3.4 Текстовые задачи с квадратной моделью

8 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: дискриминант, теорема Виета, составление уравнения по условию

Периметр прямоугольного газона равен $26$ м, а его площадь — $40\ \text{м}^2$. Какие у него стороны?

В 7 классе такие задачи сводились к линейному уравнению: одно неизвестное, одно действие, один ответ. Здесь так не выйдет: площадь — это произведение двух сторон, и неизвестное попадает в уравнение дважды.

◎ После урока ты сможешь

• переводить условие задачи в квадратное уравнение
• выбирать удобную переменную и выражать остальные величины через неё
• отбирать корни по смыслу задачи, а не по знаку автоматически
• отвечать на вопрос задачи, а не на вопрос уравнения

Прогноз до вычислений

1. Может ли у задачи про газон получиться два разных ответа?
2. Всегда ли отрицательный корень нужно отбрасывать?

Эксперимент: модель задачи на экране

Полупериметр прямоугольника равен $7$ м, площадь — $12\ \text{м}^2$. Если одна сторона равна $x$, то другая равна $7-x$, и площадь даёт уравнение $x(7-x)=12$, то есть $x^2-7x+12=0$.

Эти коэффициенты уже стоят в лаборатории. Посмотри на два корня — и подумай, сколько прямоугольников они описывают.

Лаборатория дискриминанта

Один знак решает, сколько корней

Меняй коэффициенты и следи за двумя вещами сразу: за знаком D и за тем, как парабола стоит относительно оси x.

D = b² − 4ac

Коэффициент a 1

−+

Целое от −4 до 4, кроме нуля

Коэффициент b −7

−+

Целое от −12 до 12

Свободный член c 12

−+

Целое от −24 до 24

x² − 7x + 12 = 0→D = 1

1. 1

   полное квадратное уравнениеa = 1, b = −7, c = 12

2. 2

   Полный квадрат: (x − 3,5)² − 0,25Вершина параболы: (3,5; −0,25)

3. 3

   D > 0 → два различных корняD — точный квадрат, корни рациональные

••

D = (−7)² − 4·1·12 = 1 — два различных корня.Корни: 3; 4. Проверка: значение в корне равно 0.

↺ Вернуть пример

Теперь оставь $b=-7$ и увеличивай $c$: это значит «тот же периметр, но большая площадь». При $c=12$ корни $3$ и $4$ — они сближаются, при $c=13$ дискриминант становится отрицательным и корней не остаётся. Прямоугольника с полупериметром $7$ м и площадью $13\ \text{м}^2$ просто не существует: предел здесь $12{,}25\ \text{м}^2$ у квадрата со стороной $3{,}5$ м. Уравнение сообщает об этом честно — знаком дискриминанта.

Порядок работы

∴ Шесть шагов от текста к ответу

1. Назови неизвестное. Обозначь буквой ту величину, через которую проще выразить остальные (не обязательно ту, о которой спрашивают).
2. Вырази остальные величины через эту букву.
3. Составь уравнение по тому условию, которое ещё не использовано.
4. Реши уравнение удобным способом: подбор, разложение или дискриминант.
5. Отбери корни по смыслу. Длина, время и количество не бывают отрицательными; число деталей — целое.
6. Ответь на вопрос задачи. Иногда спрашивают не $x$, а площадь, периметр или вторую сторону.

Шаг $5$ — новый по сравнению с 7 классом. Линейное уравнение давало один корень, и проверять было почти нечего. Квадратное даёт два — и решение задачи не закончено, пока каждый из них не проверен на осмысленность.

Разобранные примеры

Два корня — один ответРазбираем вместе

Периметр газона $26$ м, площадь $40\ \text{м}^2$. Найдём стороны.

Полупериметр равен $13$ м. Пусть одна сторона равна $x$ м, тогда другая равна $13-x$ м. Площадь:

$x(13-x)=40,\qquad 13x-x^2=40,\qquad x^2-13x+40=0.$

По теореме Виета ищем пару с суммой $13$ и произведением $40$: это $8$ и $5$.

Оба корня положительны и меньше $13$ — оба проходят по смыслу. Но описывают они один и тот же газон: при $x=8$ вторая сторона равна $5$, при $x=5$ — равна $8$.

Ответ: стороны $8$ м и $5$ м. Проверка: $P=2(8+5)=26$ м, $S=8\cdot5=40\ \text{м}^2$.

Один корень приходится отброситьРазбираем вместе

Длина прямоугольника на $5$ см больше ширины, площадь равна $84\ \text{см}^2$. Найдём стороны.

Пусть ширина равна $x$ см, тогда длина равна $x+5$ см:

$x(x+5)=84,\qquad x^2+5x-84=0.$

$D=25+336=361,\qquad \sqrt{361}=19,\qquad x=\frac{-5\pm19}{2}.$

Корни: $x_1=7$ и $x_2=-12$. Ширина не может быть отрицательной, поэтому $x=7$.

Ответ: ширина $7$ см, длина $12$ см. Проверка: $7\cdot12=84\ \text{см}^2$, и длина действительно на $5$ см больше.

Оба корня — разные ответыРазбираем вместе

Мяч брошен вверх, его высота задана формулой $h=20t-5t^2$ (метры и секунды). Когда мяч будет на высоте $15$ м?

$20t-5t^2=15,\qquad 5t^2-20t+15=0,\qquad t^2-4t+3=0.$

$D=16-12=4,\qquad t=\frac{4\pm2}{2},\qquad t_1=1,\quad t_2=3.$

Оба корня положительны, оба осмысленны — и это два разных момента: на высоте $15$ м мяч оказывается дважды, на подъёме и на спуске.

Проверка: $20\cdot1-5\cdot1=15$ и $20\cdot3-5\cdot9=60-45=15$. Ответ: через $1$ с и через $3$ с.

Проверка понимания

Ширина прямоугольника равна x см, длина на 5 см больше, площадь равна 84 см². Какое уравнение описывает задачу?

• А. x(x + 5) = 84
• Б. x + (x + 5) = 84
• В. 2x + 2(x + 5) = 84

! Три способа испортить верное решение

Отбросить корень «на всякий случай». Отрицательный корень мешает, если $x$ — длина или время. Но если спрашивают «найди число», отрицательный ответ может быть совершенно законным: у задачи «число на $12$ меньше своего квадрата» два ответа — $4$ и $-3$.

Проверить корень только в уравнении. Уравнение — это уже модель, и ошибка могла попасть в него при переводе с русского языка. Проверяй ответ по условию: подставь стороны и посчитай площадь и периметр заново.

Ответить не на тот вопрос. Нашли ширину $x=7$, а спрашивали периметр. Возьми за правило: последняя строка решения повторяет вопрос задачи своими словами.

Практика

Составь уравнение, реши его и обязательно объясни отбор корней.

1. Периметр прямоугольника равен $34$ см, площадь — $60\ \text{см}^2$. Найди стороны.
2. Длина участка на $3$ м больше ширины, площадь равна $54\ \text{м}^2$. Найди стороны.
3. Произведение двух последовательных натуральных чисел равно $210$. Найди эти числа.
4. Сумма квадратов двух последовательных целых чисел равна $313$. Найди эти числа.
5. Высота мяча задана формулой $h=25t-5t^2$. В какие моменты он будет на высоте $30$ м?
6. Тот же мяч: когда он упадёт на землю?
7. Число на $12$ меньше своего квадрата. Найди все такие числа.
8. Стороны квадратного участка увеличили: одну на $2$ м, другую на $5$ м. Площадь стала $70\ \text{м}^2$. Найди сторону квадрата.
9. Фотографию $12\times16$ см вставили в рамку одинаковой ширины. Площадь рамки равна $165\ \text{см}^2$. Найди ширину рамки.
10. Сумма числа и его квадрата равна $42$. Найди все такие числа.
11. Существует ли прямоугольник с периметром $20$ см и площадью $30\ \text{см}^2$?
12. Среди прямоугольников с периметром $20$ см найди наибольшую возможную площадь.

Ответы и пояснения

1. Полупериметр $17$: $x(17-x)=60$, то есть $x^2-17x+60=0$. $D=289-240=49$, корни $\dfrac{17\pm7}{2}$ — это $12$ и $5$. Оба подходят и задают один прямоугольник $12\times5$ см. Проверка: $P=2\cdot17=34$ см, $S=60\ \text{см}^2$.
2. $x(x+3)=54$, то есть $x^2+3x-54=0$. $D=9+216=225$, корни $\dfrac{-3\pm15}{2}$ — это $6$ и $-9$. Ширина положительна: $6$ м и $9$ м. Проверка: $6\cdot9=54$.
3. $n(n+1)=210$, то есть $n^2+n-210=0$. $D=1+840=841=29^2$, корни $14$ и $-15$. Натуральное только $14$, числа $14$ и $15$. Проверка: $14\cdot15=210$.
4. $n^2+(n+1)^2=313$ даёт $2n^2+2n-312=0$, то есть $n^2+n-156=0$. $D=1+624=625$, корни $12$ и $-13$. Целые числа — оба: пары $(12;13)$ и $(-13;-12)$. Проверка: $144+169=313$ и $169+144=313$.
5. $25t-5t^2=30$ даёт $t^2-5t+6=0$, корни $2$ и $3$. Оба момента реальны: подъём и спуск. Проверка: $50-20=30$ и $75-45=30$.
6. $25t-5t^2=0$, то есть $5t(5-t)=0$, корни $0$ и $5$. Момент $t=0$ — это бросок, падение через $5$ с.
7. $x=x^2-12$, то есть $x^2-x-12=0$. $D=1+48=49$, корни $4$ и $-3$. Здесь подходят оба: $4^2-12=4$ и $(-3)^2-12=-3$.
8. $(x+2)(x+5)=70$ даёт $x^2+7x-60=0$. $D=49+240=289=17^2$, корни $5$ и $-12$. Сторона положительна: $5$ м. Проверка: $7\cdot10=70\ \text{м}^2$.
9. Внешние размеры $(12+2x)$ и $(16+2x)$: $(12+2x)(16+2x)-192=165$, то есть $4x^2+56x-165=0$. $D=3136+2640=5776=76^2$, корни $\dfrac{-56\pm76}{8}$ — это $2{,}5$ и $-16{,}5$. Ширина рамки $2{,}5$ см. Проверка: $17\cdot21=357$, $357-192=165\ \text{см}^2$.
10. $x+x^2=42$, то есть $x^2+x-42=0$. $D=1+168=169$, корни $6$ и $-7$. Подходят оба: $36+6=42$ и $49-7=42$.
11. Полупериметр $10$: $x^2-10x+30=0$. $D=100-120=-20<0$ — таких сторон не существует. Отрицательный дискриминант здесь означает не «ошибка», а «объект невозможен».
12. Пусть площадь равна $S$, тогда $x^2-10x+S=0$. Стороны существуют, пока $D=100-4S\ge0$, то есть $S\le25$. Наибольшая площадь $25\ \text{см}^2$ достигается при $D=0$, когда $x=5$ — это квадрат $5\times5$ см.

Итог

• Квадратная модель появляется там, где неизвестное умножается само на себя: площадь, произведение чисел, движение с ускорением.
• Удобная переменная часто не та, о которой спрашивают: если полупериметр равен $p$, то вторая сторона выражается как $p-x$.
• Два корня могут означать один ответ, два разных ответа или один ответ и один отброшенный — решает смысл задачи, а не знак.
• Отрицательный дискриминант в модели — содержательный ответ: описанного объекта не существует.

Осталось собрать все три способа решения вместе и научиться выбирать между ними за пару секунд.

← Теорема Виета · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным