3.5. Процент — доля из ста

6 класс · Отношения◷ 45–60 минут◇ БазаНужно знать: дроби, десятичная запись и пропорции

Телефон показывает заряд $37\%$. Это не новая единица энергии и не отдельное действие: число говорит, что заполнено $37$ долей из условных ста равных долей батареи.

◎ После урока ты сможешь

• переводить процент в обыкновенную и десятичную дробь и обратно
• находить процент от величины несколькими осмысленными способами
• сравнивать проценты только с учётом величины целого

Закрась сотню

Лаборатория процентов

Процент — одна сотая

Свяжи сотенную сетку, обыкновенную дробь и десятичную запись.

100 клеток

Процент, % 37От 0 до 100 %.

Исходная величина, клеток 100От 0 до 1000000 клеток.

37%=37100=0,37

Найти 37% от величины

37 клеток

100 клеток · 0,37 = 37 клеток

%

37% от 100 клеток — это 37 клеток.Процент переводим в десятичную дробь 0,37 и умножаем на целое.

Сетка $10\times10$ содержит $100$ одинаковых клеток. Если закрашены $37$, то закрашенная доля равна

$37\%=\frac{37}{100}=0{,}37.$

Лабораторная сетка показывает диапазон от $0\%$ до $100\%$. Чтобы изобразить, например, $150\%$, понадобятся одна полная и ещё половина второй такой сетки.

∴ Процент

Один процент — одна сотая часть величины: $1\%=\frac1{100}=0{,}01.$ Поэтому $p\%=\frac p{100}$.

Процентная запись сравнивает рассматриваемую величину с основанием, принятым за $100\%$. Отношение части к целому — самый частый частный случай; но сравниваемая величина может оказаться и больше основания.

Три записи одного числа

Чтобы перейти от процентов к десятичной дроби, делим на $100$:

$8\%=0{,}08,\qquad 75\%=0{,}75,\qquad 125\%=1{,}25.$

Чтобы перейти от десятичной дроби к процентам, умножаем на $100\%$:

$0{,}4=40\%,\qquad 1{,}07=107\%.$

Полезные опорные значения:

Процент	Дробь	Смысл
$10\%$	$\frac1{10}$	десятая часть
$20\%$	$\frac15$	пятая часть
$25\%$	$\frac14$	четверть
$50\%$	$\frac12$	половина
$75\%$	$\frac34$	три четверти
$100\%$	$1$	всё целое

Процент может быть больше $100\%$. Например, $150\%$ некоторой длины — это полторы такие длины. Отрицательный процент в школьных задачах обычно описывает направление изменения, а не отрицательное количество объектов.

Как найти процент от величины

Чтобы найти $p\%$ от числа $A$, умножаем число на дробь $\frac p{100}$:

$p\%\text{ от }A=A\cdot\frac p{100}.$

Найдём 35% от 240Разбираем вместе

Через один процент:

$1\%\text{ от }240=240:100=2{,}4,$

$35\%\text{ от }240=2{,}4\cdot35=84.$

Через десятичную дробь:

$240\cdot0{,}35=84.$

Через удобные части: $35\%=30\%+5\%$:

$72+12=84.$

Все пути выражают одно и то же отношение части к целому.

Проверка понимания

Чему равны 15% от 320?

• А. 21,3
• Б. 48
• В. 335

У процента всегда есть основание

$50\%$ от $200$ рублей — это $100$ рублей, а $50\%$ от $80$ рублей — $40$ рублей. Одинаковый процент не означает одинаковую часть, если целые различаются.

! Ловушка: сравнить только проценты

В первой коробке решено $80\%$ из $20$ задач, то есть $16$ задач. Во второй — $60\%$ из $40$, то есть $24$ задачи. Хотя $80\%>60\%$, во второй коробке решённых задач больше. Всегда восстанавливай основание — то, что принято за $100\%$.

Процент и отношение

Если из $30$ учеников $12$ выбрали проект, доля выбравших равна

$\frac{12}{30}=\frac4{10}=0{,}4=40\%.$

В задаче о части можно сначала найти отношение части к целому, а затем выразить его сотыми:

$\text{процент}=\frac{\text{часть}}{\text{целое}}\cdot100\%.$

Практика

Переведи запись

1. Запиши в виде дроби и десятичного числа: $7\%$, $35\%$, $120\%$.
2. Запиши в процентах: $0{,}09$, $0{,}625$, $1{,}4$.
3. Запиши в процентах: $\frac14$, $\frac35$, $\frac78$.

Найди часть

4. Найди $12\%$ от $450$.
5. Найди $2{,}5\%$ от $800$.
6. В библиотеке $600$ книг, $18\%$ из них — научно-популярные. Сколько таких книг?
7. В поход прошли $75\%$ маршрута длиной $28$ км. Сколько километров пройдено и сколько осталось?

Сравни осмысленно

8. В классе A верно решили $70\%$ из $30$ задач, в классе B — $60\%$ из $40$. Где верных решений больше?
9. Из $48$ деталей $18$ окрашены. Какой процент деталей окрашен?
10. Может ли одна величина составлять $125\%$ другой? Приведи осмысленный пример и назови основание.

Ответы и объяснения

1. $7\%=\frac7{100}=0{,}07$; $35\%=\frac{35}{100}=\frac7{20}=0{,}35$; $120\%=\frac{120}{100}=\frac65=1{,}2$.
2. $9\%$, $62{,}5\%$, $140\%$.
3. $25\%$, $60\%$, $87{,}5\%$.
4. $450\cdot0{,}12=54$.
5. $800\cdot0{,}025=20$.
6. $600\cdot0{,}18=108$ книг.
7. Пройдено $28\cdot0{,}75=21$ км, осталось $7$ км.
8. В A: $30\cdot0{,}7=21$; в B: $40\cdot0{,}6=24$. Больше в классе B.
9. $\frac{18}{48}\cdot100\%=37{,}5\%$.
10. Да. Например, планировали пройти $8$ км, а прошли $10$ км: $10:8=1{,}25=125\%$ плана.

Итог

• Процент — отношение сравниваемой величины к основанию, выраженное в сотых.
• $p\%$ от величины находят умножением на $\frac p{100}$.
• Процент нельзя интерпретировать без основания, принятого за $100\%$.

В следующем уроке научимся восстанавливать целое и процент, а затем аккуратно увеличивать и уменьшать величины.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным