1.1 Рациональные уравнения

9 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: квадратные уравнения, разложение на множители, алгебраические дроби

Бассейн наполняют две трубы. Вместе — за $2$ часа. Вторая труба в одиночку работает на $3$ часа дольше первой.

Обозначим через $x$ время первой трубы. За час она наполняет $\dfrac{1}{x}$ бассейна, вторая — $\dfrac{1}{x+3}$, а вместе они наполняют $\dfrac{1}{2}$ бассейна в час:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{2}.$

Формулы корней для такого уравнения нет. Зато есть приём: превратить его в целое уравнение — и не забыть, что за такое превращение придётся заплатить проверкой.

◎ После урока ты сможешь

• отличать целое уравнение от дробно-рационального
• решать целые уравнения разложением на множители и заменой t = x²
• решать дробно-рациональные уравнения через общий знаменатель
• находить посторонние корни и объяснять, откуда они берутся

Прогноз до вычислений

Ответь навскидку, до всяких выкладок.

• Первая труба справится быстрее или медленнее двух часов? А может ли она справиться ровно за $2$ часа?
• Сколько корней ты ожидаешь у уравнения $x^4-13x^2+36=0$: ни одного, два или четыре?
• Уравнение $\dfrac{x^2-9}{x-3}=6$. Дробь сокращается до $x+3$. Значит ли это, что уравнение равносильно $x+3=6$?

Запиши свои ответы — вернёмся к ним в конце.

Эксперимент: где кандидат, а где корень

Переключай примеры и следи за одним: множество кандидатов и множество корней — это не одно и то же.

Лаборатория рациональных уравнений

От записи с дробями — к целому уравнению и обратно

Умножение на выражение с буквой может добавить корни. Поэтому запреты выписывают до решения, а кандидатов сверяют с ними после.

1/x + 1/(x + 3) = 1/2

Вынесение общего множителяРазложение группировкойПроизведение равно нулюЗамена t = x²Замена с отбраковкойПосторонний кореньУравнение из задачи о работеОтвет «корней нет»Переменная исчезлаЛовушка сокращенияДва допустимых корня

Дробно-рациональное уравнение: 1/x + 1/(x + 3) = 1/2

1. 1

   Выписываем запреты: нули знаменателейx ≠ −3, x ≠ 0

2. 2

   Общий знаменатель обеих частейx² + 3x

Мои корниЧерез точку с запятой, например «3; −2»; можно написать «нет»

Проверить

?

Реши уравнение сам, а потом сверься с разбором.Запиши корни через точку с запятой: «3; −2». Если корней нет, так и напиши: «нет».

↺ Вернуть пример

Обрати внимание: у некоторых примеров кандидатов двое, а корень один. И это не ошибка вычислений.

Два вида рациональных уравнений

∴ Определение

Уравнение называют целым, если обе его части — многочлены, то есть переменная нигде не стоит в знаменателе. Примеры: $x^3-9x=0$, $x^4-13x^2+36=0$.

Уравнение называют дробно-рациональным, если хотя бы в одном знаменателе есть переменная. Примеры: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{x^2-9}{x-3}=6$.

Оба вида вместе называют рациональными уравнениями.

Теперь понятно, что стояло за названием урока 8 класса — «Простейшие рациональные уравнения»: там разбирали дробно-рациональные уравнения с одной-двумя дробями, а слово «рациональное» шло авансом. Сейчас у него появилось определение, и в него попали оба вида.

Разница принципиальная. У целого уравнения переменная может принимать любое значение — запретов нет. У дробно-рационального часть значений запрещена сразу, ещё до решения.

Приём первый: произведение равно нулю

Для целых уравнений степени выше второй общей формулы корней в школе нет. Работает разложение на множители и одно короткое правило.

∴ Произведение равно нулю

$A\cdot B=0\quad\Longleftrightarrow\quad A=0\ \text{ или }\ B=0.$

Поэтому целое уравнение сначала приводят к виду «произведение $=0$», а потом приравнивают к нулю каждый множитель по очереди.

Правило не новое: точно так же в 8 классе решались неполные квадратные уравнения. Меняется только длина произведения — множителей может быть и три, и четыре.

Решим x³ − 2x² − x + 2 = 0Разбираем вместе

Слева четыре слагаемых — пробуем группировку:

$x^3-2x^2-x+2=x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1).$

Скобка $x^2-1$ — разность квадратов, поэтому

$(x-2)(x-1)(x+1)=0.$

Произведение трёх множителей равно нулю, когда нулю равен хотя бы один из них:

$x=2,\qquad x=1,\qquad x=-1.$

Проверка для $x=-1$: $-1-2+1+2=0$ — верно.

Ответ: $-1$; $1$; $2$.

Приём второй: замена переменной

∴ Биквадратное уравнение

Уравнение вида $ax^4+bx^2+c=0$ решают заменой $t=x^2$. Получается квадратное уравнение $at^2+bt+c=0$.

Обратная замена возможна только при $t\ge0$: квадрат числа не бывает отрицательным. Каждое положительное $t$ даёт два значения $x$, значение $t=0$ — одно, отрицательное — ни одного.

Решим x⁴ − 13x² + 36 = 0Разбираем вместе

Замена $t=x^2$, где $t\ge0$:

$t^2-13t+36=0,\qquad D=169-144=25,\qquad \sqrt{D}=5.$

$t_1=\frac{13-5}{2}=4,\qquad t_2=\frac{13+5}{2}=9.$

Оба значения неотрицательны, поэтому обратная замена работает для обоих:

$x^2=4\Rightarrow x=\pm2,\qquad x^2=9\Rightarrow x=\pm3.$

Ответ: $-3$; $-2$; $2$; $3$ — четыре корня.

А вот у уравнения $x^4+3x^2-4=0$ для $t$ получается $1$ и $-4$. Значение $t=-4$ отбрасываем, и остаётся только $x=\pm1$: два корня, а не четыре.

Дробно-рациональное уравнение: алгоритм

∴ Пять шагов

1. Запреты. Приравняй каждый знаменатель к нулю и выпиши значения, при которых уравнение не имеет смысла.
2. Общий знаменатель. Найди его для всех дробей уравнения.
3. Умножение. Умножь обе части на общий знаменатель — получится целое уравнение.
4. Решение. Реши целое уравнение. Его корни — пока только кандидаты.
5. Отбор. Вычеркни кандидатов, попавших в список запретов. Оставшиеся — корни исходного уравнения.

Шаг 5 обязателен именно потому, что шаг 3 — не равносильное преобразование. Умножая на выражение с буквой, мы разрешаем этому выражению обращаться в ноль, а исходное уравнение этого не разрешало. Появившиеся из-за этого лишние значения называют посторонними корнями.

Вернёмся к бассейнуРазбираем вместе

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{2}.$

Запреты: $x\ne0$ и $x\ne-3$.

Общий знаменатель: $2x(x+3)$. Умножаем на него обе части:

$2(x+3)+2x=x(x+3).$

$2x+6+2x=x^2+3x,\qquad x^2-x-6=0.$

$D=1+24=25,\qquad x_1=\frac{1-5}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{1+5}{2}=3.$

Отбор по запретам: оба кандидата допустимы, посторонних нет.

Отбор по смыслу задачи: время не бывает отрицательным, поэтому $x=-2$ ответом задачи не является, хотя корнем уравнения остаётся.

Первая труба наполняет бассейн за $3$ часа, вторая — за $3+3=6$ часов.

Проверка: $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}$ — верно.

Заметь: проверок было две и они разные. Первая — математическая (не запрещено ли значение), вторая — смысловая (бывает ли такое в задаче). Пропускать нельзя ни одну.

Когда корней не остаётсяРазбираем вместе

$\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}=\frac{4}{x^2-4}.$

Запреты: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, поэтому $x\ne2$ и $x\ne-2$.

Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)$. После умножения:

$(x+2)+(x-2)=4,\qquad 2x=4,\qquad x=2.$

Единственный кандидат совпал с запретом. Вычёркиваем его — и не остаётся ничего.

Ответ: корней нет.

Проверка понимания

Уравнение (x² − 9)/(x − 3) = 6. После умножения на (x − 3) получилось x² − 9 = 6x − 18, то есть (x − 3)² = 0 и x = 3. Каков ответ?

• А. x = 3
• Б. Корней нет
• В. x = 3 и x = −3

! Два способа потерять правду

Сократили дробь и забыли про дырку. В уравнении $\dfrac{x^2-9}{x-3}=6$ дробь действительно равна $x+3$ — но только при $x\ne3$. Сокращение не отменяет запрет, оно его прячет. Список запретов выписывают до всех преобразований.

Разделили обе части на выражение с переменной. Из $x^2=3x$ «сокращением на $x$» получают $x=3$ — и теряют корень $x=0$. Правильно переносить всё в одну часть:

$x^2-3x=0,\qquad x(x-3)=0,\qquad x=0\ \text{ или }\ x=3.$

Умножение на выражение с буквой добавляет лишние корни, деление на такое выражение — теряет настоящие. Первое лечится проверкой, второе — тем, что так просто не делают.

Практика

Реши уравнение. Для дробных — сначала выпиши запреты.

1. $x^3-4x=0$
2. $(x^2-9)(x+1)=0$
3. $x^3-3x^2-x+3=0$
4. $x^4-5x^2+4=0$
5. $x^4+3x^2-4=0$
6. $\dfrac{x^2-16}{x+4}=0$
7. $\dfrac{6}{x}-\dfrac{6}{x+1}=1$
8. $\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{4}{x^2-4}$
9. $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{2}{x^2-1}$
10. $\dfrac{x^2-9}{x-3}=6$
11. $\dfrac{x+2}{x-1}=\dfrac{x+4}{x+1}$
12. Две трубы наполняют бассейн за $6$ часов. Первая в одиночку справляется на $5$ часов быстрее второй. За сколько часов наполнит бассейн каждая труба?

Ответы и пояснения

1. $x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)=0$. Ответ: $-2$; $0$; $2$.
2. $x^2-9=0$ даёт $\pm3$, $x+1=0$ даёт $-1$. Ответ: $-3$; $-1$; $3$.
3. Группировка: $x^2(x-3)-(x-3)=(x-3)(x^2-1)=(x-3)(x-1)(x+1)$. Ответ: $-1$; $1$; $3$.
4. $t=x^2$: $t^2-5t+4=0$, $D=25-16=9$, $t=1$ и $t=4$. Ответ: $-2$; $-1$; $1$; $2$.
5. $t^2+3t-4=0$, $D=9+16=25$, $t=1$ и $t=-4$. Отрицательное $t$ отбрасываем. Ответ: $-1$; $1$.
6. $x\ne-4$; числитель $x^2-16=(x-4)(x+4)=0$ даёт кандидатов $4$ и $-4$, второй запрещён. Ответ: $x=4$.
7. $x\ne0$, $x\ne-1$. Умножаем на $x(x+1)$: $6(x+1)-6x=x(x+1)$, то есть $6=x^2+x$ и $x^2+x-6=0$. $D=1+24=25$, кандидаты $2$ и $-3$ — оба допустимы. Ответ: $-3$; $2$.
8. $x\ne\pm2$; после умножения $2x=4$, кандидат $x=2$ запрещён. Ответ: корней нет.
9. $x\ne\pm1$; умножаем на $(x-1)(x+1)$: $x(x-1)+2(x+1)=2$, то есть $x^2+x=0$ и $x(x+1)=0$. Кандидаты $0$ и $-1$; второй запрещён. Ответ: $x=0$.
10. $x\ne3$; $x^2-9=6x-18$, то есть $x^2-6x+9=0$ и $(x-3)^2=0$. Единственный кандидат $3$ запрещён. Ответ: корней нет.
11. $x\ne1$, $x\ne-1$; $(x+2)(x+1)=(x+4)(x-1)$, то есть $x^2+3x+2=x^2+3x-4$ и $2=-4$. Переменная исчезла, осталось неверное числовое равенство. Ответ: корней нет.
12. Пусть первая труба работает $x$ часов, тогда вторая — $x+5$: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{1}{6}$ при $x\ne0$ и $x\ne-5$. Умножаем на $6x(x+5)$: $6(x+5)+6x=x(x+5)$, то есть $x^2-7x-30=0$. $D=49+120=169$, корни $10$ и $-3$. Отрицательное время не подходит по смыслу. Ответ: $10$ часов и $15$ часов; проверка: $\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{3}{30}+\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{6}$.

Итог

• Целое уравнение решают разложением на множители или заменой переменной; готовой формулы для степени выше второй в школе нет.
• В биквадратном уравнении обратная замена возможна только при $t\ge0$.
• Дробно-рациональное уравнение сводят к целому умножением на общий знаменатель, и это добавляет посторонние корни.
• Запреты выписывают до решения, а каждого кандидата сверяют с ними после.
• Деление обеих частей на выражение с переменной теряет корни — так не делают.

В этом уроке буква была одна. Дальше их станет две — и решение перестанет быть числом, превратившись в пару.

← Вход в тему · Дальше: уравнение с двумя переменными →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным