3.2 Арифметическая прогрессия

9 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: числовые последовательности, линейные уравнения, линейная функция

В первом ряду зала $12$ мест, в каждом следующем — на $2$ больше. Сколько мест в пятнадцатом ряду? А во всём зале из пятнадцати рядов?

Первый вопрос можно решить перечислением: выписать пятнадцать чисел. Второй уже неприятен: складывать пятнадцать слагаемых руками долго, а если рядов будет сто — невозможно. Нужны формулы.

◎ После урока ты сможешь

• распознавать арифметическую прогрессию и находить её разность d
• применять формулу n-го члена aₙ = a₁ + (n − 1)d в обе стороны
• вычислять сумму первых n членов двумя равносильными формулами
• восстанавливать прогрессию по двум её членам и проверять принадлежность числа

Прогноз до вычислений

1. В прогрессии $12,\;14,\;16,\;\dots$ пятнадцатый член — это $12+2\cdot15$ или $12+2\cdot14$?
2. Сумма $1+2+3+\dots+100$ ближе к $3000$, $5000$ или $10\,000$?
3. Может ли разность арифметической прогрессии быть отрицательной? А нулём?

Эксперимент: разность управляет всем

Оставь вкладку «Арифметическая» и меняй первый член и разность. Следи за таблицей, за расположением точек и за строкой суммы под графиком.

Лаборатория последовательностей

Одно правило — вся последовательность

Каждый следующий член получается из предыдущего по формуле aₙ₊₁ = m·aₙ + c. Меняй m и c и смотри, когда получается арифметическая прогрессия, когда геометрическая, а когда ни та ни другая.

aₙ₊₁ = m·aₙ + c

АрифметическаяГеометрическаяСмешанное правило

Первый член a₁ 12

−+

От −50 до 50, шаг 0,5

Разность d (слагаемое c) 2

−+

От −20 до 20, шаг 0,5

Сколько членов показать 8

−+

Целое число от 3 до 10

Правило: a₁ = 12, aₙ₊₁ = 1·aₙ + 2.

Номер и значение члена

n	1	2	3	4	5	6	7	8
aₙ	12	14	16	18	20	22	24	26

Последовательность определена только при натуральных n, поэтому на графике стоят отдельные точки, а не сплошная линия.

aₙ

Это арифметическая прогрессия с разностью d = 2.aₙ = 12 + (n − 1)·2; сумма первых 8 членов равна 152.

↺ Вернуть пример

Что стоит заметить:

• при $d>0$ точки поднимаются, при $d<0$ опускаются, при $d=0$ выстраиваются в горизонтальный ряд одинаковых чисел;
• точки всегда лежат на одной прямой — арифметическая прогрессия это линейная функция, у которой аргумент бывает только натуральным;
• разность $d$ играет роль углового коэффициента: она показывает, на сколько поднимается точка при переходе к следующему номеру.

Определение и формула n-го члена

∴ Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называют последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа $d$:

$a_{n+1}=a_n+d.$

Число $d$ называют разностью прогрессии; находят её как $d=a_{n+1}-a_n$ (из следующего вычитаем предыдущий, а не наоборот).

Разворачивая правило шаг за шагом, получаем:

$a_2=a_1+d,\qquad a_3=a_1+2d,\qquad a_4=a_1+3d,\qquad\dots$

От первого члена до $n$-го делается ровно $n-1$ шагов, поэтому

$\boxed{\,a_n=a_1+(n-1)d\,}$

Именно здесь чаще всего теряют единицу: шагов на один меньше, чем членов.

✦ Характеристическое свойство

В арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседей:

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}.$

Это следует прямо из определения: $a_{n-1}=a_n-d$ и $a_{n+1}=a_n+d$, а их полусумма равна $a_n$. Верно и обратное — если равенство выполняется при всех $n\ge2$, последовательность обязательно арифметическая. Отсюда и название: «арифметическая» — от среднего арифметического.

Сумма первых n членов

Легенда рассказывает, что маленькому Гауссу велели сложить числа от $1$ до $100$. Он сложил их парами с концов:

$(1+100)+(2+99)+(3+98)+\dots$

Каждая пара даёт $101$, а пар получается $50$. Значит, сумма равна $101\cdot50=5050$.

Тот же приём работает для любой арифметической прогрессии: если сложить первый член с последним, второй с предпоследним и так далее, все суммы окажутся одинаковыми и равными $a_1+a_n$.

∴ Две формулы суммы

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\qquad\text{и}\qquad S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$

Первую удобно применять, когда последний член уже известен, вторую — когда известны только $a_1$, $d$ и $n$. Они равносильны: подставь $a_n=a_1+(n-1)d$ в первую и получишь вторую.

Вернёмся к залу: $a_1=12$, $d=2$, значит $a_{15}=12+14\cdot2=40$ мест в пятнадцатом ряду и

$S_{15}=\frac{12+40}{2}\cdot15=26\cdot15=390$

мест во всём зале.

Разобранные примеры

Найти член и сумму по a₁ и dРазбираем вместе

Дано: $a_1=7$, $d=4$. Найдём $a_{20}$ и $S_{20}$.

$a_{20}=7+(20-1)\cdot4=7+76=83.$

$S_{20}=\frac{7+83}{2}\cdot20=45\cdot20=900.$

Проверка второй формулой: $S_{20}=\dfrac{2\cdot7+19\cdot4}{2}\cdot20=\dfrac{14+76}{2}\cdot20=45\cdot20=900$. Совпало.

Восстановить прогрессию по двум членамРазбираем вместе

Известно, что $a_3=10$ и $a_7=26$. Найдём $a_1$ и $d$.

От третьего члена до седьмого делается $7-3=4$ шага, и за них величина выросла на $26-10=16$. Значит,

$d=\frac{26-10}{7-3}=\frac{16}{4}=4.$

Теперь отступаем от $a_3$ на два шага назад: $a_1=10-2\cdot4=2$.

Проверка: $a_7=2+6\cdot4=26$. Верно.

Принадлежит ли число прогрессииРазбираем вместе

Прогрессия $5,\;12,\;19,\;\dots$ имеет $a_1=5$ и $d=7$, поэтому $a_n=5+7(n-1)=7n-2$.

Проверим число $96$: из $7n-2=96$ получаем $7n=98$ и $n=14$. Номер натуральный — значит $96=a_{14}$.

Проверим число $2024$: из $7n-2=2024$ получаем $7n=2026$. Но $2026$ на $7$ не делится ($7\cdot289=2023$, остаток $3$), поэтому натурального номера нет: $2024$ членом прогрессии не является.

Сколько членов сложить до нужной суммыРазбираем вместе

Прогрессия $6,\;10,\;14,\;\dots$: здесь $a_1=6$, $d=4$. Сколько первых членов дают в сумме $240$?

$S_n=\frac{2\cdot6+4(n-1)}{2}\cdot n=\frac{4n+8}{2}\cdot n=2n^2+4n.$

Решаем $2n^2+4n=240$, то есть $n^2+2n-120=0$. По формуле корней $D=4+480=484$, $\sqrt{D}=22$ и $n=\dfrac{-2\pm22}{2}$.

Корни $n=10$ и $n=-12$. Номер отрицательным быть не может, поэтому ответ $n=10$.

Проверка: $S_{10}=2\cdot100+40=240$. Верно.

Проверка понимания

В прогрессии a₁ = 12, d = 2. Чему равен a₁₅?

• А. 42, потому что 12 + 2·15 = 42
• Б. 40, потому что 12 + 2·14 = 40
• В. 30, потому что 12 + 2·9 = 30

Проверь себя без таблицы

Первые три члена видны, остальные скрыты. Найди последний член сам и только потом нажимай «Проверить».

Лаборатория последовательностей

Угадай следующий член по правилу

Каждый следующий член получается из предыдущего по формуле aₙ₊₁ = m·aₙ + c. Меняй m и c и смотри, когда получается арифметическая прогрессия, когда геометрическая, а когда ни та ни другая.

aₙ₊₁ = m·aₙ + c

АрифметическаяГеометрическаяСмешанное правило

Первый член a₁ 7

−+

От −50 до 50, шаг 0,5

Разность d (слагаемое c) −3

−+

От −20 до 20, шаг 0,5

Сколько членов показать 9

−+

Целое число от 3 до 10

Правило: a₁ = 7, aₙ₊₁ = 1·aₙ − 3.

Номер и значение члена

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
aₙ	7	4	1	?	?	?	?	?	?

Последовательность определена только при натуральных n, поэтому на графике стоят отдельные точки, а не сплошная линия.

Мой ответ: a9

Проверить

?

Предскажи a9 по трём первым членам.Сначала посмотри, что происходит при переходе от члена к члену: прибавляется одно и то же число или умножается на одно и то же число.

↺ Вернуть пример

! Четыре типичные ошибки

1. $(n-1)$ превращается в $n$. Запись $a_n=a_1+nd$ смещает всю прогрессию на один шаг. Проверяй формулу подстановкой $n=1$: должно получиться ровно $a_1$.
2. Разность считают наоборот. $d=a_{n+1}-a_n$, а не $a_n-a_{n+1}$. В убывающей прогрессии $30,\;26,\;22,\dots$ разность равна $-4$, и минус — часть ответа.
3. В сумме делят не то. В формуле $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ пополам делится сумма крайних членов, а не всё выражение вместе с $n$.
4. Нецелый номер объявляют ответом. Если из уравнения получилось $n=\dfrac{41}{3}$, это не «примерно четырнадцатый член», а строгое доказательство того, что числа в прогрессии нет.

Практика

1. $a_1=4$, $d=6$. Найди $a_{10}$ и $S_{10}$.
2. $a_1=-8$, $d=3$. Найди $a_{15}$.
3. $a_1=30$, $d=-4$. Найди $a_9$ и $S_9$.
4. Найди сумму первых ста натуральных чисел.
5. Найди сумму всех нечётных чисел от $1$ до $99$.
6. Найди сумму всех двузначных чисел, кратных $7$.
7. В прогрессии $a_3=10$ и $a_7=26$. Найди $a_1$ и $d$.
8. Между числами $5$ и $45$ вставь три числа так, чтобы получилась арифметическая прогрессия.
9. Является ли число $96$ членом прогрессии $5,\;12,\;19,\;\dots$? Если да, назови его номер.
10. Сколько первых членов прогрессии $6,\;10,\;14,\;\dots$ надо сложить, чтобы получить $240$?
11. В первом ряду зала $12$ мест, в каждом следующем на $2$ больше. Сколько мест в пятнадцатом ряду и во всём зале из пятнадцати рядов?
12. Сумма первых $n$ членов равна $S_n=n^2+3n$. Найди $a_1$ и $a_5$.

Ответы и пояснения

1. $a_{10}=4+9\cdot6=58$; $S_{10}=\dfrac{4+58}{2}\cdot10=310$.
2. $a_{15}=-8+14\cdot3=-8+42=34$.
3. $a_9=30+8\cdot(-4)=-2$; $S_9=\dfrac{30+(-2)}{2}\cdot9=14\cdot9=126$.
4. $S_{100}=\dfrac{1+100}{2}\cdot100=5050$.
5. Здесь $a_1=1$, $d=2$, $a_n=99$, откуда $2n-1=99$ и $n=50$. Значит $S_{50}=\dfrac{1+99}{2}\cdot50=2500$. Кстати, это $50^2$ — сумма первых $n$ нечётных чисел всегда равна $n^2$.
6. Числа $14,\;21,\;\dots,\;98$: $a_1=14$, $d=7$, $98=14+7(n-1)$ даёт $n=13$. Сумма $S_{13}=\dfrac{14+98}{2}\cdot13=56\cdot13=728$.
7. $d=\dfrac{26-10}{4}=4$, $a_1=10-2\cdot4=2$.
8. $a_1=5$, $a_5=45$, поэтому $d=\dfrac{45-5}{4}=10$. Вставляем $15,\;25,\;35$.
9. Да: $7n-2=96$ даёт $n=14$, то есть $96=a_{14}$.
10. $S_n=2n^2+4n=240$, откуда $n^2+2n-120=0$ и $n=10$ (корень $-12$ отбрасываем). Проверка: $S_{10}=240$.
11. $a_{15}=12+14\cdot2=40$ мест; $S_{15}=\dfrac{12+40}{2}\cdot15=390$ мест.
12. $a_1=S_1=1+3=4$; $a_5=S_5-S_4=(25+15)-(16+12)=40-28=12$. Кстати, в общем виде $a_n=S_n-S_{n-1}=2n+2$, то есть $d=2$.

Сверимся с прогнозом: пятнадцатый член равен $12+2\cdot14=40$; сумма $1+\dots+100$ равна $5050$; разность бывает и отрицательной (тогда прогрессия убывает), и нулевой (тогда все члены одинаковы).

Итог

• Арифметическая прогрессия задаётся правилом $a_{n+1}=a_n+d$; её точки лежат на одной прямой.
• $a_n=a_1+(n-1)d$ — множитель при $d$ равен числу шагов, а шагов на единицу меньше, чем членов.
• $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$ — приём Гаусса складывает члены парами с концов.
• Вопросы «какой номер» и «принадлежит ли число» сводятся к уравнению, а ответ обязан быть натуральным числом.

Теперь заменим одно слово в определении: вместо «прибавляем одно и то же» скажем «умножаем на одно и то же». Прямая линия превратится в стремительную кривую, а зёрна на шахматной доске перестанут помещаться в амбар.

← Числовые последовательности · Дальше: геометрическая прогрессия →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным