2.6 Практикум: колесо обозрения

10 класс · Алгебра◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 2.1–2.5

В парке ставят колесо обозрения: радиус $25$ м, ось на высоте $30$ м, полный оборот — $12$ минут, посадка в нижней точке. Диспетчеру нужен график высоты, оператору — моменты остановок, инженеру — проверка нагрузок.

Все три вопроса упираются в одну модель: точка едет по окружности, и мы следим за её высотой. Дальше — четыре станции и общий набор задач.

Станция 1. Модель высоты

Пусть $t$ — время в минутах от посадки. За $12$ минут кабинка проходит полный оборот, значит за $t$ минут — угол $\dfrac{2\pi t}{12}=\dfrac{\pi t}{6}$ .

В нижней точке высота равна $30-25=5$ м, в верхней — $30+25=55$ м. Отсчёт угла от нижней точки даёт модель

$h(t)=30-25\cos\frac{\pi t}{6}.$

Проверка модели в трёх точкахРазбираем вместе

При $t=0$ : $\cos 0=1$ , поэтому $h(0)=30-25=5$ м — посадка внизу. Верно.

При $t=3$ : $\dfrac{\pi\cdot 3}{6}=\dfrac{\pi}{2}$ , косинус равен нулю, поэтому $h(3)=30$ м — кабинка на высоте оси, то есть на четверти пути. Верно.

При $t=6$ : $\cos\pi=-1$ , поэтому $h(6)=30+25=55$ м — верхняя точка через половину оборота. Верно.

Период модели равен $\dfrac{2\pi}{\pi/6}=12$ минут: ровно столько длится оборот. Модель предполагает постоянную скорость и не учитывает разгон, торможение и остановки для посадки.

Станция 2. Четверть, знак, значение

Диспетчер называет угол поворота — оператор должен мгновенно сказать четверть и знаки. Потренируйся: лаборатория не покажет ответ, пока ты не нажмёшь «Проверить».

Угол поворота-570°

От -900° до 900°, шаг 15°; стрелки ↑ и ↓ тоже работают.

-570° = 150° + 360°·-2. Точка поворота у углов -570° и 150° одна и та же, поэтому синус, косинус и тангенс у них совпадают.

Номер четверти (0 — если точка на оси)

Угол поворота равен -570°. В какой четверти окажется точка?Сначала отбрось полные обороты, потом сравни остаток с 90°, 180° и 270°. Если точка попала на ось, введи 0.

Станция 3. График и период

Переключай функцию и следи за отметками через период: они обязаны лежать на одной высоте. Именно это свойство и позволяет предсказывать высоту кабинки на любом обороте, а не только на первом.

Аргумент-150°

От -360° до 360°, шаг 15°; стрелки ↑ и ↓ тоже работают.

Отметки через периодвидныТочки, отличающиеся на полный оборот, обязаны лежать на одной высоте.

Значение функции (до сотых)

Чему равно cos -150°?Найди точку поворота на окружности и сними нужную координату. Ответ вводи с точностью до сотых.

Ломаная графика построена по 241 вычисленным точкам, а не нарисована по памяти. Высота графика над осью в каждой точке равна абсциссе соответствующей точки окружности.

Станция 4. Уравнение остановки

Когда кабинка окажется на высоте 42,5 мРазбираем вместе

Подставляем в модель:

$30-25\cos\frac{\pi t}{6}=42{,}5 \;\Longrightarrow\; -25\cos\frac{\pi t}{6}=12{,}5 \;\Longrightarrow\; \cos\frac{\pi t}{6}=-\frac{1}{2}.$

Это простейшее уравнение. Так как $\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2\pi}{3}$ , получаем

$\frac{\pi t}{6}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n \;\Longrightarrow\; t=\pm 4+12n, \qquad n\in\mathbb{Z}.$

Первый оборот — это $0\le t<12$ . Подходят $t=4$ (при $n=0$ ) и $t=-4+12=8$ (при $n=1$ ).

Проверка симметрией: моменты $4$ и $8$ расположены симметрично относительно верхней точки $t=6$ . Так и должно быть — на подъёме и на спуске высота одинакова.

Проверка понимания

Через какое время кабинка снова окажется на той же высоте, если h(t) = 30 − 25·cos(πt/6)?

Итоговый набор задач

Переведи $225°$ в радианы и назови четверть, в которую попадает точка поворота.
Найди $\sin 300°$ , $\cos 300°$ и $\operatorname{tg} 300°$ .
Приведи $1035°$ к промежутку $[0°;360°)$ и найди косинус этого угла.
Известно, что $\cos\alpha=-\dfrac{3}{5}$ и $\alpha$ — угол II четверти. Найди $\sin\alpha$ и $\operatorname{tg}\alpha$ .
Найди множество значений функции $y=3-2\sin x$ .
Упрости выражение $\sin(\pi-\alpha)+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)$ .
Вычисли $\cos 105°$ .
Известно, что $\sin\alpha=\dfrac{5}{13}$ и $\alpha$ — угол I четверти. Найди $\sin 2\alpha$ .
Реши уравнение $\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
Реши уравнение $\cos x=0$ и отбери корни, принадлежащие отрезку $[0;2\pi]$ .
Реши уравнение $\operatorname{tg} x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .
Для модели $h(t)=30-25\cos\dfrac{\pi t}{6}$ найди наибольшую высоту, момент её достижения на первом обороте и все моменты первого оборота, когда высота равна $17{,}5$ м.

Ответы, модели и проверки

$225°=\dfrac{225\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{4}$ ; это III четверть.
IV четверть, опорный угол $60°$ : $\sin 300°=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos 300°=\dfrac{1}{2}$ , $\operatorname{tg} 300°=-\sqrt{3}$ .
$1035=360\cdot 2+315$ , значит угол равносилен $315°$ ; это IV четверть с опорным углом $45°$ , поэтому $\cos 1035°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
$\sin^2\alpha=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$ ; во II четверти синус положителен, поэтому $\sin\alpha=\dfrac{4}{5}$ и $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{4/5}{-3/5}=-\dfrac{4}{3}$ .
Из $-1\le\sin x\le 1$ следует $-2\le -2\sin x\le 2$ , поэтому $1\le y\le 5$ . Ответ: $[1;5]$ .
$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$ , а $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha$ . Сумма равна нулю.
$\cos 105°=\cos(60°+45°)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\approx -0{,}259$ . Знак минус согласуется со II четвертью.
$\cos\alpha=\dfrac{12}{13}$ , поэтому $\sin 2\alpha=2\cdot\dfrac{5}{13}\cdot\dfrac{12}{13}=\dfrac{120}{169}\approx 0{,}710$ .
$\arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\dfrac{\pi}{3}$ , поэтому $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ и $x=\pi+\dfrac{\pi}{3}+2\pi n=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi n$ ; свёрнуто $x=(-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ .
$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ ; на отрезке $[0;2\pi]$ остаются $\dfrac{\pi}{2}$ и $\dfrac{3\pi}{2}$ .
$\operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\pi}{6}$ , поэтому $x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ .
Наибольшая высота $55$ м достигается при $\cos\dfrac{\pi t}{6}=-1$ , то есть при $\dfrac{\pi t}{6}=\pi+2\pi n$ и $t=6+12n$ ; на первом обороте это $t=6$ мин. Высота $17{,}5$ м даёт $\cos\dfrac{\pi t}{6}=\dfrac{1}{2}$ , откуда $\dfrac{\pi t}{6}=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ и $t=\pm 2+12n$ ; на первом обороте подходят $t=2$ и $t=10$ мин.

Рефлексия проекта

Где в этой главе ответ был точным, а где приближённым — и как ты это отметил в записи?
Какую задачу из набора можно проверить вторым способом, не повторяя первый?
Какое реальное обстоятельство не учитывает модель колеса обозрения?

Возможные ответы: точными были все значения табличных углов и результаты формул сложения, приближения появлялись только при оценке вроде $\sqrt{6}\approx 2{,}449$ ; задачу 8 можно проверить основным тождеством, найдя заодно $\cos 2\alpha=\dfrac{119}{169}$ и убедившись, что сумма квадратов равна единице; модель не учитывает разгон и торможение, остановки для посадки, а также то, что кабинка висит ниже точки крепления.

← Тригонометрические уравнения · К обзору 10 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.