2.4 Квадратные неравенства

9 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: нули квадратичной функции, направление ветвей, числовые промежутки, свойства неравенств

Мяч из первого урока летит по закону $h=20t-5t^2$. Вопрос уже другой: сколько секунд он проведёт выше $15$ метров?

Это не уравнение. Здесь нужен не момент, а целый промежуток времени:

$20t-5t^2>15.$

Перебирать секунды бесполезно — ответ состоит из бесконечного множества значений. Зато у нас есть график, а на нём условие «выше $15$» читается с одного взгляда.

◎ После урока ты сможешь

• приводить квадратное неравенство к виду ax² + bx + c ⋛ 0
• решать неравенство по эскизу параболы: направление ветвей плюс нули
• разбирать все случаи знака дискриминанта, включая пустой ответ и всю прямую
• записывать ответ промежутками, различая строгий и нестрогий знак

Прогноз до вычислений

1. Сколько примерно секунд мяч проведёт выше $15$ метров: меньше секунды, около двух или больше трёх?
2. Может ли ответом квадратного неравенства быть «все числа»? А «решений нет»?
3. Может ли решением быть ровно одно число?

Эксперимент: ответ читается по картинке

Жирная линия на оси $x$ — множество решений. Меняй коэффициенты и знак неравенства и следи, как ответ меняет форму.

Лаборатория квадратных неравенств

Ответ неравенства читается по расположению параболы

Меняй коэффициенты и знак неравенства. Жирная линия на оси x — это множество решений.

ax² + bx + c ⋛ 0

Коэффициент a 1

−+

Целое от −4 до 4, кроме нуля

Коэффициент b −4

−+

Целое от −12 до 12

Свободный член c 3

−+

Целое от −24 до 24

< 0 меньше нуля⩽ 0 меньше или равно нулю> 0 больше нуля⩾ 0 больше или равно нулю

x² − 4x + 3 < 0→D = 4

1. 1

   Нули трёхчленаD = 4. Корни: 1; 3.

2. 2

   Ветви вверх — знак трёхчлена вне корней совпадает со знаком aВыше оси x: x < 1 или x > 3. Ниже оси x: 1 < x < 3.

3. 3

   промежуток между корнями: (1; 3)Знак < строгий, поэтому корни в ответ не входят.

<

Ответ: 1 < x < 3.(1; 3). Форма ответа — промежуток между корнями; D = 4.

↺ Вернуть пример

Обрати внимание: сколько ни меняй коэффициенты, форм ответа получается немного. Промежуток между нулями, два луча вне нулей, вся прямая, пустое множество, одна точка и прямая с выколотой точкой — вот и всё.

Как решать

∴ Метод параболы

Чтобы решить неравенство $ax^2+bx+c>0$ (или с любым другим знаком):

1. Приведи неравенство к виду «трёхчлен и ноль»: перенеси всё в одну часть.
2. Найди нули трёхчлена, решив уравнение $ax^2+bx+c=0$.
3. Нарисуй эскиз параболы: направление ветвей по знаку $a$, точки пересечения — найденные нули.
4. Выдели те куски оси $x$, где график расположен нужным образом: выше оси для знака $>$, ниже — для знака $<$.
5. Запиши ответ промежутками. При строгом знаке нули не входят, при нестрогом входят.

Эскиз не обязан быть точным: важны только направление ветвей и порядок нулей на оси.

Если умножать неравенство на отрицательное число, не забывай менять знак на противоположный. Это удобный приём: с положительным старшим коэффициентом картинка привычнее.

Решаем x² − 4x + 3 < 0Разбираем вместе

Трёхчлен уже стоит слева, ноль справа. Найдём нули:

$D=16-12=4,\qquad x=\frac{4\pm2}{2},\qquad x_1=1,\quad x_2=3.$

Старший коэффициент $a=1>0$, значит ветви вверх, и парабола пересекает ось $x$ в точках $1$ и $3$. Ниже оси она опускается только между этими точками.

Знак строгий, поэтому концы не включаем:

$1<x<3,\qquad \text{ответ: } (1;\ 3).$

Проверка одной точкой: при $x=2$ получаем $4-8+3=-1<0$ — верно. При $x=0$ получаем $3>0$ — значит, ноль в ответ действительно не входит.

Решаем −x² + 2x + 8 ⩾ 0Разбираем вместе

Старший коэффициент отрицателен. Умножим обе части на $-1$ и перевернём знак:

$x^2-2x-8\leqslant 0.$

Нули: $D=4+32=36$, $\sqrt{D}=6$, $x=\dfrac{2\pm6}{2}$, то есть $x_1=-2$, $x_2=4$.

Ветви вверх, ниже оси парабола лежит между нулями. Знак нестрогий, поэтому концы включаем:

$-2\leqslant x\leqslant 4,\qquad \text{ответ: } [-2;\ 4].$

Проверка: при $x=0$ исходное выражение равно $8\geqslant0$ — точка $0$ попала в ответ правильно.

Когда нулей мало или нет совсем

Случаи $D=0$ и $D<0$ пугают, пока не нарисуешь картинку. Возьмём $y=x^2-6x+9=(x-3)^2$: парабола ветвями вверх касается оси в точке $x=3$ и больше нигде ниже оси не бывает.

Неравенство	Что видно на эскизе	Ответ
$(x-3)^2>0$	выше оси везде, кроме точки касания	$x$ — любое, кроме $x=3$
$(x-3)^2\geqslant 0$	ниже оси парабола не заходит	$x$ — любое число
$(x-3)^2<0$	ниже оси нет ни одной точки	решений нет
$(x-3)^2\leqslant 0$	ноль достигается только в касании	$x=3$

А если $D<0$, парабола вообще не встречает ось $x$, и знак трёхчлена постоянен. Например, $x^2+x+1$ при $D=1-4=-3$ и ветвях вверх положителен при всех $x$: неравенство $x^2+x+1>0$ верно всегда, а $x^2+x+1<0$ не имеет решений.

Возвращаемся к мячу

$20t-5t^2>15.$

Перенесём всё влево: $-5t^2+20t-15>0$. Разделим обе части на $-5$ и перевернём знак:

$t^2-4t+3<0.$

Это в точности разобранный пример: $1<t<3$. Мяч проводит выше $15$ метров ровно $2$ секунды — с первой по третью.

Лаборатория квадратных неравенств

Предскажи форму ответа, потом посмотри на параболу

Неравенство задано, график скрыт. Реши его в уме или на бумаге, выбери форму ответа и только потом проверь себя.

ax² + bx + c ⋛ 0

Неравенство № 1 из 6Следующее неравенство

x² − 5x + 6 > 0→D = ?

промежуток между корнямидва луча вне корнейвся числовая прямаярешений нетодно числовся прямая без одной точкиПроверить

?

Какой формы будет ответ?Найди нули трёхчлена, представь параболу и выбери форму множества решений. График появится после проверки.

↺ Вернуть пример

Проверка понимания

Каково решение неравенства x² − 9 > 0?

• А. −3 < x < 3
• Б. x < −3 или x > 3
• В. x — любое число

! Два луча склеивают в одну двойную запись

Ответ «$x<-3$ или $x>3$» состоит из двух отдельных кусков. Записать его как $3<x<-3$ нельзя: такой строки не существует, ведь одно число не может быть больше $3$ и меньше $-3$ одновременно.

Промежутками это записывают через объединение: $(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$. И слово между кусками всегда «или», а не «и».

Практика

Реши неравенства и запиши ответ промежутками.

1. $x^2-5x+4>0$
2. $x^2-5x+4\leqslant 0$
3. $x^2-16<0$
4. $x^2+2x-15\geqslant 0$
5. $-x^2+6x-5>0$
6. $x^2-4x+4>0$
7. $x^2+x+3>0$
8. $2x^2-7x+3<0$
9. Мяч летит по закону $h=20t-5t^2$. Сколько секунд он находится выше $15$ м?
10. При каких $x$ функция $y=x^2-2x-8$ принимает отрицательные значения?

Ответы и пояснения

1. $D=25-16=9$, нули $\dfrac{5\pm3}{2}$: $1$ и $4$. Ветви вверх, знак «больше» — вне нулей: $x<1$ или $x>4$, то есть $(-\infty;1)\cup(4;+\infty)$.
2. Тот же трёхчлен, знак противоположный и нестрогий: $1\leqslant x\leqslant4$, то есть $[1;\ 4]$.
3. Нули $-4$ и $4$; ниже оси — между ними: $-4<x<4$, то есть $(-4;\ 4)$.
4. $D=4+60=64$, нули $\dfrac{-2\pm8}{2}$: $-5$ и $3$. Ответ: $x\leqslant-5$ или $x\geqslant3$, то есть $(-\infty;-5]\cup[3;+\infty)$.
5. Умножим на $-1$: $x^2-6x+5<0$. Нули $1$ и $5$, ответ $1<x<5$, то есть $(1;\ 5)$.
6. Слева стоит $(x-2)^2$, оно положительно везде, кроме точки касания: $x$ — любое, кроме $x=2$; промежутками $(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$.
7. $D=1-12=-11<0$, ветви вверх — трёхчлен всегда положителен. Ответ: $x$ — любое число, то есть $(-\infty;+\infty)$.
8. $D=49-24=25$, нули $\dfrac{7\pm5}{4}$: $0{,}5$ и $3$. Ветви вверх, знак «меньше» — между нулями: $0{,}5<x<3$, то есть $(0{,}5;\ 3)$.
9. $20t-5t^2>15$ приводится к $t^2-4t+3<0$, откуда $1<t<3$: мяч выше $15$ м ровно $2$ секунды.
10. Нули: $D=4+32=36$, $x=\dfrac{2\pm6}{2}$, то есть $-2$ и $4$. Отрицательные значения — между нулями: $-2<x<4$.

Итог

• Квадратное неравенство решают не подбором, а по эскизу параболы: нужны только знак $a$ и нули трёхчлена.
• Между нулями знак трёхчлена противоположен знаку $a$, вне нулей — совпадает с ним.
• Случаи $D=0$ и $D<0$ дают особые ответы: пустое множество, всю прямую, одну точку или прямую без одной точки.
• Строгий знак выкалывает нули из ответа, нестрогий — включает их.

Теперь у тебя есть весь набор: график, вершина, нули и знак. В практикуме соберём его на трёх настоящих сюжетах — арке моста, цене в киоске и допуске по прибыли.

← Вершина и свойства · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным