Алгебраический язык

7 класс · Алгебра◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: буквенные выражения, распределительное свойство, подобные слагаемые, действия с числами со знаком

В 6 классе буква стала числом, а выражение — планом вычисления. Тогда же выяснилось, что один и тот же план можно записать по-разному:

$3(x+2) \quad\text{и}\quad 3x+6.$

Мы проверяли такие пары подстановкой: подставили $x=4$ — совпало, подставили $x=10$ — снова совпало. Но проверок всегда конечное число, а значений у буквы бесконечно много. Значит, нужен способ не проверять, а доказывать.

Этот способ и есть алгебраический язык. В нём выражения преобразуют по законам арифметики, а не подбирают по случаю. Тогда каждый шаг сохраняет значение при всех допустимых значениях букв — и его не нужно перепроверять числами.

◎ После урока ты сможешь

• отличать тождество от равенства, верного лишь при некоторых значениях буквы
• приводить одночлены и многочлены к стандартному виду и определять их степень
• складывать, вычитать и умножать многочлены, не теряя знаков и подобных членов
• применять формулы сокращённого умножения в обе стороны
• раскладывать многочлен на множители вынесением, группировкой и по формулам

◆ Главная договорённость главы

Все буквы обозначают числа, поэтому с ними работают те же законы: переместительный, сочетательный и распределительный. Преобразование считается законным, только если оно опирается на такой закон, а не на внешнее сходство записей.

Входная диагностика

Ответь по смыслу, опираясь на 6 класс.

1. Чему равно $3(x+2)$ при $x=5$?
2. Раскрой скобки в $4(a-3)$.
3. Упрости $7m+2m$.
4. Почему $5x$ и $5y$ нельзя объединить в одно слагаемое?
5. Чему равно $(-2)\cdot(-3)$?
6. Чему равно $x\cdot x$?
7. Что произойдёт со знаками в $a-(b-c)$?
8. Как проверить, что $2(x+1)$ и $2x+2$ дают одинаковый результат при $x=7$?

Ответы для самопроверки

1. $3\cdot7=21$.
2. $4a-12$.
3. $9m$.
4. У них разные буквенные части: при $x=1$, $y=10$ получится $5$ и $50$.
5. $6$.
6. $x^2$.
7. Скобка со знаком минус меняет знак каждого слагаемого внутри: $a-b+c$.
8. Подставить: $2\cdot8=16$ и $14+2=16$. Совпадение при одном значении ещё ничего не доказывает — этим займётся первый урок.

Договорённости главы

• Стандартный вид — это не украшение, а форма, в которой ответы можно сравнивать между собой.
• Числовая подстановка используется как поиск ошибки, а не как доказательство.
• Знак минус перед скобкой относится ко всей скобке, а не к её первому члену.
• Разложение на множители считается завершённым, когда ни один множитель дальше не раскладывается школьными приёмами.

Маршрут главы

1. Тождества и преобразования — учимся отличать доказательство от удачной подстановки.
2. Одночлены и многочлены — вводим стандартный вид, степень, сложение и вычитание.
3. Умножение многочленов — раскрываем скобки по правилу «каждый на каждый».
4. Формулы сокращённого умножения — видим формулу как разрезанный квадрат.
5. Разложение на множители — идём в обратную сторону: от суммы к произведению.
6. Практикум — собираем всё вместе на смешанных задачах.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 6 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с вопроса, который отделяет алгебру от арифметики: что значит «равно всегда»?