3.4. Масштаб

6 класс · Отношения◷ 45–60 минут◇ БазаНужно знать: отношения, пропорции и перевод единиц длины

Комната длиной $6$ метров должна поместиться на листе бумаги. На плане её длина равна $6$ сантиметрам. Чертёж уменьшил длину, но сохранил форму — во сколько раз?

◎ После урока ты сможешь

• читать масштаб 1:n как отношение длины на изображении к реальной длине
• находить реальную длину и длину на плане с обязательным переводом единиц
• отличать изменение линейного масштаба от изменения площади

Измерь модель

Лаборатория масштаба

От карты к местности и обратно

Масштаб 1 : n означает: каждому 1 см на карте соответствуют n см в действительности.

1 : 100

Направление пересчёта

С карты на местностьС местности на карту

Масштаб 1 : n 1 : 100Целое n от 1 до 10000000; 1 см на карте равен n см на местности.

Длина на карте, см 6Допустимо от 0,1 до 30 см.

Единица длины на местностисммкмНа карте длина всегда задана в сантиметрах.

1 см на карте↔1 м на местности

↔

6 см · 100 = 600 см = 6 м.Измерение на карте умножаем на знаменатель масштаба.

В нашем примере $6$ м — это $600$ см. Отношение длины на плане к реальной длине:

$6:600=1:100.$

Пишут: масштаб $1:100$. Один сантиметр на плане соответствует ста сантиметрам, то есть одному метру, в реальности.

∴ Численный масштаб

Масштаб $1:n$ означает: каждая длина на изображении в $n$ раз меньше соответствующей реальной длины. Обе части отношения измеряются в одинаковых единицах.

◆ Масштаб — это отношение

Нового объекта здесь не появилось: масштаб — то самое отношение из урока 3.1, у которого просто есть работа — показывать, во сколько раз чертёж меньше настоящего. Поэтому обе части и приводят к одинаковым единицам: иначе отношение ничего не значит. В 8 классе это же число встретится в третий раз, уже под именем коэффициента подобия (урок 5.1).

Для масштаба $1:n$ работают две обратные операции:

$\text{реальная длина}=\text{длина на плане}\cdot n,$

$\text{длина на плане}=\text{реальная длина}:n.$

Результат сначала получается в той же единице, в которой измеряли план. Затем его можно перевести в метры или километры.

С плана в реальность

Расстояние на картеРазбираем вместе

Масштаб карты $1:50\,000$. Между двумя точками на карте $3{,}6$ см.

Реальная длина в сантиметрах:

$3{,}6\cdot50\,000=180\,000\text{ см}.$

Переведём единицы:

$180\,000\text{ см}=1800\text{ м}=1{,}8\text{ км}.$

Ответ: $1{,}8$ км.

Из реальности на план

Размер стены на чертежеРазбираем вместе

Стена имеет длину $7{,}5$ м. Чертёж выполнен в масштабе $1:50$. Какой будет линия на чертеже?

Сначала переводим длину в сантиметры:

$7{,}5\text{ м}=750\text{ см}.$

Затем уменьшаем в $50$ раз:

$750:50=15\text{ см}.$

Проверка: $15\cdot50=750$ см.

Проверка понимания

На карте масштаба 1 : 20 000 расстояние равно 3,5 см. Каково реальное расстояние?

• А. 70 м
• Б. 7 км
• В. 700 м

Масштаб не всегда уменьшает

Мелкие детали изображают увеличенными. Запись $10:1$ означает, что $10$ единиц на рисунке соответствуют $1$ единице в реальности. Например, деталь длиной $4$ мм будет изображена линией $40$ мм.

В этой главе основные задачи используют уменьшающий масштаб $1:n$, но общий принцип один: это отношение длины изображения к реальной длине в одинаковых единицах.

! Ловушка: масштаб длины и масштаб площади

Если все длины уменьшили в $10$ раз, площадь уменьшилась в $10^2=100$ раз. Квадрат $20\times20$ см на плане $1:10$ станет квадратом $2\times2$ см: площадь изменилась с $400$ до $4$ см². Нельзя делить площадь только на $10$.

Оцени до вычисления

Масштаб помогает проверить порядок ответа.

• $1:100$ удобен для комнаты: сантиметры на плане превращаются в метры в реальности.
• $1:50\,000$ подходит для района города: несколько сантиметров означают километры.
• $1:10\,000\,000$ подходит для больших территорий: один сантиметр означает сто километров.

Если карта района дала расстояние в тысячи километров, вероятно, ошибка в переводе единиц.

Практика

С плана в реальность

1. План выполнен в масштабе $1:100$. Какую длину в комнате изображают $8{,}5$ см?
2. На карте масштаба $1:25\,000$ тропа имеет длину $6$ см. Найди реальную длину в километрах.
3. Масштаб карты $1:2\,000\,000$. Расстояние на карте $4{,}2$ см. Найди расстояние в километрах.

Из реальности на план

4. Дорога длиной $12$ км изображается в масштабе $1:200\,000$. Какова её длина на карте?
5. Стол длиной $1{,}8$ м чертят в масштабе $1:20$. Какова длина на чертеже?
6. Деталь длиной $7$ мм изображают в масштабе $5:1$. Какова длина изображения?

Исследуй

7. На плане $1:50$ прямоугольная комната изображена как $8\times6$ см. Найди реальные размеры и площадь комнаты.
8. Две карты показывают один маршрут: на первой он имеет длину $4$ см при масштабе $1:100\,000$, на второй — $8$ см. Каков масштаб второй карты?
9. Фигура уменьшена в $4$ раза по каждой длине. Во сколько раз уменьшились её периметр и площадь?
10. Объясни, почему в масштабе нельзя напрямую сравнивать $1$ см на плане и $2$ км в реальности как $1:2$.

Ответы и объяснения

1. $8{,}5\cdot100=850$ см $=8{,}5$ м.
2. $6\cdot25\,000=150\,000$ см $=1{,}5$ км.
3. $4{,}2\cdot2\,000\,000=8\,400\,000$ см $=84$ км.
4. $12$ км $=1\,200\,000$ см; $1\,200\,000:200\,000=6$ см.
5. $1{,}8$ м $=180$ см; $180:20=9$ см.
6. $7\cdot5=35$ мм.
7. Реальные размеры: $8\cdot50=400$ см $=4$ м и $6\cdot50=300$ см $=3$ м. Площадь $12$ м².
8. Реальный маршрут равен $4\cdot100\,000=400\,000$ см. Для $8$ см коэффициент $400\,000:8=50\,000$, масштаб $1:50\,000$.
9. Периметр уменьшился в $4$ раза, площадь — в $4^2=16$ раз.
10. Сначала нужны одинаковые единицы: $2$ км $=200\,000$ см, поэтому отношение равно $1:200\,000$.

Итог

• Масштаб — отношение длины изображения к реальной длине в одинаковых единицах.
• Умножение переводит план в реальность, деление — реальность в план для масштаба $1:n$.
• Линейный коэффициент $n$ превращается в $n^2$ для площадей.

Следующий урок сменит масштаб: целое разобьём ровно на сто одинаковых долей и получим язык процентов.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным