положения:

$-2<-1{,}75<-1.$

Проверка понимания

Между какими соседними целыми числами лежит −3,2?

• А. между −3 и −2
• Б. между −4 и −3
• В. между 3 и 4

Точки по разные стороны нуля

Координаты $4$ и $-4$ находятся на равном расстоянии от нуля, но по разные стороны. Если сложить бумажную прямую по отметке $0$, эти точки совпадут.

Перемещай одну точку и наблюдай, где автоматически появляется её отражение.

Лаборатория координатной прямой

Числа как точки и расстояния

Меняй координаты кнопками или вводи их с клавиатуры. Следи не только за знаком, но и за положением точки.

шаг 0,5

ПоложениеПротивоположныеМодульСравнениеРасстояние

Координата A −2,5

−+

От −6 до 6, шаг 0,5

↔

Числа −2,5 и 2,5 противоположны.Они находятся по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии 2,5.

↺ Вернуть пример

◆ Противоположные числа

Два числа называют противоположными, если они отличаются только знаком. Число, противоположное $a$, обозначают $-a$. Числу $0$ противоположен сам $0$.

Важно: запись $-a$ означает не «обязательно отрицательное», а противоположное числу $a$.

• если $a=7$, то $-a=-7$;
• если $a=-2{,}4$, то $-a=-(-2{,}4)=2{,}4$;
• если $a=0$, то $-a=0$.

! Ловушка: два минуса всегда дают минус

В записи $-(-6)$ внешний минус просит перейти к противоположной точке. Противоположная точке $-6$ имеет координату $6$, поэтому $-(-6)=6$. Здесь ещё нет ни умножения, ни правила знаков.

Положение и изменение

Координата сообщает, где мы находимся. Направленное изменение сообщает, куда и насколько переместиться. От точки $-4$ движение на $7$ единиц вправо приводит к точке $3$: четыре шага нужны до нуля и ещё три — после нуля.

Пока достаточно рисовать стрелку. В уроке о сложении превратим такое движение в действие с числами.

Практика

1. Запиши числом температуру $7\,°\text{C}$ ниже нуля.
2. Расположи по возрастанию числа $-3$, $-\frac12$, $0$, $2{,}5$.
3. Назови число, противоположное $6{,}2$.
4. Назови число, противоположное $-\frac34$.
5. Число, противоположное $x$, равно $-9$. Найди $x$.
6. Между какими соседними целыми числами лежит $-2{,}7$?
7. Начни в точке $-4$ и пройди $7$ единиц вправо. Где окажешься?
8. Начни в точке $2{,}5$ и пройди $4$ единицы влево. Где окажешься?
9. Аппарат находится на глубине $18$ м относительно уровня моря и поднимается на $23$ м. Какова его новая высота относительно уровня моря?
10. Вычисли $-a$, если $a=-2{,}3$. Объясни ответ положением точек.

Ответы и объяснения

1. $-7\,°\text{C}$.
2. $-3<-\frac12<0<2{,}5$.
3. $-6{,}2$.
4. $\frac34$.
5. $x=9$, потому что число, противоположное $9$, равно $-9$.
6. $-3<-2{,}7<-2$.
7. В точке $3$.
8. В точке $-1{,}5$.
9. $5$ м: от $-18$ до нуля нужно подняться на $18$ м, остаётся ещё $5$ м вверх.
10. $-a=-(-2{,}3)=2{,}3$: отражение точки $-2{,}3$ относительно нуля приводит в $2{,}3$.

Итог

• Знак числа кодирует сторону от нуля, а координата — положение точки.
• На прямой есть отрицательные дроби и десятичные числа, а не только целые.
• Противоположные числа симметричны относительно нуля; $-a$ не обязано быть отрицательным.

В следующем уроке перестанем путать сторону с расстоянием и научимся сравнивать числа по координатной прямой.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным