2.4 Задачи оптимизации

11 класс · Алгебра◷ 60–70 минут◇ БазаНужно знать: исследование функции по производной, площадь и объём, составление формул по условию

Из квадратного листа картона $12\times 12$ см делают открытую коробку: по углам вырезают четыре одинаковых квадратика со стороной $x$ и загибают борта.

Если вырезать совсем маленькие квадратики, борта получатся низкими и коробка выйдет плоской. Если вырезать большие — дно станет крошечным. Где-то посередине есть самая вместительная коробка. Вопрос: где именно?

Раньше такие задачи решали перебором или сведением к параболе — но парабола помогает только в самых простых случаях. Здесь объём задан кубической функцией, и без производной подобрать ответ можно разве что наугад.

◎ После урока ты сможешь

• находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
• составлять целевую функцию по условию прикладной задачи
• определять допустимые значения переменной и учитывать их в ответе
• записывать ответ в терминах исходной задачи, а не только в терминах x

Прогноз до вычислений

1. Прикинь: при какой стороне выреза коробка из листа $12\times 12$ получится самой вместительной — при $1$ см, $2$ см или $4$ см?
2. Может ли наибольшее значение функции на отрезке достигаться в точке, где производная не равна нулю?
3. Забор длиной $60$ м огораживает прямоугольную площадку у стены сарая (четвёртую сторону заменяет стена). Какая площадка получится больше — вытянутая вдоль стены или почти квадратная?

Эксперимент: объём коробки как функция

Верхний график — объём коробки, нижний — его производная. Ниже лаборатория сама сравнит кандидатов на отрезке $[0;6]$.

Лаборатория исследования

График функции и знак её производной

Из квадратного листа 12 × 12 вырезают по углам квадратики со стороной x и загибают борта.

y′ и монотонность

y = x³ − 3xy = −x² + 4x − 3y = x³ + 3xy = x⁴ − 2x²V = x(12 − 2x)²S = 60x − 2x²

y = 4x³ − 48x² + 144x→y' = 12x² − 96x + 144

Что говорит знак производной

1. 1

   f′(x) > 0 на (−∞; 2]Значит, функция возрастает на этом промежутке.

2. 2

   f′(x) < 0 на [2; 6]Значит, функция убывает на этом промежутке.

3. 3

   f′(x) > 0 на [6; +∞)Значит, функция возрастает на этом промежутке.

4. 4

   x = 2: f′ = 0, значение 128Слева от точки производная положительна, справа — отрицательна; это точка максимума.

5. 5

   x = 6: f′ = 0, значение 0Слева от точки производная отрицательна, справа — положительна; это точка минимума.

Отрезок задачи[0; 6]Сторона выреза не может быть отрицательной, а при x = 6 дно исчезает.

Наибольшее значение128 при x = 2Достигается внутри отрезка.

Наименьшее значение0 при x = 0Достигается на конце отрезка.

Кандидаты на наибольшее и наименьшее значение

x	откуда взялся	значение
0	конец отрезка	0
2	f′ = 0	128
6	конец отрезка	0

ƒ

y' = 12x² − 96x + 144. x = 2 — точка максимума; x = 6 — точка минимума.возрастает на (−∞; 2]; убывает на [2; 6]; возрастает на [6; +∞).

↺ Вернуть пример

Максимум приходится на $x=2$, и объём там равен $128\text{ см}^3$. Обрати внимание на таблицу кандидатов: кроме стационарной точки в ней есть оба конца отрезка. Для этой задачи концы дают ноль, но так бывает не всегда — переключись на вкладку с забором, а потом посмотри на пример в конце урока.

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Локальный максимум — это «больше, чем у соседей». Наибольшее значение на отрезке — «больше, чем везде на этом отрезке». Разница существенная: самое большое значение может оказаться на краю, где никакого разворота нет.

∴ Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения на отрезке

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a;b]$ и дифференцируема внутри него. Тогда:

1. найди производную $f'(x)$;
2. реши уравнение $f'(x)=0$ и отбери только те корни, которые лежат внутри отрезка;
3. вычисли значения функции в этих точках и на обоих концах $a$ и $b$;
4. сравни полученные числа: самое большое — наибольшее значение, самое маленькое — наименьшее.

Определять характер стационарных точек здесь не нужно: сравнение значений само расставит всё по местам.

Такой алгоритм работает потому, что непрерывная на отрезке функция обязательно достигает и наибольшего, и наименьшего значения — а достичь их она может лишь в точке экстремума внутри или на конце отрезка.

Наибольшее и наименьшее значение y = x³ − 3x на [−2; 3]Разбираем вместе

Производная: $y'=3x^2-3$, корни $x=-1$ и $x=1$. Оба лежат внутри отрезка, оба берём в кандидаты.

Значения во всех кандидатах:

$y(-2)=-8+6=-2,\quad y(-1)=2,\quad y(1)=-2,\quad y(3)=27-9=18.$

Ответ. Наибольшее значение равно $18$ и достигается на конце отрезка при $x=3$; наименьшее равно $-2$ и достигается сразу дважды — при $x=-2$ и при $x=1$.

Заметь: локальный максимум $y(-1)=2$ наибольшим значением не является. Если бы мы ограничились стационарными точками, ответ получился бы неверным.

Прикладные задачи

В прикладной задаче функции нет — её нужно построить самому. Это и есть основная работа; дифференцирование потом занимает одну строчку.

◆ Схема решения задачи на оптимум

1. Что оптимизируем? Назови величину, которая должна стать наибольшей или наименьшей.
2. Через что выражаем? Выбери переменную $x$ и скажи, что она означает.
3. Связь. Используй условие задачи, чтобы выразить всё остальное через $x$ и получить формулу целевой функции.
4. Допустимые значения. Определи отрезок или промежуток, в котором $x$ имеет смысл. Про этот шаг забывают чаще всего.
5. Исследование. Найди производную, стационарные точки, сравни значения.
6. Ответ по условию. Верни ответ на исходный вопрос — в сантиметрах, рублях или метрах, а не «$x=2$».

Самая вместительная коробка из листа 12 × 12Разбираем вместе

Величина: объём $V$. Переменная: $x$ — сторона вырезанного квадратика в сантиметрах.

Связь. После загиба высота коробки равна $x$, а дно — квадрат со стороной $12-2x$. Значит,

$V(x)=x(12-2x)^2=4x^3-48x^2+144x.$

Допустимые значения. Нужно $x>0$ (иначе бортов нет) и $12-2x>0$, то есть $x<6$ (иначе исчезает дно). Задачу удобно решать на отрезке $[0;6]$, помня, что концы дают вырожденные коробки.

Исследование. $V'(x)=12x^2-96x+144=12\bigl(x^2-8x+12\bigr)=12(x-2)(x-6)$. Внутри отрезка корень один: $x=2$.

Сравнение: $V(0)=0$, $V(2)=2\cdot 8^2=128$, $V(6)=0$.

Ответ. Вырезать нужно квадратики со стороной $2$ см; наибольший объём коробки равен $128\text{ см}^3$ (дно $8\times 8$ см, высота $2$ см).

Забор длиной 60 м вдоль стеныРазбираем вместе

Величина: площадь $S$. Переменная: $x$ — длина стороны, перпендикулярной стене.

Связь. Забор идёт по трём сторонам: две по $x$ и одна длиной $60-2x$. Площадь равна

$S(x)=x(60-2x)=60x-2x^2.$

Допустимые значения: $0 < x < 30$.

Исследование. $S'(x)=60-4x$, стационарная точка $x=15$. Слева от неё производная положительна, справа отрицательна — это максимум.

Ответ. Стороны участка $15$ м и $30$ м, наибольшая площадь равна $450\text{ м}^2$. Заметь, что квадрат здесь не оптимален: одну сторону бесплатно даёт стена, поэтому выгодно вытянуть площадку вдоль неё.

Цена и выручкаРазбираем вместе

Магазин продаёт $q=200-2p$ единиц товара в неделю, если цена равна $p$ рублей. При какой цене выручка наибольшая?

Выручка равна произведению цены на количество:

$R(p)=p(200-2p)=200p-2p^2.$

Допустимые значения: $0\leqslant p\leqslant 100$, иначе спрос становится отрицательным.

Производная $R'(p)=200-4p$ обращается в ноль при $p=50$. Сравниваем: $R(0)=0$, $R(50)=50\cdot 100=5000$, $R(100)=0$.

Ответ. Цена $50$ рублей, продано $100$ единиц, выручка $5000$ рублей в неделю.

Проверка понимания

Функция y = x³ − 12x рассматривается на отрезке [0; 3]. Где достигается её наименьшее значение?

• А. При x = 0, потому что это начало отрезка
• Б. При x = 2, где производная обращается в ноль
• В. При x = 3, потому что функция убывает

! Три способа потерять правильный ответ

Забыть концы отрезка. В примере с $y=x^3-3x$ на $[-2;3]$ стационарные точки дают значения $2$ и $-2$, а настоящий максимум $18$ сидит на краю.

Забыть допустимые значения. В задаче о коробке уравнение $V'(x)=0$ имеет два корня: $2$ и $6$. Второй формально существует, но коробки с нулевым дном не бывает — он попадает лишь на границу модели.

Ответить не на тот вопрос. Найдено $x=2$ — но спрашивали не сторону выреза, а объём. Ответ «$x=2$» на вопрос «каков наибольший объём» считается незаконченным. Всегда возвращайся к условию и приписывай единицы.

Практика

1. Найди наибольшее и наименьшее значение $y=x^3-3x$ на отрезке $[-2;3]$.
2. Найди наибольшее и наименьшее значение $y=x^2-4x+7$ на отрезке $[0;3]$.
3. Найди наибольшее и наименьшее значение $y=x^3-12x$ на отрезке $[0;3]$.
4. Найди наибольшее и наименьшее значение $y=x+\dfrac{4}{x}$ на отрезке $[1;4]$.
5. Сумма двух положительных чисел равна $24$. Каким может быть наибольшее произведение?
6. Произведение двух положительных чисел равно $36$. Какова наименьшая возможная сумма?
7. Периметр прямоугольника равен $36$ см. При каких сторонах его площадь наибольшая?
8. Забор длиной $80$ м огораживает прямоугольный участок у стены (три стороны). Найди наибольшую площадь.
9. Из квадратного листа $18\times 18$ см делают открытую коробку описанным способом. Найди сторону выреза и наибольший объём.
10. Площадь прямоугольника равна $64\text{ м}^2$. При каких сторонах его периметр наименьший?
11. Точка движется по закону $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Найди наибольшее и наименьшее значение координаты на отрезке $[0;4]$.
12. Спрос описан формулой $q=300-3p$. При какой цене выручка наибольшая и чему она равна?
13. Найди точку графика $y=x^2$, ближайшую к точке $A(0;1{,}5)$.
14. Почему в задаче о коробке из листа $12\times 12$ корень $x=6$ не даёт ответа, хотя производная в нём обращается в ноль?

Ответы и пояснения

1. Кандидаты $-2$, $-1$, $1$, $3$ дают $-2$, $2$, $-2$, $18$. Наибольшее $18$ при $x=3$, наименьшее $-2$ при $x=-2$ и $x=1$.
2. $y'=2x-4$, корень $x=2$. Значения: $y(0)=7$, $y(2)=3$, $y(3)=4$. Наибольшее $7$, наименьшее $3$.
3. $y'=3x^2-12$, внутри отрезка корень $x=2$. Значения: $0$, $-16$, $-9$. Наибольшее $0$ при $x=0$, наименьшее $-16$ при $x=2$.
4. $y'=1-\dfrac{4}{x^2}$, корень $x=2$. Значения: $y(1)=5$, $y(2)=4$, $y(4)=5$. Наибольшее $5$ (на обоих концах), наименьшее $4$.
5. $P(x)=x(24-x)=24x-x^2$, $P'=24-2x$, корень $x=12$. Наибольшее произведение $12\cdot 12=144$.
6. $S(x)=x+\dfrac{36}{x}$ при $x>0$, $S'=1-\dfrac{36}{x^2}$, корень $x=6$. Наименьшая сумма $6+6=12$.
7. Полупериметр $18$, поэтому $S(x)=x(18-x)$ и $S'=18-2x$, корень $x=9$. Наибольшая площадь $81\text{ см}^2$ у квадрата $9\times 9$.
8. $S(x)=x(80-2x)$, $S'=80-4x$, корень $x=20$. Стороны $20$ м и $40$ м, площадь $800\text{ м}^2$.
9. $V(x)=x(18-2x)^2=4x^3-72x^2+324x$, $V'=12x^2-144x+324=12(x-3)(x-9)$. Внутри $(0;9)$ корень $x=3$: вырез $3$ см, дно $12\times 12$ см, высота $3$ см, $V=3\cdot 144=432\text{ см}^3$.
10. $P(x)=2\left(x+\dfrac{64}{x}\right)$, $P'=2\left(1-\dfrac{64}{x^2}\right)$, корень $x=8$. Квадрат $8\times 8$ м, наименьший периметр $32$ м.
11. $s'=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$, внутри отрезка корни $1$ и $3$. Значения: $s(0)=0$, $s(1)=4$, $s(3)=0$, $s(4)=64-96+36=4$. Наибольшее $4$ (при $t=1$ и $t=4$), наименьшее $0$ (при $t=0$ и $t=3$).
12. $R(p)=p(300-3p)=300p-3p^2$, $R'=300-6p$, корень $p=50$. Тогда $q=150$ и $R=7500$ рублей.
13. Квадрат расстояния от $(x;x^2)$ до $A$ равен $f(x)=x^2+\bigl(x^2-1{,}5\bigr)^2=x^4-2x^2+2{,}25$. Производная $f'=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$ имеет корни $-1$, $0$, $1$. Значения: $f(0)=2{,}25$, $f(\pm 1)=1+0{,}25=1{,}25$. Ближайших точек две: $(-1;1)$ и $(1;1)$, расстояние равно $\sqrt{1{,}25}\approx 1{,}12$. Минимизировать квадрат расстояния можно вместо самого расстояния: корень — возрастающая функция, поэтому точка минимума та же.
14. При $x=6$ дно коробки вырождается: сторона $12-2\cdot 6=0$, объём равен нулю. Этот корень лежит на границе допустимых значений и даёт наименьший, а не наибольший объём.

Итог

• Наибольшее и наименьшее значение на отрезке ищут среди стационарных точек внутри отрезка и значений на его концах.
• В прикладной задаче главная работа — построить целевую функцию и честно определить допустимые значения переменной.
• Найденное $x$ — ещё не ответ: нужно вернуться к вопросу задачи и указать единицы измерения.
• Оптимум не всегда «симметричен»: квадрат даёт максимум площади при заданном периметре, но у стены выгодна вытянутая площадка.

Осталось собрать всё вместе. В практикуме встретятся задачи всех четырёх типов сразу — и придётся самому решать, какой инструмент здесь нужен: определение, правило, знак производной или сравнение кандидатов на отрезке.

← Исследование функции · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным