2.1 Парабола y = ax² + bx + c

9 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: квадратные уравнения, дискриминант, график y = x², таблица значений

Мяч подбрасывают вертикально вверх со скоростью $20$ м/с. Физика даёт формулу высоты через $t$ секунд:

$h=20t-5t^2.$

Это не прямая: сначала мяч поднимается всё медленнее, останавливается и падает всё быстрее. Одна формула описывает весь полёт — и подъём, и верхнюю точку, и падение.

◎ После урока ты сможешь

• узнавать квадратичную функцию по формуле и отличать её от линейной
• объяснять, за что отвечает каждый из коэффициентов a, b и c
• строить график по таблице значений и находить нули функции
• связывать знак дискриминанта с числом точек пересечения графика с осью x

Прогноз до вычислений

Ответь по здравому смыслу, не считая.

1. Сколько всего секунд мяч будет в воздухе?
2. В какой момент он окажется выше всего — раньше середины полёта, ровно посередине или позже?
3. Высота на первой и на третьей секунде — одинаковая или разная?

Эксперимент: три коэффициента, одна кривая

Меняй $a$, $b$ и $c$ по одному и следи сразу за тремя вещами: куда смотрят ветви, где стоит вершина и сколько раз кривая встречает ось $x$.

Лаборатория квадратичной функции

Три коэффициента задают одну параболу

Меняй a, b и c и следи сразу за тремя вещами: направлением ветвей, положением вершины и числом точек пересечения с осью x.

y = ax² + bx + c

Коэффициент a 1

−+

Целое от −4 до 4, кроме нуля

Коэффициент b −4

−+

Целое от −12 до 12

Свободный член c 3

−+

Целое от −24 до 24

y = x² − 4x + 3→D = 4

Значения в точках, симметричных относительно оси x = 2

x	0	1	2	3	4
y	3	0	−1	0	3

1. 1

   Ветви направлены вверхЗнак старшего коэффициента: a = 1. В вершине достигается наименьшее значение.

2. 2

   Вершина (2; −1), ось симметрии x = 2x₀ = −b/(2a) = −(−4) / (2·1); y₀ = −D/(4a).

3. 3

   два нуля: x = 1 и x = 3D = 4; график пересекает ось y в точке (0; 3).

4. 4

   Убывает на (−∞; 2], возрастает на [2; +∞)Область значений: y ⩾ −1. Выше оси x: x < 1 или x > 3. Ниже оси x: 1 < x < 3.

∪

y = x² − 4x + 3: вершина (2; −1), ось симметрии x = 2.Ветви направлены вверх, поэтому в вершине достигается наименьшее значение. Область значений: y ⩾ −1.

↺ Вернуть пример

Три наблюдения, которые стоит записать до чтения правил:

• знак $a$ управляет направлением ветвей, и только он;
• график всегда пересекает ось $y$ в точке $(0;c)$ — сколько ни меняй $a$ и $b$;
• число точек пересечения с осью $x$ бывает только трёх видов: две, одна или ни одной.

Определение

∴ Квадратичная функция

Функцию вида

$y=ax^2+bx+c,\qquad a\neq 0,$

где $a$, $b$, $c$ — числа, называют квадратичной функцией. Её график называют параболой.

Условие $a\neq0$ обязательно: при $a=0$ остаётся $y=bx+c$ — это линейная функция, и график у неё прямая, а не парабола.

Коэффициенты работают по-разному, и полезно сразу разделить их обязанности.

Коэффициент $a$ отвечает за форму. Если $a>0$, ветви направлены вверх, и у функции есть наименьшее значение. Если $a<0$, ветви направлены вниз, и есть наибольшее значение. Чем больше $|a|$, тем «уже» парабола.

Свободный член $c$ — это значение функции при $x=0$:

$y(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+c=c.$

Поэтому график пересекает ось $y$ в точке $(0;c)$ — читается прямо из формулы, без вычислений.

Коэффициент $b$ в одиночку ничего не говорит: он работает в паре с $a$ и вместе с ним задаёт положение вершины. Этим займёмся в уроке 2.3.

Нули функции и дискриминант

Нулями функции называют те значения $x$, при которых $y=0$. На графике это абсциссы точек пересечения с осью $x$. Чтобы их найти, надо решить уравнение

$ax^2+bx+c=0,$

а это уже знакомая задача из 8 класса.

✦ Знак D — это ответ на вопрос «сколько раз?»

Дискриминант $D=b^2-4ac$ считает точки встречи параболы с осью $x$:

• $D>0$ — два нуля, парабола пересекает ось $x$ в двух точках;
• $D=0$ — один нуль, парабола касается оси $x$ вершиной;
• $D<0$ — нулей нет, парабола целиком лежит по одну сторону от оси $x$.

По какую именно сторону при $D<0$ — решает знак $a$: вверх ветви, значит вся парабола выше оси.

Строим график y = x² − 4x + 3 по точкамРазбираем вместе

Сначала посмотрим на коэффициенты: $a=1>0$ — ветви вверх, $c=3$ — график проходит через $(0;3)$.

Найдём нули: $D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4$, значит

$x=\frac{4\pm2}{2},\qquad x_1=1,\quad x_2=3.$

Теперь таблица. Точки берём так, чтобы нули оказались внутри:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$3$	$0$	$-1$	$0$	$3$

Проверим пару значений: $y(2)=4-8+3=-1$, $y(4)=16-16+3=3$.

Обрати внимание на симметрию: значения при $x=0$ и $x=4$ совпали, при $x=1$ и $x=3$ тоже. Середина между ними — $x=2$, и именно там график опускается ниже всего: точка $(2;-1)$.

Проверка понимания

Куда направлены ветви параболы y = −3x² + 5x − 1?

• А. Вверх
• Б. Вниз
• В. Зависит от свободного члена c

Типичная ошибка

! «a > 0 — значит график выше оси x»

Это разные вещи. Знак $a$ говорит только о направлении ветвей, а не о положении графика относительно оси $x$.

У функции $y=x^2-4$ старший коэффициент положителен, но на промежутке $-2<x<2$ значения отрицательны: например, $y(0)=-4$. Ветви вверх — и всё же кусок графика лежит ниже оси.

Положение относительно оси $x$ определяют два факта вместе: знак $a$ и знак $D$.

Практика

1. Какие из функций квадратичные: $y=3x^2-x$, $y=2x+7$, $y=\dfrac{5}{x^2}$, $y=(x-1)(x+4)$?
2. Для $y=2x^2-8x+6$ назови $a$, $b$, $c$ и направление ветвей.
3. В какой точке график функции $y=-x^2+3x-5$ пересекает ось $y$?
4. Заполни таблицу значений функции $y=x^2-2x-3$ при $x=-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,4$.
5. Найди нули функции $y=x^2-2x-3$.
6. Сколько точек пересечения с осью $x$ у графика $y=x^2-6x+9$?
7. Сколько нулей у функции $y=2x^2-3x+5$?
8. Для полёта мяча $h=20t-5t^2$ найди высоту при $t=1$ и при $t=3$. Что означает совпадение?
9. В какой момент мяч упадёт на землю, то есть когда $h=0$?
10. Парабола проходит через точку $(0;5)$. Чему равен свободный член $c$?

Ответы и пояснения

1. Квадратичные — первая и четвёртая: $(x-1)(x+4)=x^2+3x-4$. Вторая линейная, у третьей переменная в знаменателе.
2. $a=2$, $b=-8$, $c=6$; ветви вверх, так как $a>0$.
3. В точке $(0;-5)$: свободный член равен $-5$.
4. $y(-2)=5$, $y(-1)=0$, $y(0)=-3$, $y(1)=-4$, $y(2)=-3$, $y(3)=0$, $y(4)=5$.
5. $D=4+12=16$, $x=\dfrac{2\pm4}{2}$: нули $-1$ и $3$. В таблице они и видны.
6. $D=36-36=0$ — одна точка: парабола касается оси $x$ при $x=3$.
7. $D=9-40=-31<0$ — нулей нет.
8. $h(1)=20-5=15$ м и $h(3)=60-45=15$ м. Высоты совпали: полёт симметричен относительно момента $t=2$.
9. $20t-5t^2=0$, то есть $5t(4-t)=0$: $t=0$ (момент броска) и $t=4$. Мяч упадёт через $4$ секунды.
10. $c=5$, потому что $y(0)=c$.

Итог

• Квадратичная функция — это $y=ax^2+bx+c$ при $a\neq0$; её график называют параболой.
• Знак $a$ задаёт направление ветвей, модуль $a$ — «ширину», свободный член $c$ — точку $(0;c)$ на оси $y$.
• Нули функции — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$; их число определяет знак дискриминанта.
• График параболы симметричен: равные значения функции встречаются парами.

Эта симметрия — не случайность. В следующем уроке мы получим любую параболу из одной-единственной кривой $y=x^2$, и тогда станет понятно, откуда берётся ось симметрии.

← Вход в тему · Дальше: преобразования графика →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным