4.3 Свойства числовых неравенств

8 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: координатная прямая, действия с отрицательными числами, числовые промежутки

Линейку с миллиметровыми делениями нельзя заставить измерить точно. Стороны прямоугольника получились «примерно $4{,}2$» и «примерно $2{,}5$» метра — а сколько будет площадь? Ответ «примерно $10{,}5$» никого не устроит: нужно знать, между какими числами лежит настоящая площадь.

Такие задачи решают не приближёнными равенствами, а неравенствами. Но чтобы этим пользоваться, надо точно знать, что с обеими частями неравенства делать можно, а что нельзя.

◎ После урока ты сможешь

• применять свойства неравенств к обеим частям и объяснять, когда знак меняется
• складывать и умножать неравенства почленно и понимать границы этого приёма
• оценивать сумму, разность, произведение и частное по границам слагаемых
• опровергать неверное «свойство» контрпримером

Прогноз до вычислений

Известно, что $a<b$. Какие из утверждений обязательно верны?

1. $a-4<b-4$
2. $3a<3b$
3. $-3a<-3b$
4. $a^2<b^2$

Отметь свои ответы, а потом проверь их на конкретных числах.

Эксперимент: проверяем на координатной прямой

Поставь $A$ и $B$ в разные места, переключи вкладку «Сравнение» и понаблюдай, что происходит со знаком. Особенно интересна вкладка «Противоположные»: посмотри, как меняется взаимное расположение точек $A$ и $-A$, когда $A$ переходит через ноль.

Лаборатория координатной прямой

Числа как точки и расстояния

Меняй координаты кнопками или вводи их с клавиатуры. Следи не только за знаком, но и за положением точки.

шаг 0,5

ПоложениеПротивоположныеМодульСравнениеРасстояние

Координата A −3

−+

От −8 до 8, шаг 0,5

Координата B 2

−+

От −8 до 8, шаг 0,5

↔

−3 < 2.2 правее на координатной прямой, значит это число больше.

↺ Вернуть пример

Вывод эксперимента: «больше» на прямой означает «правее». Прибавление одного и того же числа сдвигает обе точки одинаково, поэтому порядок сохраняется. Умножение на отрицательное число отражает прямую, поэтому порядок переворачивается.

Свойства числовых неравенств

∴ Что разрешено делать с обеими частями

Пусть $a<b$. Тогда:

1. Прибавление. $a+c<b+c$ для любого числа $c$. Следствие: слагаемое можно переносить из части в часть с изменением знака.
2. Умножение на положительное. Если $c>0$, то $ac<bc$ и $\dfrac{a}{c}<\dfrac{b}{c}$. Знак сохраняется.
3. Умножение на отрицательное. Если $c<0$, то $ac>bc$ и $\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{c}$. Знак меняется на противоположный.
4. Транзитивность. Если $a<b$ и $b<c$, то $a<c$.

Те же правила работают для знаков $>$, $\leqslant$ и $\geqslant$.

∴ Почленное сложение и умножение

Сложение. Если $a<b$ и $c<d$, то $a+c<b+d$. Неравенства одного знака можно складывать почленно.

Умножение. Если $0<a<b$ и $0<c<d$, то $ac<bd$. Почленно перемножать можно только неравенства с положительными частями.

Почленно вычитать нельзя. Разность оценивают иначе: сначала заменяют вычитаемое противоположным числом, а потом складывают.

◆ Оценка величины

Оценить выражение — значит указать два числа, между которыми оно обязательно лежит. Ответ оценки — это всегда промежуток, а не одно число.

Если $a_1\leqslant a\leqslant a_2$ и $b_1\leqslant b\leqslant b_2$, то

$a_1+b_1\leqslant a+b\leqslant a_2+b_2.$

Для разности сначала оценивают $-b$: из $b_1\leqslant b\leqslant b_2$ следует $-b_2\leqslant -b\leqslant -b_1$.

Оцениваем сумму, разность, произведение и частноеРазбираем вместе

Пусть $2\leqslant a\leqslant 3$ и $5\leqslant b\leqslant 7$.

Сумма. Складываем почленно: $2+5\leqslant a+b\leqslant 3+7$, то есть $7\leqslant a+b\leqslant 10$.

Разность. Сначала переворачиваем неравенство для $b$: $-7\leqslant -b\leqslant -5$. Теперь складываем: $2-7\leqslant a-b\leqslant 3-5$, то есть $-5\leqslant a-b\leqslant -2$.

Произведение. Обе величины положительны, поэтому умножаем почленно: $2\cdot 5\leqslant ab\leqslant 3\cdot 7$, то есть $10\leqslant ab\leqslant 21$.

Частное. Из $5\leqslant b\leqslant 7$ следует $\dfrac{1}{7}\leqslant\dfrac{1}{b}\leqslant\dfrac{1}{5}$: чем больше знаменатель, тем меньше дробь. Значит

$\frac{2}{7}\leqslant\frac{a}{b}\leqslant\frac{3}{5}.$

Проверка на середине: при $a=2{,}5$ и $b=6$ получаем $a+b=8{,}5$, $a-b=-3{,}5$, $ab=15$ и $\dfrac{a}{b}\approx0{,}42$ — все четыре числа лежат внутри своих оценок.

Периметр и площадь по неточным измерениямРазбираем вместе

Стороны прямоугольника измерены с точностью до сантиметра: $3{,}5\leqslant a\leqslant 3{,}6$ и $2{,}1\leqslant b\leqslant 2{,}2$ (в метрах).

Периметр. Сначала сумма: $5{,}6\leqslant a+b\leqslant 5{,}8$. Умножаем на положительное число $2$:

$11{,}2\leqslant P\leqslant 11{,}6\ (\text{м}).$

Площадь. Обе стороны положительны, значит

$3{,}5\cdot 2{,}1\leqslant S\leqslant 3{,}6\cdot 2{,}2,\qquad 7{,}35\leqslant S\leqslant 7{,}92\ (\text{м}^2).$

Обрати внимание: точность результата хуже точности измерений. Ширина оценки площади равна $0{,}57\ \text{м}^2$, хотя каждая сторона измерена с точностью до $0{,}1$ м.

Проверка понимания

Известно, что a < b. Какое неравенство обязательно верно?

• А. −5a < −5b
• Б. a − 5 < b − 5
• В. a² < b²

! Почленно вычитать нельзя

Соблазн такой: раз $5<7$ и $1<10$, то «$5-1<7-10$». Проверим: слева $4$, справа $-3$, и $4>-3$. Утверждение неверно.

Правильный ход — заменить вычитание сложением с противоположным. Из $1<10$ следует $-10<-1$, значит

$5+(-10)<7+(-1),\qquad -5<6.$

Это верно. Разность оценивается «крест-накрест»: наименьшее значение получается из наименьшего уменьшаемого и наибольшего вычитаемого.

Практика

1. Известно, что $a>b$. Сравни $a+7$ и $b+7$.
2. Известно, что $a>b$. Сравни $-4a$ и $-4b$.
3. Известно, что $3<x<8$. Оцени $2x$.
4. Известно, что $3<x<8$. Оцени $-x$.
5. Известно, что $3<x<8$. Оцени $x-5$.
6. Пусть $1\leqslant a\leqslant 4$ и $2\leqslant b\leqslant 5$. Оцени $a+b$.
7. Для тех же $a$ и $b$ оцени $a-b$.
8. Для тех же $a$ и $b$ оцени $ab$.
9. Для тех же $a$ и $b$ оцени $\dfrac{a}{b}$.
10. Стороны прямоугольника: $4{,}2\leqslant a\leqslant 4{,}3$ и $2{,}5\leqslant b\leqslant 2{,}6$. Оцени периметр и площадь.
11. Верно ли, что из $a<b$ всегда следует $a^2<b^2$? Приведи контрпример или докажи.
12. Докажи, что если $a<b$, то $a<\dfrac{a+b}{2}<b$.

Ответы и пояснения

1. $a+7>b+7$: прибавление одного и того же числа порядок не меняет.
2. $-4a<-4b$: множитель отрицательный, знак меняется.
3. Умножаем на $2>0$: $6<2x<16$.
4. Умножаем на $-1$, знак переворачивается вместе с границами: $-8<-x<-3$.
5. Прибавляем $-5$ ко всем частям: $-2<x-5<3$.
6. $1+2\leqslant a+b\leqslant 4+5$, то есть $3\leqslant a+b\leqslant 9$.
7. Из $2\leqslant b\leqslant 5$ следует $-5\leqslant -b\leqslant -2$, поэтому $1-5\leqslant a-b\leqslant 4-2$, то есть $-4\leqslant a-b\leqslant 2$.
8. Обе величины положительны: $1\cdot 2\leqslant ab\leqslant 4\cdot 5$, то есть $2\leqslant ab\leqslant 20$.
9. Из $2\leqslant b\leqslant 5$ следует $\dfrac{1}{5}\leqslant\dfrac{1}{b}\leqslant\dfrac{1}{2}$, поэтому $\dfrac{1}{5}\leqslant\dfrac{a}{b}\leqslant 2$.
10. Сумма: $6{,}7\leqslant a+b\leqslant 6{,}9$, значит $13{,}4\leqslant P\leqslant 13{,}8$ м. Площадь: $4{,}2\cdot 2{,}5=10{,}5$ и $4{,}3\cdot 2{,}6=11{,}18$, значит $10{,}5\leqslant S\leqslant 11{,}18\ \text{м}^2$.
11. Неверно. Контрпример: $a=-3$, $b=1$. Тогда $a<b$, но $a^2=9$ и $b^2=1$, то есть $a^2>b^2$. Утверждение становится верным, если дополнительно известно $0\leqslant a$.
12. Из $a<b$ прибавлением $a$ получаем $2a<a+b$, а прибавлением $b$ — $a+b<2b$. Значит $2a<a+b<2b$, и после деления на положительное число $2$ получаем $a<\dfrac{a+b}{2}<b$.

Итог

• Прибавлять к обеим частям можно что угодно; умножать и делить — тоже, но на отрицательное число только со сменой знака.
• Складывать неравенства одного знака почленно можно всегда, перемножать — только положительные.
• Вычитание почленно не работает: его сводят к сложению с противоположным.
• Оценка выражения — это промежуток, и его границы надо считать, а не угадывать.

Свойства из этого урока — единственный инструмент, который нужен для решения неравенств с переменной. Дальше применим их по шагам.

← Числовые промежутки · Дальше: линейные неравенства →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным