1.4 Логарифмическая функция

11 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: логарифм и его свойства, показательная функция, обратная функция, числовые промежутки

Землетрясение магнитудой $7$ не «чуть сильнее» землетрясения магнитудой $6$ — оно сильнее примерно в $32$ раза по энергии. Звук в $80$ дБ не вдвое громче звука в $40$ дБ — он мощнее в $10\,000$ раз. Раствор с $\mathrm{pH}=3$ кислее раствора с $\mathrm{pH}=5$ в $100$ раз.

Все три шкалы устроены одинаково: величина растёт в разы, а на шкале это выглядит как ровные шаги. Такое сжатие и делает логарифмическая функция — и делает его именно потому, что она обратна показательной.

◎ После урока ты сможешь

• называть область определения, множество значений и монотонность функции y = log_a x
• связывать график логарифмической функции с графиком показательной через симметрию
• сравнивать логарифмы и оценивать их между соседними целыми числами
• находить область определения выражений с логарифмом

Прогноз до вычислений

1. Какие числа можно подставлять под знак логарифма?
2. Какие значения может принимать сам логарифм?
3. Что больше: $\log_2 100$ или $10$?
4. Что больше: $\log_{0{,}5}3$ или $\log_{0{,}5}5$?

Эксперимент: одно основание больше единицы, другое меньше

Сначала посмотри на основание $a=2$: логарифмическая кривая возрастает. Затем переключись на $a=0{,}5$ — кривая пойдёт вниз. Обрати внимание, что в обоих случаях она существует только правее оси $y$.

Лаборатория зеркала

Показательная и логарифмическая функции — отражение друг друга

Меняй основание и выбирай точку. Следи за тем, как координаты меняются местами и как обе кривые ложатся симметрично относительно прямой y = x.

y = log_0,5 x

a = 2a = 3a = 0,5

x = −3x = −2x = −1x = 0x = 1x = 2x = 3

y = 0,5ˣ⇄y = log_0,5 x

Наложить отражение показательной кривой

Пары «показатель — значение» и возврат по логарифму

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
0,5ˣ	8	4	2	1	0,5	0,25	0,125
log_0,5 от этого числа	−3	−2	−1	0	1	2	3

Общая точка экспоненты(0; 1)Любое допустимое основание в нулевой степени даёт единицу, поэтому все показательные кривые проходят через эту точку.

Общая точка логарифма(1; 0)Это зеркало предыдущей точки: log_a 1 = 0 при любом допустимом основании.

Проверка возвратаlog_0,5 8 = −3Логарифм возвращает тот самый показатель, который был подставлен в показательную функцию.

⇄

0,5^−3 = 8, значит log_0,5 8 = −3.Точка (−3; 8) на показательной кривой переходит в точку (8; −3) на логарифмической. Отрезок между ними перпендикулярен прямой y = x и делится ею пополам — это и есть отражение.

↺ Вернуть пример

Таблица под графиком показывает главную мысль урока в числах: логарифм возвращает ровно тот показатель, который был подставлен в показательную функцию.

Определение и свойства

∴ Логарифмическая функция

Пусть $a>0$ и $a\neq1$. Функция

$y=\log_a x$

называется логарифмической с основанием $a$. Она обратна показательной функции $y=a^{x}$.

Её свойства:

• область определения — только положительные числа: $D(y)=(0;+\infty)$;
• множество значений — все числа: $E(y)=\mathbb{R}$;
• график проходит через точку $(1;0)$ при любом допустимом $a$;
• при $a>1$ функция возрастает, при $0<a<1$ — убывает;
• ось $y$ — вертикальная асимптота: график подходит к ней сколь угодно близко, но не пересекает;
• график симметричен графику $y=a^{x}$ относительно прямой $y=x$.

Свойства не нужно запоминать отдельно: они получаются из свойств показательной функции обменом ролями. У показательной область определения — все числа, у логарифмической это множество значений. У показательной множество значений — положительные числа, у логарифмической это область определения. Точка $(0;1)$ превращается в точку $(1;0)$.

✦ Знак логарифма

При $a>1$ функция возрастает и меняет знак в точке $x=1$:

$\log_a x>0\ \text{при}\ x>1,\qquad \log_a x<0\ \text{при}\ 0<x<1.$

При $0<a<1$ всё наоборот. Поэтому $\lg 0{,}01=-2$ — это не ошибка и не «отрицательный логарифм отрицательного числа»: аргумент положителен, просто он меньше единицы.

◆ Правило сравнения

При $a>1$ из $x_1<x_2$ следует $\log_a x_1<\log_a x_2$: знак сохраняется.

При $0<a<1$ из $x_1<x_2$ следует $\log_a x_1>\log_a x_2$: знак переворачивается.

И в обе стороны: $\log_a x_1=\log_a x_2\ \Longleftrightarrow\ x_1=x_2$ при положительных $x_1$ и $x_2$. Это тот же аргумент от монотонности, что и для показательной функции, и он снова понадобится в уравнениях.

Сравнение и оценкаРазбираем вместе

Что больше: $\log_4 9$ или $\log_4 11$?

Основание $4>1$, функция возрастает, $9<11$, поэтому $\log_4 9<\log_4 11$.

Что больше: $\log_{0{,}3}2$ или $\log_{0{,}3}5$?

Основание меньше единицы, функция убывает, $2<5$, поэтому $\log_{0{,}3}2>\log_{0{,}3}5$.

Между какими целыми числами лежит $\log_2 100$?

Зажмём аргумент между соседними степенями двойки: $2^{6}=64<100<128=2^{7}$. Функция возрастает, поэтому

$6<\log_2 100<7.$

Заодно видно, что прогноз «$\log_2 100$ больше $10$» неверен: логарифм растёт крайне медленно, и чтобы он дошёл до $10$, аргумент должен вырасти до $1024$.

Что больше: $\log_2 3$ или $\log_3 2$?

Сравним каждое с единицей. Так как $3>2$, то $\log_2 3>\log_2 2=1$. Так как $2<3$, то $\log_3 2<\log_3 3=1$. Значит $\log_2 3>1>\log_3 2$.

Область определения выражений с логарифмом

Требование одно и оно жёсткое: всё, что стоит под знаком логарифма, должно быть строго положительно. Это тот же тип условия, что и недопустимые значения алгебраической дроби, только вместо «знаменатель не ноль» здесь «аргумент больше нуля».

Три области определенияРазбираем вместе

$y=\log_2(x-5)$. Условие $x-5>0$ даёт $x>5$, то есть $D(y)=(5;+\infty)$.

$y=\log_2(7-x)$. Условие $7-x>0$ даёт $x<7$, то есть $D(y)=(-\infty;7)$.

$y=\log_3\left(x^{2}-9\right)$. Условие $x^{2}-9>0$ равносильно $x^{2}>9$, то есть $|x|>3$. Ответ: $D(y)=(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$.

Проверка последнего: при $x=4$ аргумент равен $7>0$ — годится; при $x=0$ он равен $-9$ — не годится; при $x=-5$ он равен $16>0$ — годится.

График $y=\log_2(x-5)$ получается из графика $y=\log_2 x$ сдвигом на $5$ вправо — вместе с асимптотой, которая переезжает из $x=0$ в $x=5$. Про асимптоту забывают чаще всего.

Зачем нужны логарифмические шкалы

Если величина меняется в тысячи раз, обычная ось бесполезна: мелкие значения слипаются у нуля. Логарифмическая шкала откладывает не саму величину, а её логарифм — и равные отрезки означают равные отношения, а не равные разности.

ДецибелыРазбираем вместе

Уровень громкости считают по формуле $L=10\lg\dfrac{I}{I_0}$, где $I$ — интенсивность звука, а $I_0$ — порог слышимости.

Во сколько раз выросла интенсивность, если громкость поднялась с $40$ до $60$ дБ?

Разность уровней: $60-40=20$ дБ. Значит

$10\lg\frac{I_2}{I_1}=20,\qquad \lg\frac{I_2}{I_1}=2,\qquad \frac{I_2}{I_1}=10^{2}=100.$

Ответ: в $100$ раз. Прибавка $20$ дБ всегда означает рост в $100$ раз — независимо от того, с какого уровня начали. Именно это и есть смысл логарифмической шкалы.

Проверка понимания

Какова область определения функции y = log₂(4 − x)?

• А. (−∞; 4)
• Б. (4; +∞)
• В. Все числа, кроме 4

! Логарифм не обязан быть положительным

Ученики часто пишут: «$\log_a x$ существует, значит он положителен». Это две разные вещи.

Положительным обязан быть аргумент, а само значение логарифма — любое число. Например, при основании $2$:

$\log_2 8=3,\qquad \log_2 1=0,\qquad \log_2 0{,}5=-1,\qquad \log_2 0{,}125=-3.$

Все четыре записи законны: аргументы $8$, $1$, $0{,}5$ и $0{,}125$ положительны. И это неизбежно: множество значений логарифмической функции — вся числовая прямая, отрицательные значения обязаны где-то достигаться.

Зеркальная ошибка — считать, что $\log_2(-8)$ «равен $-3$». Нет: такого числа не существует вовсе, потому что $2^{c}>0$ при любом $c$.

Практика

1. Найди область определения функции $y=\log_5 x$.
2. Найди множество значений функции $y=\log_5 x$.
3. Через какую точку проходит график любой функции $y=\log_a x$?
4. Возрастает или убывает функция $y=\log_{0{,}2}x$?
5. Сравни $\log_4 9$ и $\log_4 11$.
6. Сравни $\log_{0{,}3}2$ и $\log_{0{,}3}5$.
7. Сравни $\log_7 1$ и $\log_7 0{,}5$.
8. Между какими соседними целыми числами лежит $\log_3 50$?
9. Между какими соседними целыми числами лежит $\lg 2026$?
10. Найди область определения функции $y=\log_2(x-5)$.
11. Найди область определения функции $y=\log_2(7-x)$.
12. Найди область определения функции $y=\log_3\left(x^{2}-9\right)$.
13. Как получить график $y=\log_2(x-3)$ из графика $y=\log_2 x$? Где будет асимптота?
14. Интенсивность звука выросла в $1000$ раз. На сколько децибел выросла громкость, если $L=10\lg\dfrac{I}{I_0}$?
15. У раствора $\mathrm{pH}=-\lg[\mathrm{H}^{+}]$. Найди $\mathrm{pH}$, если концентрация равна $10^{-5}$ моль/л.
16. Функция $y=\log_a x$ проходит через точку $(8;3)$. Найди основание $a$.

Ответы и пояснения

1. $D(y)=(0;+\infty)$.
2. $E(y)=\mathbb{R}$ — все числа.
3. Через точку $(1;0)$: $\log_a 1=0$ при любом допустимом основании.
4. Убывает: основание $0{,}2$ лежит между нулём и единицей.
5. Основание $4>1$, функция возрастает, поэтому $\log_4 9<\log_4 11$.
6. Основание меньше единицы, функция убывает, поэтому $\log_{0{,}3}2>\log_{0{,}3}5$.
7. $\log_7 1=0$, а $\log_7 0{,}5<0$, потому что $0{,}5<1$ при основании больше единицы. Значит $\log_7 1>\log_7 0{,}5$.
8. $3^{3}=27<50<81=3^{4}$, поэтому $3<\log_3 50<4$.
9. $10^{3}=1000<2026<10\,000=10^{4}$, поэтому $3<\lg 2026<4$.
10. $x-5>0$, то есть $(5;+\infty)$.
11. $7-x>0$, то есть $(-\infty;7)$.
12. $x^{2}-9>0$, то есть $(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$.
13. Сдвигом на $3$ вправо. Асимптота переезжает из $x=0$ в $x=3$, а область определения становится $(3;+\infty)$.
14. $\Delta L=10\lg 1000=10\cdot3=30$ дБ.
15. $\mathrm{pH}=-\lg 10^{-5}=-(-5)=5$.
16. По определению $a^{3}=8$, откуда $a=2$.

Итог

• Логарифмическая функция $y=\log_a x$ определена только при $x>0$, принимает все действительные значения и проходит через точку $(1;0)$.
• При $a>1$ она возрастает, при $0<a<1$ убывает; её график — отражение графика $y=a^{x}$ относительно прямой $y=x$.
• Оценка «между какими целыми» делается зажатием аргумента между соседними степенями основания.
• Логарифмическая шкала переводит отношения в разности: равные шаги по шкале означают одинаковые множители.

Про обе функции теперь известно главное: они строго монотонны. Значит, из равенства значений следует равенство аргументов, а неравенство между значениями переводится в неравенство между аргументами — иногда с переворотом знака. На этих двух фактах и держится решение показательных и логарифмических уравнений, к которому мы переходим.

← Логарифм · Дальше: уравнения и неравенства →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным