4.2 Конус

11 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: цилиндр, теорема Пифагора, площадь сектора, подобие

Бумажный кулёк для семечек, дорожный конус, воронка, абажур, цирковой купол. Всё это конусы, и все они делаются из плоского куска, который потом сворачивают. Вопрос мастера звучит так: какой формы должна быть выкройка и какой у неё угол?

◎ После урока ты сможешь

• описывать конус как тело вращения прямоугольного треугольника и называть его элементы
• связывать радиус, высоту и образующую соотношением l² = r² + h²
• строить развёртку конуса и находить угол её сектора
• вычислять боковую и полную поверхность конуса и решать обратные задачи

Прогноз до вычислений

У конуса радиус основания $6$, высота $8$. Чего больше — площадь боковой поверхности или площадь основания?

И второй вопрос, посложнее: бывает ли конус, у которого боковая поверхность меньше основания?

Управляемый эксперимент

Вращаем прямоугольный треугольник вокруг катета. Второй катет заметает круг основания, а гипотенуза — боковую поверхность.

Лаборатория тел вращения

Плоская фигура вращается — получается тело

Крути образующую, меняй размеры и смотри, как из прямоугольника, треугольника и полукруга получаются цилиндр, конус и шар. Контуры вычисляются честной параллельной проекцией.

120°

Вращение фигурыПлощади и объёмРазвёртка

ЦилиндрКонусШар

Радиус основания r3 см

−+

От 1 до 12 см; шаг кнопок 0,5.

Высота h4 см

−+

От 1 до 12 см; шаг кнопок 0,5.

Угол поворота образующей120°Стрелки меняют угол на 5°; полный оборот — 360°.

↻

Повёрнуто на 120° из 360°.Вращаем прямоугольный треугольник вокруг катета. Пока оборот не полный, тела ещё нет — есть только след образующей.

↺ Вернуть пример

Доведи оборот до $360°$, а потом открой вкладку «Развёртка» и меняй радиус и высоту. Следи за углом сектора: он зависит не от размеров по отдельности, а только от их отношения.

Что такое конус

∴ Определение и элементы

Конус — тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Этот катет — ось и высота $h$ конуса.

• Основание — круг радиуса $r$, который заметает второй катет.
• Вершина — точка оси, не лежащая в плоскости основания.
• Образующая $l$ — отрезок от вершины до точки окружности основания; его заметает гипотенуза. Все образующие равны между собой.

Высота, радиус и образующая всегда лежат в одном прямоугольном треугольнике, поэтому

$l^2=r^2+h^2, \qquad l=\sqrt{r^2+h^2}.$

Отсюда сразу следует $l>r$ и $l>h$: образующая — гипотенуза, она длиннее каждого катета.

∴ Сечения конуса

Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием $2r$ и боковыми сторонами $l$. Его высота равна $h$, поэтому площадь равна $\tfrac12\cdot2r\cdot h=rh$.

Осевое сечение равностороннее ровно тогда, когда $l=2r$. Такой конус называют равносторонним; у него угол при вершине осевого сечения равен $60°$.

Сечение плоскостью, параллельной основанию, — круг. Оно отсекает конус, подобный исходному: если плоскость проходит на расстоянии $x$ от вершины, то радиус сечения равен $r\cdot\dfrac{x}{h}$.

Развёртка даёт формулу

Разрежем боковую поверхность по одной образующей и развернём. Все точки поверхности удалены от вершины ровно на $l$, поэтому развёртка — круговой сектор радиуса $l$. А дуга этого сектора получилась из окружности основания, поэтому её длина равна $2\pi r$.

Лаборатория тел вращения

Плоская фигура вращается — получается тело

Крути образующую, меняй размеры и смотри, как из прямоугольника, треугольника и полукруга получаются цилиндр, конус и шар. Контуры вычисляются честной параллельной проекцией.

развёртка

Вращение фигурыПлощади и объёмРазвёртка

ЦилиндрКонусШар

Радиус основания r3 см

−+

От 1 до 12 см; шаг кнопок 0,5.

Высота h4 см

−+

От 1 до 12 см; шаг кнопок 0,5.

◔

Сектор с углом φ = 360°·r/l = 216°.Радиус сектора равен образующей l = 5 см. Дуга сектора равна окружности основания, поэтому φ зависит только от отношения r к l.

↺ Вернуть пример

∴ Угол сектора и боковая поверхность

Длина дуги сектора с углом $\varphi$ в круге радиуса $l$ равна $2\pi l\cdot\dfrac{\varphi}{360°}$. Приравняем её длине окружности основания:

$2\pi l\cdot\frac{\varphi}{360°}=2\pi r \;\Longrightarrow\; \varphi=360°\cdot\frac{r}{l}.$

Площадь сектора — та же доля от площади круга радиуса $l$:

$S_{\text{бок}}=\pi l^2\cdot\frac{\varphi}{360°}=\pi l^2\cdot\frac{r}{l}=\pi rl, \qquad S_{\text{полн}}=\pi rl+\pi r^2=\pi r(r+l).$

Так как $l>r$, всегда $\pi rl>\pi r^2$: боковая поверхность конуса больше основания при любых размерах. Это ответ на второй вопрос прогноза.

Конус 3 и 4Разбираем вместе

Радиус $r=3$ см, высота $h=4$ см.

Образующая: $l=\sqrt{9+16}=5$ см.

Угол развёртки: $\varphi=360°\cdot\dfrac{3}{5}=216°$.

Боковая и полная поверхность:

$S_{\text{бок}}=\pi\cdot3\cdot5=15\pi\approx47{,}12\text{ см}^2, \qquad S_{\text{полн}}=\pi\cdot3\cdot(3+5)=24\pi\approx75{,}40\text{ см}^2.$

Проверка вторым способом: площадь сектора равна $\pi l^2\cdot\dfrac{216}{360}=25\pi\cdot0{,}6=15\pi$. Сходится.

Обратная задача: развёртка — полукругРазбираем вместе

Развёртка боковой поверхности конуса — полукруг радиуса $10$. Найдём конус.

Полукруг означает $\varphi=180°$, а значит $\dfrac{r}{l}=\dfrac{180}{360}=\dfrac12$. Радиус сектора — это образующая, поэтому $l=10$ и $r=5$.

Высота: $h=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\approx8{,}66$.

Поверхность: $S_{\text{бок}}=\pi\cdot5\cdot10=50\pi$, $S_{\text{полн}}=\pi\cdot5\cdot15=75\pi\approx235{,}62$.

Заметь: у такого конуса $l=2r$, значит его осевое сечение — равносторонний треугольник. Полукруг в развёртке и равносторонний треугольник в осевом сечении — это одно и то же условие, записанное по-разному.

Возвращаемся к прогнозу

У конуса из прогноза $r=6$, $h=8$, поэтому $l=\sqrt{36+64}=10$. Тогда

$S_{\text{бок}}=\pi\cdot6\cdot10=60\pi, \qquad S_{\text{осн}}=\pi\cdot36=36\pi.$

Боковая поверхность больше — и, как мы выяснили, так будет всегда. Конуса с боковой поверхностью меньше основания не существует: неравенство $\pi rl>\pi r^2$ равносильно $l>r$, а это просто «гипотенуза длиннее катета».

Проверка понимания

У конуса радиус 6 и высота 8. Чему равна площадь боковой поверхности?

• А. 48π
• Б. 60π
• В. 96π

! Четыре ошибки, которые встречаются чаще всего

Подставляют высоту вместо образующей. В формуле $S_{\text{бок}}=\pi rl$ буква $l$ — гипотенуза треугольника $(r,h,l)$. Она всегда больше $h$, поэтому ответ с $h$ всегда занижен.

Считают развёртку полным кругом. Тогда $\varphi=360°$ и $r=l$, а это невозможно: гипотенуза строго длиннее катета. Угол развёртки конуса всегда меньше $360°$.

Берут площадь круга радиуса $l$ вместо площади сектора. Разница ровно в множителе $\dfrac{\varphi}{360°}=\dfrac{r}{l}$.

Забывают, что основание одно. У конуса $S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}$, никакой двойки — в отличие от цилиндра. А у открытого кулька основания нет вовсе.

Лаборатория тел вращения

Плоская фигура вращается — получается тело

Крути образующую, меняй размеры и смотри, как из прямоугольника, треугольника и полукруга получаются цилиндр, конус и шар. Контуры вычисляются честной параллельной проекцией.

см³

Вращение фигурыПлощади и объёмРазвёртка

ЦилиндрКонусШар

Радиус основания r6 см

−+

От 1 до 12 см; шаг кнопок 0,5.

Высота h8 см

−+

От 1 до 12 см; шаг кнопок 0,5.

Множитель k, если V = kπПроверить

?

Найди объём и введи множитель при π.V = ⅓πr²h. Введи число k, если V = kπ.

↺ Вернуть пример

Практика

1. Конус имеет радиус $5$ и высоту $12$. Найди $l$, $S_{\text{бок}}$ и $S_{\text{полн}}$.
2. У конуса радиус $6$ и образующая $10$. Найди высоту и площадь осевого сечения.
3. Развёртка боковой поверхности конуса — сектор с углом $120°$ и радиусом $9$. Найди $r$ и $S_{\text{бок}}$.
4. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной $10$. Найди высоту конуса и $S_{\text{полн}}$.
5. Боковая поверхность конуса равна $40\pi$, радиус основания равен $5$. Найди образующую и высоту.
6. Найди угол развёртки конуса с радиусом $4$ и высотой $3$.
7. Конус имеет радиус $9$ и высоту $12$. Плоскость параллельна основанию и удалена от вершины на $4$. Найди радиус сечения.
8. Все линейные размеры конуса увеличили в $2$ раза. Во сколько раз изменилась полная поверхность?
9. Из круга радиуса $6$ вырезали сектор с углом $240°$ и свернули из него конус. Найди радиус основания и высоту конуса.
10. Сравни боковые поверхности двух конусов: у первого $r=3$, $h=4$; у второго $r=4$, $h=3$.

Ответы и пояснения

1. $l=\sqrt{25+144}=13$; $S_{\text{бок}}=\pi\cdot5\cdot13=65\pi\approx204{,}20$; $S_{\text{полн}}=\pi\cdot5\cdot18=90\pi\approx282{,}74$.
2. $h=\sqrt{100-36}=8$; осевое сечение — треугольник с основанием $12$ и высотой $8$, его площадь $rh=48$.
3. $r=l\cdot\dfrac{\varphi}{360°}=9\cdot\dfrac13=3$; $S_{\text{бок}}=\pi\cdot3\cdot9=27\pi\approx84{,}82$.
4. Сторона треугольника — образующая, значит $l=10$ и $2r=10$, то есть $r=5$; $h=\sqrt{100-25}=5\sqrt{3}\approx8{,}66$; $S_{\text{полн}}=\pi\cdot5\cdot15=75\pi\approx235{,}62$.
5. $\pi\cdot5\cdot l=40\pi$, значит $l=8$; $h=\sqrt{64-25}=\sqrt{39}\approx6{,}24$.
6. $l=\sqrt{16+9}=5$; $\varphi=360°\cdot\dfrac45=288°$.
7. Сечение отсекает подобный конус с коэффициентом $\dfrac{4}{12}=\dfrac13$, поэтому радиус равен $9\cdot\dfrac13=3$.
8. В $4$ раза.
9. $r=6\cdot\dfrac{240}{360}=4$; $l=6$; $h=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt5\approx4{,}47$.
10. У обоих $l=5$. Первый: $S_{\text{бок}}=15\pi$; второй: $S_{\text{бок}}=20\pi$. У второго боковая поверхность больше, хотя набор чисел тот же — в формулу входит именно радиус.

Итог

• Конус — след вращения прямоугольного треугольника вокруг катета; образующая приходит из гипотенузы, поэтому $l=\sqrt{r^2+h^2}$.
• Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием $2r$ и площадью $rh$; равносторонним оно бывает ровно при $l=2r$.
• Развёртка боковой поверхности — сектор радиуса $l$ с углом $\varphi=360°\cdot\dfrac{r}{l}$.
• $S_{\text{бок}}=\pi rl$, $S_{\text{полн}}=\pi r(r+l)$; боковая поверхность всегда больше основания.

Мы разобрали два тела, у которых есть развёртка. Следующее тело — шар — развёртки не имеет вовсе, зато его сечения устроены на удивление просто.

← Цилиндр · Дальше: шар и сфера →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным