4.3 Равнобедренный треугольник

7 класс · Геометрия◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: признаки равенства треугольников, биссектриса, медиана, высота

Одно-единственное равенство $CA = CB$ выглядит скромно. Но из него выводится целая связка утверждений: про углы, про медиану, про высоту — и даже недостающее доказательство третьего признака равенства.

◎ После урока ты сможешь

• называть боковые стороны, основание и углы равнобедренного треугольника
• доказывать и применять свойство углов при основании
• использовать совпадение биссектрисы, медианы и высоты, проведённых к основанию
• распознавать равнобедренный треугольник по равенству двух углов

Прогноз до вычислений

В треугольнике $ABC$ известно только, что $CA = CB$. Как ты думаешь, следует ли отсюда равенство каких-то углов? Каких именно? Запиши версию до чтения доказательства.

Определения

∴ Определение

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми, а третью — основанием. Углы при основании — это углы, прилежащие к основанию; третий угол называют углом при вершине.

Треугольник, у которого равны все три стороны, называется равносторонним. Он является равнобедренным, причём любую его сторону можно считать основанием.

Слово «основание» не связано с положением на листе. Основание — та сторона, которая не равна двум другим, где бы она ни находилась.

Свойство углов при основании

Теорема 3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано: $\triangle ABC$, $CA = CB$, основание $AB$.

Доказать: $\angle A = \angle B$.

Доказательство. Проведём биссектрису $CM$ угла $C$; точка $M$ лежит на $AB$. Рассмотрим треугольники $ACM$ и $BCM$:

1. $CA = CB$ — по условию;
2. $\angle ACM = \angle BCM$ — так как $CM$ биссектриса;
3. $CM$ — общая сторона.

Угол из пункта 2 заключён между сторонами из пунктов 1 и 3, поэтому по признаку I

$\triangle ACM = \triangle BCM.$

У равных треугольников соответственные углы равны, а углу $A$ соответствует угол $B$. Значит $\angle A = \angle B$. $\blacksquare$

Три отрезка в одном

Доказательство теоремы 3 дало больше, чем требовалось: равенство $\triangle ACM = \triangle BCM$ содержит ещё два полезных равенства.

Теорема 4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является одновременно медианой и высотой.

Доказательство. Из равенства $\triangle ACM = \triangle BCM$ следует, что $AM = MB$, то есть $M$ — середина основания и $CM$ — медиана. Кроме того, $\angle AMC = \angle BMC$. Эти углы смежные, поэтому по теореме 1

$\angle AMC + \angle BMC = 180°.$

Равные слагаемые дают $2\angle AMC = 180°$, откуда $\angle AMC = 90°$. Значит $CM \perp AB$, то есть $CM$ — высота. $\blacksquare$

Верно и обратное: медиана к основанию оказывается биссектрисой и высотой, а высота к основанию — биссектрисой и медианой. Это и есть ось симметрии равнобедренного треугольника, знакомая по 6 классу.

Признак: узнать равнобедренный по углам

Теорема 3 идёт от сторон к углам. Верно ли обратное движение?

Теорема 5 (признак). Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Дано: $\triangle ABC$, $\angle A = \angle B$.

Доказать: $CA = CB$.

Доказательство. Сравним треугольник $ABC$ с ним же самим, но записанным в другом порядке вершин — с треугольником $BAC$. В них:

1. $AB = BA$ — это одна и та же сторона;
2. $\angle A = \angle B$ — по условию;
3. $\angle B = \angle A$ — то же условие, прочитанное наоборот.

По признаку II $\triangle ABC = \triangle BAC$. В этом соответствии стороне $CA$ отвечает сторона $CB$, поэтому $CA = CB$. $\blacksquare$

✦ Прямая теорема и обратная

Теорема 3 звучит так: «если стороны равны, то углы равны». Теорема 5 меняет условие и заключение местами. Такие пары называют прямой и обратной теоремами, и обратная не следует из прямой автоматически — её нужно доказывать отдельно. Иногда обратное утверждение вообще ложно: из «квадрат — прямоугольник» не следует «прямоугольник — квадрат».

Обещание выполнено: признак III

Теперь можно доказать третий признак равенства треугольников, отложенный в прошлом уроке.

Дано: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $CA = C_1A_1$.

Доказать: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство. Приложим $\triangle A_1B_1C_1$ к $\triangle ABC$ так, чтобы $A_1$ совпала с $A$, $B_1$ — с $B$, а третья вершина оказалась по другую сторону от прямой $AB$, чем $C$. Обозначим её $C_2$ и проведём отрезок $CC_2$.

Так как $AC = AC_2$, треугольник $ACC_2$ равнобедренный, и по теореме 3

$\angle ACC_2 = \angle AC_2C.$

Так как $BC = BC_2$, треугольник $BCC_2$ тоже равнобедренный, и

$\angle BCC_2 = \angle BC_2C.$

Складывая равенства, получаем $\angle ACB = \angle AC_2B$. Теперь в треугольниках $ACB$ и $AC_2B$ равны две стороны и угол между ними, поэтому по признаку I они равны. Значит $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. $\blacksquare$

Случай, когда отрезок $CC_2$ проходит вне отрезка $AB$, разбирается так же, только углы не складываются, а вычитаются.

Управляемый эксперимент

Меняй угол при вершине и следи за углами при основании.

Лаборатория доказательств

Треугольник, у которого нет свободы

Каждая длина и каждый угол на чертеже вычислены из введённых данных, а не подогнаны на глаз.

исследование

Треугольник по даннымРавнобедренныйСумма углов и внешний угол

Угол при вершине C40°

−+

Чётные значения от 20° до 150°

△

∠A = ∠B = 70° при ∠C = 40°.Меняй угол при вершине: углы при основании остаются равными друг другу при любом его значении.

↺ Вернуть пример

◆ Что здесь доказано, а что пока просто показано

Равенство углов при основании — доказанная теорема 3: оно верно при любом угле при вершине. А вот числа лаборатория вычисляет по теореме о сумме углов треугольника, которую мы докажем только в уроке 4.5. Пока пользуйся равенством углов, а не их величинами.

Стороны по периметруРазбираем вместе

Периметр равнобедренного треугольника равен $50$ см, а основание на $4$ см меньше боковой стороны. Найдём стороны.

Пусть боковая сторона равна $x$ см, тогда основание равно $(x-4)$ см. Боковых сторон две:

$x + x + (x - 4) = 50, \qquad 3x = 54, \qquad x = 18.$

Боковые стороны по $18$ см, основание $18 - 4 = 14$ см.

Проверка: $18 + 18 + 14 = 50$ см. $\blacksquare$

Медиана оказалась биссектрисойРазбираем вместе

Дано: $\triangle ABC$, $AB = AC$, $AM$ — медиана.

Доказать: $AM$ — биссектриса угла $A$.

Доказательство. Рассмотрим треугольники $ABM$ и $ACM$: $AB = AC$ по условию, $BM = MC$, так как $AM$ — медиана, сторона $AM$ общая. Три стороны одного равны трём сторонам другого, значит по признаку III

$\triangle ABM = \triangle ACM.$

Отсюда $\angle BAM = \angle CAM$, то есть $AM$ делит угол $A$ пополам. $\blacksquare$

Проверка понимания

В треугольнике ABC известно, что ∠A = ∠B. Что можно утверждать наверняка?

• А. AB = AC
• Б. CA = CB
• В. Треугольник равносторонний

! Три частые ошибки

«В равнобедренном треугольнике все углы равны». Равны только два угла при основании. Все три равны лишь в равностороннем треугольнике.

«Основание — нижняя сторона». Основание определяется не положением на чертеже, а тем, что оно не равно боковым сторонам.

«Любая высота равнобедренного треугольника является медианой». Совпадают только биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию. Высота, проведённая к боковой стороне, медианой, вообще говоря, не является.

Практика

1. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = AC$. Назови основание, боковые стороны и укажи равные углы.
2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $8$ см, основание — $5$ см. Найди периметр.
3. Периметр равнобедренного треугольника равен $34$ см, основание — $10$ см. Найди боковую сторону.
4. Периметр равнобедренного треугольника равен $40$ см, боковая сторона — $15$ см. Найди основание.
5. Периметр равнобедренного треугольника равен $29$ см, а основание на $2$ см больше боковой стороны. Найди все стороны.
6. Периметр равностороннего треугольника равен $21$ см. Найди его сторону.
7. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = AC$, а $AM$ — медиана. Докажи, что $AM \perp BC$.
8. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle B = \angle C$. Что можно сказать о его сторонах?
9. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC$ проведена биссектриса $AD$. Известно, что $BD = 6$ см. Найди $BC$.
10. Верно ли, что у равнобедренного треугольника все углы равны? Ответ обоснуй.

Ответы и пояснения

1. Основание $BC$, боковые стороны $AB$ и $AC$, равны углы при основании: $\angle B = \angle C$.
2. $P = 8 + 8 + 5 = 21$ см.
3. $(34 - 10) : 2 = 12$ см.
4. $40 - 2\cdot 15 = 10$ см.
5. Пусть боковая равна $x$, тогда $2x + (x + 2) = 29$, $3x = 27$, $x = 9$. Стороны: $9$ см, $9$ см, $11$ см. Проверка: $9+9+11=29$.
6. $21 : 3 = 7$ см.
7. По теореме 4 медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является высотой, значит $AM \perp BC$. Можно и напрямую: $\triangle ABM = \triangle ACM$ по признаку III, откуда $\angle AMB = \angle AMC$, а как смежные они дают $180°$, поэтому каждый равен $90°$.
8. По теореме 5 треугольник равнобедренный с основанием $BC$, значит $AB = AC$.
9. Биссектриса $AD$ к основанию является медианой, поэтому $D$ — середина $BC$ и $BC = 2\cdot 6 = 12$ см.
10. Неверно. Равны только углы при основании. Например, у треугольника с углом при вершине $80°$ углы при основании по $50°$, и они не равны углу при вершине.

Итог

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны (теорема 3).
• Биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, — один и тот же отрезок (теорема 4).
• Если два угла треугольника равны, треугольник равнобедренный (теорема 5, обратная к теореме 3).
• Через равнобедренные треугольники доказывается третий признак равенства.

Чтобы считать величины углов, а не только сравнивать их, нужна ещё одна теорема. Дорога к ней идёт через параллельные прямые.

← Признаки равенства треугольников · Дальше: параллельные прямые →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным