1.4 Стандартный вид числа

7 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: степень с натуральным показателем, свойства степеней, десятичные дроби

Среднее расстояние от Земли до Солнца — $149\,600\,000$ км. Радиус Земли — $6\,380\,000$ м. Население планеты — примерно $8\,100\,000\,000$ человек.

Попробуй быстро сказать, во сколько раз одно больше другого. Мешают не сами числа, а нули: их приходится пересчитывать пальцем. Стандартный вид убирает эту проблему.

◎ После урока ты сможешь

• записывать большое число в виде a · 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10
• называть порядок числа и сравнивать числа по порядку
• переходить от стандартной записи к обычной и обратно
• умножать и делить числа, записанные в стандартном виде

Прогноз до вычислений

Число $149\,600\,000$ хотят записать как «что-то, умноженное на степень десятки». Какой, по-твоему, будет степень: $10^{7}$, $10^{8}$ или $10^{9}$? А каким будет первый множитель?

Проверь догадку в лаборатории: сначала введи ответ, потом нажми «Проверить».

Лаборатория степеней

Степень: запись, свойства и порядок числа

Разверни степень в произведение, проверь свойства на конкретном числе и посмотри, где число стоит на шкале порядков.

aⁿ

Что такое степеньСвойства степенейСтандартный вид

Число

Например 149600000, 5720 или 0,00042.

Моя мантисса a, где 1 ≤ a < 10

Мой показатель 0

−+

Показатель степени десятки.

Проверить

149600000=?

Порядок числа

Порядок равен 8

Мантисса лежит между 1 и 10, а показатель показывает, сколько раз число содержит десятку как множитель.

=

Запиши число в стандартном виде и нажми «Проверить».Стандартный вид сравнивает числа по порядку: сначала смотрим на показатель, и только потом на мантиссу.

↺ Вернуть пример

Линейка порядков сжата: каждое следующее деление больше предыдущего в $10$ раз. Именно поэтому на одной картинке помещаются и тысяча, и триллион.

Определение

∴ Стандартный вид числа

Стандартный вид числа — это запись

$a\cdot10^{n},\qquad 1\le a<10,$

где $a$ называют мантиссой, а показатель $n$ — порядком числа.

Условие $1\le a<10$ обязательно: именно оно делает запись единственной. Числа $52\cdot10^{3}$ и $0{,}52\cdot10^{5}$ равны $52\,000$, но стандартным видом является только $5{,}2\cdot10^{4}$.

Как найти запись практически: поставь запятую после первой значащей цифры и посчитай, на сколько знаков она переехала. Столько и будет показателем.

$149\,600\,000=1{,}496\cdot10^{8}.$

Запятая переехала на $8$ знаков влево, значит число нужно вернуть обратно умножением на $10^{8}$.

◆ Порядок сравнивает быстрее мантиссы

Чтобы сравнить два числа в стандартном виде, сначала смотрят на порядок: у кого он больше, то число и больше. Мантиссы сравнивают только при равных порядках.

Так $8{,}1\cdot10^{7}<3{,}4\cdot10^{9}$, хотя $8{,}1>3{,}4$.

Действия в стандартном виде

Свойства степеней делают умножение почти устным: мантиссы перемножаем, показатели складываем.

$(a\cdot10^{m})\cdot(b\cdot10^{n})=(a\cdot b)\cdot10^{m+n}.$

Единственная тонкость: произведение мантисс может оказаться не меньше $10$ — тогда запись надо привести к стандартному виду ещё раз.

Три произведения и одна нормализацияРазбираем вместе

$(3\cdot10^{5})\cdot(2\cdot10^{4})=6\cdot10^{9}.$

$(8\cdot10^{8}):(2\cdot10^{3})=4\cdot10^{5}.$

А теперь случай с нормализацией:

$(4\cdot10^{3})\cdot(5\cdot10^{6})=20\cdot10^{9}.$

Мантисса $20$ не удовлетворяет условию $1\le a<10$. Запишем $20=2\cdot10$ и воспользуемся свойством степеней:

$20\cdot10^{9}=2\cdot10\cdot10^{9}=2\cdot10^{10}.$

Ответ в стандартном виде: $2\cdot10^{10}$.

! Мантисса вышла из коридора

Записи $52\cdot10^{3}$ и $0{,}52\cdot10^{5}$ арифметически верны, но стандартным видом не являются: в первой мантисса больше $10$, во второй — меньше $1$.

Проверяй себя одним вопросом: у мантиссы ровно одна цифра до запятой, и эта цифра не ноль?

А что с очень маленькими числами

Диаметр человеческого волоса — примерно $0{,}00007$ м. Чтобы записать его в том же виде, нужен показатель $-5$: $7\cdot10^{-5}$. Отрицательный показатель — это уже степень с целым показателем: там разбирается, почему $a^{0}=1$ и $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$. В этом году мы записываем в стандартном виде большие числа, где показатель натуральный или равен нулю.

Само число, конечно, никуда не девается: просто пока для него удобнее запись $\dfrac{7}{100\,000}$.

Проверка понимания

Какая из записей является стандартным видом числа 52 000?

• А. 52 · 10³
• Б. 5,2 · 10⁴
• В. 0,52 · 10⁵

Практика

1. Запиши в стандартном виде: $4500$, $92\,000$, $7\,000\,000$.
2. Запиши обычной записью: $3{,}2\cdot10^{5}$, $6\cdot10^{3}$, $1{,}08\cdot10^{6}$.
3. Какое число больше: $8{,}1\cdot10^{7}$ или $3{,}4\cdot10^{9}$?
4. Вырази $2{,}5\cdot10^{4}$ км в метрах и запиши ответ в стандартном виде.
5. Вычисли $(2\cdot10^{6})\cdot(4\cdot10^{3})$.
6. Вычисли $(5\cdot10^{4})\cdot(6\cdot10^{5})$ и приведи ответ к стандартному виду.
7. Вычисли $(8\cdot10^{8}):(2\cdot10^{3})$.
8. Свет проходит примерно $3\cdot10^{5}$ км за секунду. Какой путь он пройдёт за минуту?
9. Диаметр волоса равен $0{,}00007$ м. Почему это число нельзя записать в стандартном виде с натуральным показателем?
10. Население Земли примерно $8{,}1\cdot10^{9}$ человек. Запиши это число обычной записью и назови его порядок.

Ответы и пояснения

1. $4500=4{,}5\cdot10^{3}$; $92\,000=9{,}2\cdot10^{4}$; $7\,000\,000=7\cdot10^{6}$.
2. $3{,}2\cdot10^{5}=320\,000$; $6\cdot10^{3}=6000$; $1{,}08\cdot10^{6}=1\,080\,000$.
3. Больше $3{,}4\cdot10^{9}$: порядок $9$ больше порядка $7$, а мантиссы при разных порядках не решают.
4. $2{,}5\cdot10^{4}$ км $=25\,000$ км $=25\,000\,000$ м $=2{,}5\cdot10^{7}$ м.
5. $(2\cdot4)\cdot10^{6+3}=8\cdot10^{9}$.
6. $(5\cdot6)\cdot10^{4+5}=30\cdot10^{9}=3\cdot10^{10}$.
7. $(8:2)\cdot10^{8-3}=4\cdot10^{5}$.
8. $3\cdot10^{5}\cdot60=3\cdot10^{5}\cdot6\cdot10=18\cdot10^{6}=1{,}8\cdot10^{7}$ км.
9. Число меньше единицы, поэтому его мантиссу пришлось бы умножать на $10^{-5}$: $7\cdot10^{-5}$. Отрицательные показатели изучают в 8 классе.
10. $8\,100\,000\,000$; порядок равен $9$.

Итог

• Стандартный вид — это $a\cdot10^{n}$ при $1\le a<10$; такая запись у числа единственная.
• Показатель $n$ называют порядком; он показывает «размер» числа и решает сравнение.
• При умножении мантиссы перемножают, а показатели складывают; если мантисса вышла за коридор, запись нормализуют.
• Для чисел меньше единицы понадобится отрицательный показатель — это следующий шаг, уже в 8 классе.

Дальше — практикум: соберём точные вычисления, степени и порядок числа в одну работу и научимся проверять каждый ответ вторым способом.

← Свойства степеней · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным