5.1 Координаты в пространстве

11 класс · Геометрия◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: координаты на плоскости, теорема Пифагора, прямоугольный параллелепипед

Дрон висит в цехе. Диспетчер спрашивает: «Где он?» Ответ «в семи метрах от левой стены» бесполезен — стен четыре, и есть ещё пол с потолком. Чтобы задать положение однозначно, нужны три числа.

Ровно так же устроен любой станок с ЧПУ, любая 3D-модель и любой навигатор. И как только три числа записаны, все расстояния считаются формулой — без рулетки.

◎ После урока ты сможешь

• задавать положение точки пространства тремя координатами
• находить расстояние между точками и середину отрезка по координатам
• находить расстояния от точки до координатных плоскостей и осей
• удачно расставлять координаты в кубе и прямоугольном параллелепипеде

Прогноз до вычислений

Возьми куб с ребром $1$. Диагональ его грани равна $\sqrt2\approx1{,}41$. А диагональ самого куба — та, что идёт из угла в противоположный угол?

Многие отвечают «примерно $2$» или «в два раза больше стороны». Запиши свою догадку и держи её под рукой: через несколько минут мы получим точное число.

Три оси вместо двух

∴ Прямоугольная система координат в пространстве

Это три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ с общим началом $O$ и общей единицей длины. Каждой точке $M$ отвечает единственная тройка чисел $(x;y;z)$ — её координаты: это координаты проекций точки на оси.

Оси попарно задают три координатные плоскости: $Oxy$, $Oyz$, $Oxz$. Они разбивают пространство на восемь частей — октантов.

Плоские координаты — частный случай пространственных: точка $(x;y)$ плоскости $Oxy$ — это точка $(x;y;0)$ пространства. Всё, что ты знал про координатный метод, остаётся в силе, просто у каждой формулы вырастает третье слагаемое.

Расстояния до плоскостей и осей читаются прямо из координат:

• до плоскости $Oxy$ — это $|z|$, до $Oxz$ — это $|y|$, до $Oyz$ — это $|x|$;
• до оси $Oz$ — это $\sqrt{x^2+y^2}$, до оси $Ox$ — это $\sqrt{y^2+z^2}$, до оси $Oy$ — это $\sqrt{x^2+z^2}$.

Логика простая: расстояние до плоскости «съедает» две координаты, лежащие в этой плоскости, а расстояние до оси — одну, идущую вдоль оси.

Управляемый эксперимент

Лаборатория ставит начало координат в вершину $A$ и направляет оси по рёбрам $AB$, $AD$ и $AA_1$. Выбирай точки, меняй рёбра и следи, как меняются координаты и длина отрезка. Поворачивай тело: числа не меняются, меняется только картинка.

Лаборатория векторов в пространстве

Вектор по двум точкам тела

Начало координат стоит в вершине A, оси направлены по рёбрам AB, AD и AA₁. Выбирай точки — координаты и длина пересчитываются по формулам, а не измеряются по рисунку.

|a| = √(x² + y² + z²)

Ребро AB 2 см

Ребро AD 3 см

Ребро AA₁ 6 см

Начало векторавершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Конец векторавершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Поворот −35°

Подъём 28°

Проекция параллельная и честная: экранные координаты получены скалярным умножением точки на два вектора картинной плоскости. Поэтому на рисунке углы и длины искажены — доверять нужно вычислениям в координатах.

→

AC₁ = (2; 3; 6), длина 7 см.Координаты вектора — это разности координат конца и начала. Длина: √(2² + 3² + 6²) = 7 см.

↺ Вернуть пример

Поставь рёбра $2$, $3$ и $6$ и посмотри на диагональ $AC_1$. Получилось ровно $7$ — редкий случай, когда корень извлекается нацело.

Расстояние и середина

∴ Две формулы, которые закрывают половину главы

Для точек $A(x_1;y_1;z_1)$ и $B(x_2;y_2;z_2)$:

$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$

Середина $M$ отрезка $AB$ имеет координаты — полусуммы координат концов:

$M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\ \frac{y_1+y_2}{2};\ \frac{z_1+z_2}{2}\right).$

Формула расстояния — это дважды применённая теорема Пифагора: сначала в горизонтальной плоскости, потом в вертикальном прямоугольном треугольнике. Отсюда же берётся и длина диагонали прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$, $c$:

$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$

Теперь про прогноз. Для куба с ребром $1$ получаем $d=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3\approx1{,}73$ — меньше двух и заметно меньше удвоенной стороны.

Расстояние и середина по координатамРазбираем вместе

Даны $A(-1;2;4)$ и $B(3;-2;6)$.

Разности координат: $3-(-1)=4$, затем $-2-2=-4$, затем $6-4=2$. Тогда

$AB=\sqrt{4^2+(-4)^2+2^2}=\sqrt{16+16+4}=\sqrt{36}=6.$

Середина: $\dfrac{-1+3}{2}=1$, затем $\dfrac{2+(-2)}{2}=0$, затем $\dfrac{4+6}{2}=5$. Значит $M(1;0;5)$.

Проверка: $AM=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{9}=3$ — ровно половина от $AB$. Сходится.

Куда ставить начало координат

Координатный метод работает всегда, но объём вычислений сильно зависит от расстановки. Правило одно: начало — в вершину, где сходятся три взаимно перпендикулярных ребра, оси — по этим рёбрам. Тогда у большинства точек будут нули.

Куб с ребром 6: координаты всех восьми вершинРазбираем вместе

Ставим $A(0;0;0)$, ось $Ox$ — вдоль $AB$, ось $Oy$ — вдоль $AD$, ось $Oz$ — вдоль $AA_1$.

Нижняя грань: $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C(6;6;0)$, $D(0;6;0)$.

Верхняя грань — те же точки с $z=6$: $A_1(0;0;6)$, $B_1(6;0;6)$, $C_1(6;6;6)$, $D_1(0;6;6)$.

Диагональ грани: $AC=\sqrt{36+36}=6\sqrt2\approx8{,}49$.

Диагональ куба: $AC_1=\sqrt{36+36+36}=6\sqrt3\approx10{,}39$.

Середина ребра $B_1C_1$ — это точка $M(6;3;6)$, потому что $B_1(6;0;6)$ и $C_1(6;6;6)$. Тогда $AM=\sqrt{36+9+36}=\sqrt{81}=9$.

! Три ловушки первого урока

Расстояние до плоскости путают с расстоянием до оси. До плоскости $Oxy$ от точки $M(3;-4;12)$ ровно $12$, а до оси $Oz$ — уже $\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$. Это разные вопросы и разные ответы.

Теряют третье слагаемое. Записав $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$, ты нашёл длину не отрезка, а его проекции на плоскость $Oxy$.

Начало координат ставят «в центр фигуры для красоты». Симметричная расстановка иногда удобна, но чаще даёт дроби и минусы там, где вершина дала бы нули.

Проверка понимания

Дана точка M(3;−4;12). Чему равны расстояния от неё до плоскости Oxy и до оси Oz?

• А. 3 и 12
• Б. 12 и 13
• В. 12 и 5

Практика

1. Точка $M(3;-4;12)$. Найди расстояния от неё до плоскостей $Oxy$, $Oxz$, $Oyz$ и до начала координат.
2. Для той же точки найди расстояние до оси $Oz$.
3. Даны $A(2;-1;3)$ и $B(6;3;-1)$. Найди $AB$ и координаты середины отрезка.
4. Найди диагональ прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $3$, $4$ и $12$.
5. Куб имеет ребро $4$. Выпиши координаты всех вершин при стандартной расстановке и найди $AC_1$.
6. В кубе с ребром $6$ найди длину отрезка $AM$, где $M$ — середина ребра $B_1C_1$.
7. Найди точку оси $Ox$, равноудалённую от $A(1;2;3)$ и $B(5;-2;1)$.
8. Найди точку оси $Oz$, равноудалённую от $A(2;1;0)$ и $B(0;3;4)$.
9. Точка $M(2;-3;5)$. Найди точки, симметричные ей относительно плоскости $Oxy$, оси $Oz$ и начала координат.
10. В параллелепипеде $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $D(0;3;0)$, $A_1(0;0;12)$. Найди координаты $C_1$ и длину $AC_1$.
11. Найди периметр треугольника с вершинами $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;2)$.
12. Докажи, что треугольник $A(1;2;3)$, $B(3;2;1)$, $C(1;4;1)$ равносторонний.

Ответы и пояснения

1. До $Oxy$ — $|z|=12$; до $Oxz$ — $|y|=4$; до $Oyz$ — $|x|=3$; до начала — $\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$.
2. $\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$.
3. $AB=\sqrt{4^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{48}=4\sqrt3\approx6{,}93$; середина $(4;1;1)$.
4. $\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$.
5. $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(4;4;0)$, $D(0;4;0)$ и те же четыре точки с $z=4$; $AC_1=\sqrt{48}=4\sqrt3\approx6{,}93$.
6. $B_1(6;0;6)$ и $C_1(6;6;6)$ дают $M(6;3;6)$, поэтому $AM=\sqrt{36+9+36}=\sqrt{81}=9$.
7. Точка $M(x;0;0)$: из $(x-1)^2+4+9=(x-5)^2+4+1$ получаем $-2x+14=-10x+30$, значит $x=2$ и $M(2;0;0)$. Проверка: оба квадрата расстояний равны $14$.
8. Точка $N(0;0;z)$: из $4+1+z^2=9+(z-4)^2$ получаем $5=25-8z$, значит $z=2{,}5$ и $N(0;0;2{,}5)$.
9. Относительно $Oxy$ — $(2;-3;-5)$; относительно оси $Oz$ — $(-2;3;5)$; относительно начала — $(-2;3;-5)$.
10. $C_1(4;3;12)$; $AC_1=\sqrt{16+9+144}=\sqrt{169}=13$.
11. $AB=\sqrt{1+4}=\sqrt5$, $AC=\sqrt{1+4}=\sqrt5$, $BC=\sqrt{4+4}=2\sqrt2$; периметр $2\sqrt5+2\sqrt2\approx7{,}30$.
12. $AB=\sqrt{4+0+4}=2\sqrt2$, $BC=\sqrt{4+4+0}=2\sqrt2$, $AC=\sqrt{0+4+4}=2\sqrt2$. Все стороны равны $2\sqrt2\approx2{,}83$.

Итог

• Положение точки в пространстве задают три числа: $M(x;y;z)$.
• Расстояние между точками — корень из суммы квадратов трёх разностей; середина отрезка — полусуммы координат.
• Расстояние до координатной плоскости равно модулю «лишней» координаты, до оси — корню из суммы квадратов двух остальных.
• Удачная расстановка координат экономит половину работы: начало — в вершину с тремя перпендикулярными рёбрами.

Пока мы описывали координатами только точки. В следующем уроке те же тройки чисел начнут описывать направленные отрезки — и с ними можно будет складывать, вычитать и раскладывать по базису.

← Вход в тему · Дальше: векторы и действия →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным