2.1 Алгебраическая дробь и допустимые значения

8 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: многочлены, разложение на множители, деление на ноль

Турист прошёл $12$ км за $t$ часов. Его средняя скорость равна

$v=\frac{12}{t}.$

Формула короткая и честная — но только пока $t\ne0$. Значение $t=0$ не «даёт бесконечность»: оно просто выпадает из области, где формула что-то значит.

◎ После урока ты сможешь

• распознавать алгебраическую дробь и называть её числитель и знаменатель
• находить значения переменной, при которых дробь не имеет смысла
• записывать допустимые значения условиями вида x ≠ a
• объяснять, почему нули числителя ничего не запрещают

Прогноз до вычислений

Ответь, не вычисляя.

• Дробь $\dfrac{x}{x-5}$: какое значение $x$ выглядит опасным?
• Дробь $\dfrac{x-5}{x}$: изменится ли ответ, если числитель и знаменатель поменять местами?
• Может ли алгебраическая дробь быть определена при всех значениях буквы?

Эксперимент: где ломается дробь

Подставляй значения и следи за знаменателем. Вторая таблица показывает, что происходит рядом с запрещённой точкой.

Лаборатория алгебраических дробей

Два запрещённых значения

Знаменатель — единственный источник запретов. Подставляй значения и смотри, где дробь теряет смысл.

(2x + 1) / (x² − 4)

Допустимые значенияДробь = 0

(2x + 1) / (x² − 4)→x ≠ −2; 2

Подстановка вместо догадки

Значения дроби

Своё значение xЦелое или десятичная дробь, например 2,5.

Дробь (2x + 1) / (x² − 4) при разных x

x	Знаменатель x² − 4	Значение дроби	Вывод
−3	5	−1	значение допустимо
−2	0	не определено	знаменатель равен нулю
0	−4	−0,25	значение допустимо
2	0	не определено	знаменатель равен нулю
3	5	1,4	значение допустимо

Почему запрет именно там

Подходим к x = −2

Чем ближе к запрещённой точке, тем больше модуль дроби

Отступ	x слева	Значение	x справа	Значение
1	−3	−1	−1	1/3
0,1	−2,1	−320/41	−1,9	280/39
0,01	−2,01	−30200/401	−1,99	29800/399

≠

Дробь определена при всех x, кроме −2; 2.Разность квадратов в знаменателе даёт сразу два запрета.

↺ Вернуть пример

Возле запрещённого значения дробь не «плавно доходит до края» — её модуль неограниченно растёт. Ни одно число не может стать значением дроби в этой точке, поэтому точку исключают.

Определение

∴ Алгебраическая дробь

Алгебраической дробью называют выражение вида $\dfrac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, причём $Q$ — не нулевой многочлен.

Многочлен $P$ — числитель, многочлен $Q$ — знаменатель.

Допустимые значения переменной — это все значения, при которых знаменатель не обращается в ноль. Остальные значения из рассмотрения исключаются: при них выражение не определено.

Чтобы найти допустимые значения, нужно решить одно уравнение — $Q=0$ — и запретить его корни. Если знаменатель разложен на множители, корни видны сразу: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель.

Пригодятся приёмы из разложения на множители: вынесение общего множителя и формулы сокращённого умножения.

Допустимые значения для дроби (2x + 1)/(x² − 4)Разбираем вместе

Числитель не участвует в поиске запретов. Работаем только со знаменателем:

$x^2-4=0.$

Разложим по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2)=0.$

Произведение равно нулю, когда $x-2=0$ или $x+2=0$, то есть при $x=2$ и $x=-2$.

Ответ: дробь определена при $x\ne2$ и $x\ne-2$.

Проверка: при $x=2$ знаменатель равен $4-4=0$ — дробь не определена; при $x=3$ знаменатель равен $9-4=5$, дробь равна $\dfrac{7}{5}=1{,}4$ — всё в порядке.

✦ Знаменатель без корней

У дроби $\dfrac{x-1}{x^2+1}$ запретов нет: $x^2\ge0$, поэтому $x^2+1\ge1$ и в ноль знаменатель не обращается ни при каком $x$. Слова «алгебраическая дробь» не означают, что запреты обязаны быть.

Проверка понимания

При каких значениях x дробь (x − 3)/(x + 7) не имеет смысла?

• А. При x = 3
• Б. При x = −7
• В. При x = 3 и x = −7

! Запрет ищут не там

Частая ошибка — приравнять к нулю числитель или сразу всю дробь.

Для $\dfrac{x-3}{x+7}$ уравнение $x-3=0$ отвечает на другой вопрос: «когда дробь равна нулю?». А вопрос о допустимых значениях — это всегда уравнение $x+7=0$.

Короткое правило: числитель отвечает за нули, знаменатель — за запреты.

Как записывать ответ

Три равноправные формы записи:

• словами: «при всех $x$, кроме $2$ и $-2$»;
• условием: $x\ne2$, $x\ne-2$;
• перечислением запретов: «$x^2-4=0$ при $x=\pm2$, эти значения исключаем».

Главное — не потерять ни одного корня знаменателя. Если знаменатель квадратный, корней может быть два.

Практика

1. Найди допустимые значения: $\dfrac{x}{x-7}$.
2. Найди допустимые значения: $\dfrac{5}{2x+8}$.
3. Найди допустимые значения: $\dfrac{x+2}{x^2-25}$.
4. Найди допустимые значения: $\dfrac{3x}{x^2+9}$.
5. Найди допустимые значения: $\dfrac{x-1}{3x}$.
6. Найди допустимые значения: $\dfrac{4}{x^2-x}$.
7. Найди допустимые значения: $\dfrac{7}{(x-1)(x+3)}$.
8. Вычисли значение дроби $\dfrac{x^2-1}{x+4}$ при $x=2$.
9. При каком значении $x$ дробь $\dfrac{x-6}{x+2}$ равна нулю?
10. Объясни, почему записи $\dfrac{x}{x}$ и $1$ — не одно и то же.

Ответы и пояснения

1. $x-7=0$ при $x=7$, значит $x\ne7$.
2. $2x+8=0$, $2x=-8$, $x=-4$; значит $x\ne-4$.
3. $x^2-25=(x-5)(x+5)=0$ при $x=5$ и $x=-5$; значит $x\ne5$, $x\ne-5$.
4. $x^2+9\ge9>0$ при любом $x$ — допустимы все значения.
5. $3x=0$ при $x=0$, значит $x\ne0$.
6. $x^2-x=x(x-1)=0$ при $x=0$ и $x=1$; значит $x\ne0$, $x\ne1$.
7. $x\ne1$ и $x\ne-3$.
8. Знаменатель $2+4=6\ne0$, числитель $4-1=3$; дробь равна $\dfrac{3}{6}=0{,}5$.
9. Числитель равен нулю при $x=6$; это значение допустимо ($6\ne-2$), поэтому $x=6$.
10. При $x=0$ первая запись не определена, а вторая равна $1$. При всех остальных $x$ значения совпадают, поэтому верное равенство выглядит так: $\dfrac{x}{x}=1$ при $x\ne0$.

Итог

• Алгебраическая дробь — это частное двух многочленов; знаменатель не может быть нулевым многочленом.
• Допустимые значения находят из уравнения «знаменатель $=0$»: его корни исключают.
• Числитель на допустимые значения не влияет — он отвечает за нули дроби.
• Рядом с запрещённой точкой модуль дроби неограниченно растёт, поэтому доопределить её нельзя.

Дальше выясним, что происходит с этими запретами при сокращении: основное свойство дроби переносит правило $\dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4}$ на буквы — но со сноской.

← Вход в тему · Дальше: основное свойство и сокращение →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным