6.3 Нормальная модель и правило трёх сигм

11 класс · Данные◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: ожидание и дисперсия, схема Бернулли, чтение диаграмм распределения

Возьми что угодно, что складывается из множества мелких независимых причин: рост взрослых людей, вес пачки крупы с конвейера, ошибку измерения прибора, сумму очков на десятке кубиков, число орлов в серии бросков. Нарисуй распределение.

Каждый раз получится одна и та же картинка: горб посередине, симметричные склоны, быстро гаснущие хвосты. Кубик сам по себе на колокол не похож совсем — у него ровная «полка». Но стоит сложить несколько кубиков, и колокол появляется сам собой.

Вопрос урока: почему у таких разных величин одна и та же форма и что она позволяет предсказать?

Прогноз до вычислений

Складываем очки четырёх кубиков. Ожидание равно $14$ , стандартное отклонение — примерно $3{,}4$ . Какая доля результатов, по-твоему, попадёт в полосу от $10{,}6$ до $17{,}4$ : около половины, около двух третей или почти всё?
Изменится ли твой ответ, если вместо кубиков взять рост школьников?
Событие «отклонение больше трёх сигм» — это редкость или невозможность?

Управляемый эксперимент

Двигай ползунок числа кубиков от одного к восьми. Один кубик — ровная полка, два — «крыша», три — уже почти колокол. Кривая появляется только после нажатия «Проверить»: сначала прогноз, потом картинка.

Сколько кубиков складываем 4От 1 до 8. Один кубик даёт ровную «полку», два — «крышу», а дальше начинается колокол.

Бросают 4 независимых кубиков и складывают очки. Всего 1296 равновозможных цепочек граней, но суммы получаются далеко не равновозможными.

Какая доля значений попадёт в полосу M(X) ± σ?

Полосы вокруг среднего: точный расчёт против нормальной модели
Полоса	Границы	Точная вероятность	Приближённо	Нормальная модель
M ± 1σ	10,58 … 17,42	?	?	0,6827
M ± 2σ	7,17 … 20,83	?	?	0,9545
M ± 3σ	3,75 … 24,25	?	?	0,9973

Точные вероятности вычислены по распределению, без всякого нормального приближения: сравнение $(x-M)^2\le k^2D$ обходится без извлечения корня. Последний столбец — то, что обещает модель; расхождение показывает, насколько модель уже пригодна.

Выбери прогноз для полосы M(X) ± σ и нажми «Проверить».Подсказка: посмотри, какая часть столбиков попадает внутрь выделенной полосы.

В таблице лаборатории точные вероятности вычислены по распределению — без всякого приближения, обыкновенными дробями. Последний столбец показывает, что обещает нормальная модель. Сравни эти два столбца: расхождение и есть цена приближения.

Откуда колокол

Почему форма одна и та же

Сумма большого числа независимых слагаемых, ни одно из которых не доминирует над остальными, распределена приблизительно нормально — по колоколообразной кривой. Это утверждение называют центральной предельной теоремой; доказывают его в вузе, но проверить его на кубиках можно прямо сейчас.

Рост человека складывается из сотен генетических и бытовых факторов, ошибка измерения — из множества мелких помех, вес пачки — из множества случайных отклонений дозатора. Поэтому колокол встречается так часто. И поэтому он встречается не всегда: там, где всё решает один редкий фактор, никакого колокола нет.

Нормальная модель полностью задаётся двумя числами: центром $\mu=M(X)$ и стандартным отклонением $\sigma$ . Никакие другие параметры не нужны — форма одна, меняются только положение и ширина.

Правило трёх сигм

68 — 95 — 99,7

Если величина распределена нормально с центром $\mu$ и стандартным отклонением $\sigma$ , то

в полосу $\mu\pm\sigma$ попадает примерно $68{,}27\%$ значений;
в полосу $\mu\pm2\sigma$ — примерно $95{,}45\%$ ;
в полосу $\mu\pm3\sigma$ — примерно $99{,}73\%$ .

За пределами трёх сигм остаётся около $0{,}27\%$ , то есть примерно один случай из $370$ . За пределами двух сигм — около $4{,}55\%$ , примерно один случай из $22$ ; по одну сторону — вдвое реже, примерно один из $44$ .

Практическое правило: отклонение в три сигмы редко, но возможно; отклонение в три сигмы дважды подряд означает, что сломалась модель, а не случай.

Проверим обещание на честном расчёте. Для суммы четырёх кубиков $M=14$ , $D=\frac{35}{3}$ , $\sigma=\sqrt{\frac{35}{3}}\approx3{,}42$ :

Полоса	Границы	Точная вероятность	Приближённо	Нормальная модель
$M\pm\sigma$	$10{,}58\ldots17{,}42$	$\frac{221}{324}$	$0{,}6821$	$0{,}6827$
$M\pm2\sigma$	$7{,}17\ldots20{,}83$	$\frac{613}{648}$	$0{,}9460$	$0{,}9545$
$M\pm3\sigma$	$3{,}75\ldots24{,}25$	$1$	$1$	$0{,}9973$

Первая строка совпадает почти идеально уже на четырёх кубиках. Третья не совпадёт никогда: у суммы четырёх кубиков значения не выходят за отрезок от $4$ до $24$ , поэтому в полосу трёх сигм попадает ровно всё. Модель обещает крошечный хвост, которого у реальной величины просто нет — и это нормально: модель приближает, а не копирует.

Стандартизованное значение

Сколько сигм отклонение

Для значения $x$ величины с центром $\mu$ и отклонением $\sigma$ число

$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$

называется стандартизованным значением. Оно безразмерно и отвечает на вопрос «на сколько сигм отклонилось».

Стандартизация переводит любые шкалы в одну: результат $z=1{,}5$ на экзамене по физике и $z=1{,}5$ на экзамене по истории означают одинаково удачное выступление относительно остальных, даже если баллы, средние и разбросы совсем разные.

Рост юношей: μ = 176 см, σ = 6 смРазбираем вместе

Модель считаем нормальной; это разумное допущение для роста взрослых людей одного пола и возраста.

Сколько юношей имеют рост от $170$ до $182$ см? Это ровно $\mu\pm\sigma$ , значит около $68\%$ — примерно двое из трёх.

Сколько выше $188$ см? Граница $188=\mu+2\sigma$ . Вне двух сигм остаётся $100\%-95{,}45\%=4{,}55\%$ , и хвосты симметричны, поэтому справа — половина: около $2{,}3\%$ , примерно один человек из $44$ .

Сколько ниже $158$ см или выше $194$ см? Это выход за три сигмы: около $0{,}27\%$ , примерно один человек из $370$ . В школе на $700$ учеников такой юноша, скорее всего, найдётся один — редкость не означает невозможности.

Куда попадает рост $185$ см?

$z=\frac{185-176}{6}=\frac{9}{6}=1{,}5.$

По таблице нормальной модели левее $z=1{,}5$ лежит $93{,}32\%$ значений, значит выше $185$ см — около $6{,}7\%$ юношей, примерно один из пятнадцати.

Проверка правдоподобия. Три сигмы дают отрезок от $158$ до $194$ см. Рост взрослого юноши вне этого диапазона действительно встречается крайне редко — модель согласуется с тем, что видно вокруг.

Проверка понимания

Автомат фасует крупу: средний вес пачки 500 г, стандартное отклонение 4 г, распределение близко к нормальному. Какая доля пачек весит больше 508 г?

Типичная ошибка

Применять колокол там, где его нет

Первая ошибка: считать правило трёх сигм законом природы. Возьмём «джекпот» из прошлого урока: $M=35$ ₽, $\sigma\approx348$ ₽. В полосу $M\pm\sigma$ попадает $99\%$ значений вместо обещанных $68\%$ , а выигрыш $3500$ ₽ отстоит от центра на $z=\frac{3500-35}{348{,}25}\approx9{,}95$ — почти десять сигм. Три сигмы не накрывают его даже близко. Правило работает для симметричных величин, сложенных из многих сопоставимых слагаемых, и разваливается для редких крупных событий.

Вторая ошибка: читать « $99{,}7\%$ » как «невозможно». Событие за тремя сигмами случается примерно раз из $370$ . Если наблюдений миллион, таких случаев будет около трёх тысяч. Редкое событие при большом числе попыток становится обычным.

Третья ошибка: путать разброс величины и разброс среднего. Отклонение роста одного юноши — $6$ см, а отклонение среднего роста случайной сотни юношей — уже $\frac{6}{\sqrt{100}}=0{,}6$ см. Это разные величины с разными сигмами, и подставлять одну вместо другой нельзя.

Четвёртая ошибка: подгонять данные под модель. Доход, длительность ремонта, число просмотров у роликов — величины с длинным правым хвостом. Средний доход и медианный доход у них расходятся в разы, и нормальная модель для них попросту неверна, сколько бы данных ты ни собрал.

Углубление: гарантия без всяких предположений

Иногда о форме распределения ничего не известно. Тогда работает неравенство Чебышёва: для любой величины с конечной дисперсией

$P\bigl(|X-M(X)|\le k\sigma\bigr)\ge1-\frac{1}{k^2}\quad\text{при }k>1.$

Оно гарантирует не меньше $75\%$ внутри двух сигм, не меньше $88{,}9\%$ внутри трёх и не меньше $93{,}75\%$ внутри четырёх. Гарантия слабее правила трёх сигм — зато она верна всегда, для любой величины, включая «джекпот». Это хорошая иллюстрация обмена: чем меньше предположений, тем слабее вывод.

Практика

Во всех задачах, где сказано «распределение близко к нормальному», пользуйся правилом $68$ — $95$ — $99{,}7$ .

Для величины с $\mu=100$ и $\sigma=15$ выпиши границы полос в одну, две и три сигмы.
Какая доля значений этой величины больше $130$ ?
Какая доля лежит между $85$ и $130$ ?
Найди $z$ для значений $118$ и $79$ при тех же $\mu$ и $\sigma$ .
Лампы служат в среднем $1000$ часов при $\sigma=40$ часов. Какая доля прослужит дольше $1080$ часов?
Из $10\,000$ таких ламп сколько примерно перегорит раньше $880$ часов?
Ученик набрал $85$ баллов при среднем $70$ и $\sigma=10$ ; другой набрал $62$ при среднем $50$ и $\sigma=8$ . Чей результат сильнее?
Для суммы очков четырёх кубиков известно $M=14$ и $\sigma\approx3{,}42$ . Точная вероятность полосы $M\pm\sigma$ равна $\frac{221}{324}$ . Сравни её с обещанием модели.
Почему для одного кубика правило трёх сигм не имеет смысла, хотя в полосу $M\pm\sigma$ там попадает $\frac23$ значений?
Величина принимает значение $0$ с вероятностью $0{,}99$ и значение $3500$ с вероятностью $0{,}01$ . Сколько сигм отделяет второе значение от центра, если $M=35$ и $\sigma\approx348$ ?
Какую долю любой величины неравенство Чебышёва гарантирует внутри четырёх сигм?
Автомат фасует пачки по $500$ г при $\sigma=4$ г. Назови границы контроля в три сигмы и объясни, почему пачка весом $493$ г ещё не повод останавливать линию.

Ответы и пояснения

$85\ldots115$ ; $70\ldots130$ ; $55\ldots145$ .
$130=\mu+2\sigma$ ; вне двух сигм $4{,}55\%$ , справа половина — около $2{,}3\%$ .
Слева от центра до $85$ — половина от $68{,}27\%$ , то есть $34{,}13\%$ ; справа до $130$ — половина от $95{,}45\%$ , то есть $47{,}72\%$ . Вместе $81{,}85\%$ , примерно $82\%$ .
$z=\frac{118-100}{15}=1{,}2$ и $z=\frac{79-100}{15}=-1{,}4$ .
$1080=1000+2\cdot40$ , значит около $2{,}3\%$ .
$880=1000-3\cdot40$ ; ниже трёх сигм остаётся около $0{,}135\%$ , то есть примерно $13$ ламп из $10\,000$ .
$z_1=\frac{85-70}{10}=1{,}5$ и $z_2=\frac{62-50}{8}=1{,}5$ . Результаты одинаково сильные, хотя баллы отличаются на $23$ .
$\frac{221}{324}\approx0{,}6821$ против $0{,}6827$ — расхождение меньше одной десятой процента. Уже на четырёх слагаемых приближение хорошее.
У одного кубика распределение равномерное, а не колоколообразное; совпадение $\frac23\approx0{,}667$ с $0{,}683$ случайно. Проверка это подтверждает: в полосу двух сигм у кубика попадает $100\%$ значений вместо $95{,}45\%$ , потому что дальше значений просто нет.
$z=\frac{3500-35}{348}\approx9{,}95$ — почти десять сигм. Нормальная модель здесь неприменима.
$1-\frac{1}{16}=0{,}9375$ , то есть не меньше $93{,}75\%$ .
Границы $500\pm3\cdot4$ , то есть от $488$ до $512$ г. Вес $493$ г отклоняется меньше чем на две сигмы; такие пачки встречаются у исправного автомата довольно часто, и останавливать линию из-за одной из них — значит принять обычное колебание за поломку.

Итог

Сумма многих независимых сопоставимых слагаемых даёт колоколообразное распределение; оно задаётся всего двумя числами — $\mu$ и $\sigma$ .
Правило трёх сигм: примерно $68\%$ , $95\%$ и $99{,}7\%$ значений внутри полос в одну, две и три сигмы.
Стандартизованное значение $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ переводит любую шкалу в универсальную и позволяет сравнивать несравнимое.
Нормальная модель — приближение с условиями. Для несимметричных величин с редкими крупными значениями она даёт неверные ответы, а неравенство Чебышёва — слабые, но всегда верные.
Три сигмы означают «редко», а не «никогда»: при большом числе наблюдений редкое обязано случиться.

Теперь соберём всё вместе. Если доля сторонников в стране равна $p$ , то результат опроса — случайная величина с известным центром и известной сигмой. Значит, по одному опросу можно назвать не только число, но и границы его надёжности. Этим и займёмся.

← Дисперсия и стандартное отклонение · Дальше: выборка, ошибка и честные выводы →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.