2.5 Практикум: производная в работе

11 класс · Алгебра◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 2.1–2.4

Инженеру, экономисту и физику производная нужна для разных вещей, но действия у всех троих одинаковые: составить функцию, продифференцировать, посмотреть на знак и на кандидатов.

В этом практикуме задачи перемешаны. Никто не подскажет, какой инструмент нужен: определение, таблица с правилами, знак производной или сравнение значений на отрезке. Выбор — часть работы.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать подходящий инструмент под формулировку задачи
• переводить условие прикладной задачи в целевую функцию с допустимыми значениями
• проводить полное исследование функции и записывать вывод без пропусков
• проверять ответ вторым способом и находить чужую ошибку в решении

◆ Четыре вопроса — четыре инструмента

1. «С какой скоростью меняется… в момент…» — производная в точке, физический смысл.
2. «Составь уравнение касательной» — формула $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$, два разных числа.
3. «Найди промежутки возрастания и точки экстремума» — знак производной и его смена.
4. «Найди наибольшее значение на отрезке» — стационарные точки внутри плюс оба конца.

Станция 1. От секущей к касательной

Мяч брошен вверх со скоростью $20$ м/с: высота меняется по закону $h=20t-5t^2$. Посчитай на бумаге мгновенную скорость в момент $t=1$ — по определению или по правилам — и только потом нажимай «Проверить».

Лаборатория секущей

Угадай наклон касательной до подсказки

Мяч брошен вверх со скоростью 20 м/с: высота меняется по закону h = 20t − 5t².

Δy / Δx

Падение s = 5t²Бросок h = 20t − 5t²y = x²y = x³ − 3x

Точка t₀ 10,511,522,53Здесь ищем мгновенное значение — скорость, м/с.

Шаг h 1−1−0,5−0,25−0,1−0,050,050,10,250,51Расстояние до второй точки. Ноль запрещён: на ноль делить нельзя.

y = −5t² + 20t→y' = ?

Δt = h1Насколько сдвинулись по горизонтали.

Δy5Настолько изменилось значение функции.

Δy / h5скорость, м/с на всём отрезке AB, а не в точке A.

Что происходит при уменьшении шага

Наклон секущей при уменьшении h из точки t₀ = 1

h	Δy	Δy / h	отличие от предела
1	5	5	—
0,5	3,75	7,5	—
0,25	2,1875	8,75	—
0,1	0,95	9,5	—
0,01	0,0995	9,95	—
0,001	0,01	9,995	—

Мой ответ

Наклон касательной в точке t₀— выбери —51015

Проверить

?

Секущая при h = 1 имеет наклон 5.Уменьшай шаг и следи за числом в последнем столбце таблицы. К какому значению оно подбирается? Ответь — и касательная появится на рисунке.

↺ Вернуть пример

Разбор станции 1Разбираем вместе

По правилам: $h'(t)=20-10t$, поэтому $h'(1)=10$ м/с.

По определению: числитель равен $\bigl(20(1+h)-5(1+h)^2\bigr)-15=10h-5h^2$, отношение равно $10-5h$, предел при $h\to 0$ равен $10$.

Оба пути дают $10$ м/с — и таблица секущих в лаборатории подбирается к тому же числу.

Станция 2. Техника

Продифференцируй пять функций подряд, ни разу не заглядывая в таблицу. Засеки время.

• $y=3x^5-4x^3+x-9$;
• $y=x^2\cos x$;
• $y=\dfrac{x-2}{x+2}$;
• $y=\sqrt{7x+2}$;
• $y=\bigl(x^2-5\bigr)^4$.

Разбор станции 2

• $y'=15x^4-12x^2+1$.
• $y'=2x\cos x-x^2\sin x$ — правило произведения, минус приходит из производной косинуса.
• $y'=\dfrac{(x+2)-(x-2)}{(x+2)^2}=\dfrac{4}{(x+2)^2}$ — дробь возрастает на каждой из своих ветвей.
• $y'=\dfrac{7}{2\sqrt{7x+2}}$ — не забудь множитель $7$.
• $y'=4\bigl(x^2-5\bigr)^3\cdot 2x=8x\bigl(x^2-5\bigr)^3$.

Станция 3. Чтение графика производной

Здесь верхний график виден, а нижний спрятан. Сначала прочитай поведение функции глазами и назови точку максимума, потом проверяй.

Лаборатория исследования

Найди точку максимума по графику

Три стационарные точки: два минимума и локальный максимум между ними.

y′ и монотонность

y = x³ − 3xy = −x² + 4x − 3y = x³ + 3xy = x⁴ − 2x²V = x(12 − 2x)²S = 60x − 2x²

y = x⁴ − 2x²→y' = ?

Мой ответ

Точка максимума— выбери —−101таких точек нет

Проверить

?

Сначала прочитай график функции глазами.Где линия идёт вверх, а где вниз? В каких точках она разворачивается? Ответь на вопрос — и появится график производной со всеми выводами.

↺ Вернуть пример

✦ Три стационарные точки — это нормально

У функции $y=x^4-2x^2$ производная $4x^3-4x$ имеет три корня, и все три оказываются экстремумами: минимум, максимум, минимум.

При этом «максимум» в нуле — локальный: значение $0$ меньше, чем $y(2)=8$. Слово «максимум» всегда означает сравнение с соседями, а не со всей числовой прямой. Когда нужен глобальный ответ, задачу ставят на отрезке.

Станция 4. Оптимум с ограничением

Забор длиной $60$ м огораживает площадку у стены. Ниже лаборатория показывает целевую функцию, её производную и всех кандидатов на отрезке $[0;30]$.

Лаборатория исследования

График функции и знак её производной

Забор длиной 60 м огораживает прямоугольник у стены: сторон всего три.

y′ и монотонность

y = x³ − 3xy = −x² + 4x − 3y = x³ + 3xy = x⁴ − 2x²V = x(12 − 2x)²S = 60x − 2x²

y = −2x² + 60x→y' = −4x + 60

Что говорит знак производной

1. 1

   f′(x) > 0 на (−∞; 15]Значит, функция возрастает на этом промежутке.

2. 2

   f′(x) < 0 на [15; +∞)Значит, функция убывает на этом промежутке.

3. 3

   x = 15: f′ = 0, значение 450Слева от точки производная положительна, справа — отрицательна; это точка максимума.

Отрезок задачи[0; 30]При x = 0 и x = 30 прямоугольник вырождается в отрезок.

Наибольшее значение450 при x = 15Достигается внутри отрезка.

Наименьшее значение0 при x = 0Достигается на конце отрезка.

Кандидаты на наибольшее и наименьшее значение

x	откуда взялся	значение
0	конец отрезка	0
15	f′ = 0	450
30	конец отрезка	0

ƒ

y' = −4x + 60. x = 15 — точка максимума.возрастает на (−∞; 15]; убывает на [15; +∞).

↺ Вернуть пример

Полное исследование y = 2x³ − 3x² − 12x + 5Разбираем вместе

Производная: $y'=6x^2-6x-12=6\bigl(x^2-x-2\bigr)=6(x-2)(x+1)$.

Стационарные точки: $x=-1$ и $x=2$.

Знаки: $y'(-2)=6\cdot 4>0$; $y'(0)=-12<0$; $y'(3)=6\cdot 1\cdot 4>0$.

Монотонность: возрастает на $(-\infty;-1]$ и $[2;+\infty)$, убывает на $[-1;2]$.

Экстремумы: точка максимума $x=-1$, максимум $y(-1)=-2-3+12+5=12$; точка минимума $x=2$, минимум $y(2)=16-12-24+5=-15$.

Дополнительно — касательная в точке $x_0=0$: $y(0)=5$ и $y'(0)=-12$, поэтому $y=5-12x$. Отрицательный наклон согласуется с тем, что на промежутке $[-1;2]$ функция убывает.

Проверка понимания

В задаче спрашивают наибольшее значение функции y = 12x − x³ на отрезке [0; 3]. С чего начать?

• А. Подставить концы отрезка и сравнить два числа
• Б. Найти точку максимума и на этом закончить
• В. Найти корни уравнения y′ = 0 внутри отрезка, а затем сравнить значения в них и на концах

Итоговый набор задач

1. Найди $f'(2)$ по определению для $f(x)=x^2-3x$ и проверь ответ по правилам.
2. Найди производную: $y=4x^3-5x^2+2x-7$.
3. Найди производную двумя способами: $y=(x-1)\bigl(x^2+2\bigr)$.
4. Найди производную: $y=\dfrac{2x+3}{x-1}$.
5. Найди производную: $y=(4-3x)^6$.
6. Найди производную: $y=\cos 3x+\sin\dfrac{x}{3}$.
7. Составь уравнение касательной к графику $y=\sqrt{x}$ в точке $x_0=4$.
8. В каких точках касательная к графику $y=x^3-3x^2$ горизонтальна?
9. Точка движется по закону $s(t)=2t^3-9t^2+12t$. Найди скорость $v(t)$, моменты остановки и ускорение в момент $t=1$.
10. Исследуй на монотонность и экстремумы функцию $y=x^3-6x^2+9x$.
11. Найди наибольшее и наименьшее значение $y=x^4-2x^2$ на отрезке $[-2;2]$.
12. Найди наибольшее и наименьшее значение $y=12x-x^3$ на отрезке $[0;3]$.
13. Из проволоки длиной $40$ см согнули прямоугольную рамку. При каких сторонах её площадь наибольшая?
14. Открытый сверху бак с квадратным дном должен вмещать $32$ дм³. При каких размерах на него уйдёт меньше всего материала?
15. Производная функции равна $f'(x)=(x-1)(x-4)^2$. Найди точки экстремума и объясни, что происходит при $x=4$.
16. При каком значении $a$ прямая $y=3x+a$ касается параболы $y=x^2+x$?
17. Ученик пишет: «У функции $y=x^3$ производная в нуле равна нулю, значит в нуле экстремум». Найди ошибку и исправь вывод.
18. Найди точку касания прямой $y=4x-4$ и параболы $y=x^2$ двумя способами: через производную и через уравнение.

Ответы, проверки и комментарии

1. Числитель: $\bigl((2+h)^2-3(2+h)\bigr)-(4-6)=\bigl(h^2+h-2\bigr)+2=h^2+h$. Отношение равно $h+1$, предел равен $1$. По правилам: $f'(x)=2x-3$, значит $f'(2)=1$. Совпало.
2. $y'=12x^2-10x+2$.
3. По правилу: $\bigl(x^2+2\bigr)+(x-1)\cdot 2x=3x^2-2x+2$. Раскрытием: $y=x^3-x^2+2x-2$, значит $y'=3x^2-2x+2$.
4. $y'=\dfrac{2(x-1)-(2x+3)}{(x-1)^2}=\dfrac{-5}{(x-1)^2}$.
5. $y'=6(4-3x)^5\cdot(-3)=-18(4-3x)^5$.
6. $y'=-3\sin 3x+\dfrac{1}{3}\cos\dfrac{x}{3}$.
7. $y(4)=2$, $y'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, $y'(4)=\dfrac{1}{4}$. Касательная: $y=2+\dfrac{1}{4}(x-4)=\dfrac{x}{4}+1$. Проверка: при $x=4$ получается $2$.
8. $y'=3x^2-6x=3x(x-2)=0$ при $x=0$ и $x=2$. Точки графика: $(0;0)$ и $(2;-4)$.
9. $v(t)=6t^2-18t+12=6(t-1)(t-2)$; скорость равна нулю при $t=1$ и $t=2$. Ускорение $a(t)=v'(t)=12t-18$, поэтому $a(1)=-6$.
10. $y'=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. Возрастает на $(-\infty;1]$ и $[3;+\infty)$, убывает на $[1;3]$. Максимум $y(1)=1-6+9=4$, минимум $y(3)=27-54+27=0$.
11. $y'=4x^3-4x$, корни $-1$, $0$, $1$ — все внутри отрезка. Значения: $y(-2)=16-8=8$, $y(-1)=-1$, $y(0)=0$, $y(1)=-1$, $y(2)=8$. Наибольшее $8$ (на концах), наименьшее $-1$ (при $x=\pm 1$).
12. $y'=12-3x^2$, внутри отрезка корень $x=2$. Значения: $y(0)=0$, $y(2)=24-8=16$, $y(3)=36-27=9$. Наибольшее $16$, наименьшее $0$.
13. Полупериметр равен $20$, поэтому $S(x)=x(20-x)$ и $S'=20-2x$, корень $x=10$. Квадрат $10\times 10$ см, площадь $100\text{ см}^2$.
14. Пусть сторона дна равна $x$ дм, высота $h$. Тогда $x^2h=32$, то есть $h=\dfrac{32}{x^2}$, а площадь материала равна $S=x^2+4xh=x^2+\dfrac{128}{x}$. Производная $S'=2x-\dfrac{128}{x^2}$ обращается в ноль при $x^3=64$, то есть $x=4$. Слева производная отрицательна, справа положительна — это минимум. Ответ: дно $4\times 4$ дм, высота $2$ дм, площадь $16+32=48\text{ дм}^2$.
15. Множитель $(x-4)^2$ неотрицателен, поэтому знак производной задаёт скобка $x-1$: минус слева от $1$, плюс справа. В точке $x=1$ — минимум. В точке $x=4$ производная равна нулю, но знак не меняется, значит экстремума там нет.
16. Наклон касательной равен $3$: $2x+1=3$, откуда $x=1$. Точка касания $(1;2)$, потому что $y(1)=1+1=2$. Тогда $a=2-3\cdot 1=-1$. Проверка: уравнение $x^2+x=3x-1$ даёт $x^2-2x+1=0$ и $(x-1)^2=0$ — двойной корень, то есть касание.
17. Ошибка в том, что равенство $f'(x_0)=0$ — условие необходимое, а не достаточное. Производная $3x^2$ положительна и слева, и справа от нуля, знак не меняется, поэтому экстремума нет: функция $y=x^3$ возрастает на всей прямой.
18. Через производную: $2x=4$, откуда $x=2$ и точка $(2;4)$. Через уравнение: $x^2=4x-4$ приводится к $(x-2)^2=0$ — двойной корень $x=2$. Оба способа дают одну точку касания.

Рефлексия проекта

1. В какой задаче ты выбрал инструмент сразу, а в какой пришлось перебирать?
2. Где ответ был получен выкладкой, а где ты опирался на картинку лаборатории?
3. Какая задача решалась двумя способами — и совпали ли ответы?
4. В каком месте легче всего было потерять допустимые значения переменной или конец отрезка?

Возможные ответы: техника из станции 2 не требует выбора вообще, а задачи 14 и 16 требуют сначала построить модель; лаборатория показывает приближения, доказательство даёт только предел или таблица знаков; задачи 1, 3 и 18 решаются двумя независимыми способами и дают одинаковый результат; допустимые значения теряются в прикладных задачах с геометрией, а концы отрезка — в задачах на наибольшее значение.

✦ Мост дальше

Производная отвечает на вопрос «как быстро меняется величина». Но у него есть зеркальный близнец: известна скорость — какова сама величина?

Знаем скорость автомобиля в каждый момент — как найти пройденный путь? Знаем скорость притока воды — сколько её накопилось в баке? Эти задачи не решаются дифференцированием: здесь нужно действие, обратное к нему.

Такое действие есть, и оно неожиданно оказывается связанным с площадью под графиком. Именно с этого начнётся следующая глава — и там же выяснится, что две совершенно разные задачи, о касательной и о площади, на самом деле одна.

← Задачи оптимизации · К обзору 11 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным