2.2 Правила дифференцирования

11 класс · Алгебра◷ 60–70 минут◇ БазаНужно знать: определение производной, действия с многочленами, степень с рациональным показателем, композиция функций

Считать предел разностного отношения для каждой новой функции — примерно как каждый раз заново выводить формулу площади прямоугольника. Один раз это полезно, десять раз — бессмысленно.

Поэтому производные считают иначе: несколько эталонных формул запоминают, а всё остальное собирают из них по правилам. Правил всего четыре, и они закрывают почти любую функцию школьного курса.

◎ После урока ты сможешь

• пользоваться таблицей производных основных функций
• дифференцировать сумму, разность и произведение на число
• применять правила произведения и частного
• дифференцировать композицию вида f(kx + b) и простые сложные функции

Прогноз до вычислений

Проверь интуицию — потом сверишься с правилами.

1. Производная суммы равна сумме производных. А производная произведения — равна ли произведению производных?
2. Функция $y=(3x+1)^2$ получается из $y=x^2$ заменой $x$ на $3x+1$. Будет ли её производная равна $2(3x+1)$?
3. Как связаны производные функций $y=x^2$ и $y=x^2+100$?

Таблица производных

Первые строки мы уже доказали в прошлом уроке через предел. Остальные выводятся так же, только выкладки длиннее, и в базовом курсе их принимают готовыми.

Функция	Производная	Где верно
$y=C$	$y'=0$	всюду
$y=x$	$y'=1$	всюду
$y=x^n$	$y'=nx^{n-1}$	всюду при натуральном $n$
$y=\dfrac{1}{x}$	$y'=-\dfrac{1}{x^2}$	$x\neq 0$
$y=\sqrt{x}$	$y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$x>0$
$y=\sin x$	$y'=\cos x$	всюду
$y=\cos x$	$y'=-\sin x$	всюду
$y=\operatorname{tg} x$	$y'=\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\cos x\neq 0$
$y=e^x$	$y'=e^x$	всюду
$y=\ln x$	$y'=\dfrac{1}{x}$	$x>0$

Две строки таблицы стоит запомнить отдельно, потому что они выглядят неожиданно. Показательная функция $y=e^x$ — единственная, которая совпадает со своей производной: скорость её роста в каждой точке равна самому значению. А производная логарифма — простая дробь, хотя сам логарифм устроен куда сложнее.

◆ Формула степени работает шире, чем кажется

Правило $\bigl(x^n\bigr)'=nx^{n-1}$ верно не только для натуральных показателей. Две табличные строки — его частные случаи:

$\frac{1}{x}=x^{-1}\ \Rightarrow\ y'=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2},\qquad \sqrt{x}=x^{1/2}\ \Rightarrow\ y'=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$

Запоминать поэтому нужно одну формулу, а не три.

Четыре правила

∴ Правила дифференцирования

Пусть функции $u=u(x)$ и $v=v(x)$ дифференцируемы в точке $x$, а $C$ — постоянная. Тогда:

1. Сумма и разность: $(u\pm v)'=u'\pm v'$.
2. Постоянный множитель: $(Cu)'=C\,u'$ — число выносится за знак производной.
3. Произведение: $(uv)'=u'v+uv'$.
4. Частное: $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ при $v(x)\neq 0$.

Правила 1 и 2 очевидны по смыслу: скорость изменения суммы складывается, а увеличение всей величины в $C$ раз во столько же раз увеличивает и скорость. Правила 3 и 4 запоминают по порядку слов: в произведении плюс, в частном минус, и в частном порядок слагаемых менять нельзя.

∴ Производная композиции (цепное правило)

Если $y=f\bigl(g(x)\bigr)$, то

$y'=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).$

Словами: продифференцируй внешнюю функцию, оставив внутреннюю нетронутой, и умножь на производную внутренней.

В базовом курсе чаще всего встречается частный случай $y=f(kx+b)$, где внутренняя функция линейна:

$\bigl(f(kx+b)\bigr)'=k\cdot f'(kx+b).$

Например, $(\sin 4x)'=4\cos 4x$, а $\bigl((3x-4)^5\bigr)'=5(3x-4)^4\cdot 3=15(3x-4)^4$.

Разборы

Произведение: y = (2x + 1)(x² − 3)Разбираем вместе

Обозначим $u=2x+1$ и $v=x^2-3$. Тогда $u'=2$ и $v'=2x$. По правилу произведения

$y'=u'v+uv'=2\,(x^2-3)+(2x+1)\cdot 2x.$

Раскрываем и приводим подобные: $2x^2-6+4x^2+2x=6x^2+2x-6$.

Проверка другим способом. Раскроем скобки сразу: $y=2x^3+x^2-6x-3$. Дифференцируем почленно: $6x^2+2x-6$. Ответы совпали.

А что дало бы «произведение производных»? Число $2\cdot 2x=4x$ — совсем другая функция. Правило произведения существует именно потому, что наивный ответ неверен.

Частное: y = (x + 1) / (x − 2)Разбираем вместе

Здесь $u=x+1$, $v=x-2$, поэтому $u'=1$ и $v'=1$. По правилу частного

$y'=\frac{1\cdot(x-2)-(x+1)\cdot 1}{(x-2)^2}=\frac{x-2-x-1}{(x-2)^2}=\frac{-3}{(x-2)^2}.$

Ответ отрицателен при всех допустимых $x$. Это осмысленно: обе ветви такой дроби убывают — с этим ты уже встречался у гиперболы.

Точка $x=2$ в область определения не входит, и говорить о производной там нельзя.

Композиция: y = (3x + 1)² и y = √(2x + 1)Разбираем вместе

Первая функция. Внешняя — квадрат, внутренняя — $3x+1$:

$y'=2(3x+1)\cdot 3=18x+6.$

Проверка раскрытием скобок: $y=9x^2+6x+1$, значит $y'=18x+6$. Совпало. Если бы множитель $3$ забыли, получилось бы $6x+2$ — ошибка ровно в три раза.

Вторая функция. Внешняя — корень, внутренняя — $2x+1$:

$y'=\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x+1}},\qquad x>-0{,}5.$

Проверка правил на опыте

Правило можно проверить численно: посчитай производную по формуле, а потом сравни с наклоном, к которому стягивается секущая. Возьми кривую $y=x^3-3x$ — по правилам её производная равна $3x^2-3$ — и точку $x_0=2$. Сначала посчитай ответ на бумаге, только потом нажимай «Проверить».

Лаборатория секущей

Угадай наклон касательной до подсказки

У этой кривой наклон касательной меняет знак дважды — есть где ошибиться в прогнозе.

Δy / Δx

Падение s = 5t²Бросок h = 20t − 5t²y = x²y = x³ − 3x

Точка x₀ 2−2−1,5−1011,52Здесь ищем мгновенное значение — наклон касательной.

Шаг h 1−1−0,5−0,25−0,1−0,050,050,10,250,51Расстояние до второй точки. Ноль запрещён: на ноль делить нельзя.

y = x³ − 3x→y' = ?

Δx = h1Насколько сдвинулись по горизонтали.

Δy16Настолько изменилось значение функции.

Δy / h16наклон касательной на всём отрезке AB, а не в точке A.

Что происходит при уменьшении шага

Наклон секущей при уменьшении h из точки x₀ = 2

h	Δy	Δy / h	отличие от предела
1	16	16	—
0,5	6,125	12,25	—
0,25	2,6406	10,5625	—
0,1	0,961	9,61	—
0,01	0,0906	9,0601	—
0,001	0,009	9,006	—

Мой ответ

Наклон касательной в точке x₀— выбери —2916

Проверить

?

Секущая при h = 1 имеет наклон 16.Уменьшай шаг и следи за числом в последнем столбце таблицы. К какому значению оно подбирается? Ответь — и касательная появится на рисунке.

↺ Вернуть пример

Совпадение — не доказательство: таблица показывает лишь приближения. Но расхождение сразу выдало бы арифметическую ошибку, и в этом ценность такой проверки.

Проверка понимания

Чему равна производная функции y = x²·sin x?

• А. 2x·cos x
• Б. 2x·sin x
• В. 2x·sin x + x²·cos x

! Забытый множитель внутренней функции

Самая частая ошибка на композиции — продифференцировать только «оболочку».

Пишут $(\sin 4x)'=\cos 4x$, а верно $4\cos 4x$. Пишут $\bigl(\sqrt{5x}\bigr)'=\dfrac{1}{2\sqrt{5x}}$, а верно $\dfrac{5}{2\sqrt{5x}}$.

Проверить себя легко на функции, которую можно раскрыть: для $y=(2x)^2=4x^2$ честный ответ $y'=8x$. Цепное правило даёт $2\cdot(2x)\cdot 2=8x$ — сходится. Без множителя $2$ вышло бы $4x$, то есть вдвое меньше.

Правило простое: сколько звеньев, столько множителей.

Практика

1. Найди производную: $y=x^7$.
2. Найди производную: $y=3x^4-2x^2+7$.
3. Найди производную: $y=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x}$.
4. Найди производную: $y=5\sin x-3\cos x$.
5. Найди производную: $y=x\sin x$.
6. Найди производную двумя способами: $y=(x^2+1)(x-3)$.
7. Найди производную: $y=\dfrac{x}{x+1}$.
8. Найди производную: $y=\dfrac{2x-5}{x+3}$.
9. Найди производную: $y=(3x-4)^5$.
10. Найди производную: $y=\sin 4x$ и $y=\cos\dfrac{x}{2}$.
11. Найди производную: $y=\sqrt{5x-1}$.
12. Найди производную: $y=(x^2+1)^3$.
13. Для $f(x)=x^3-4x^2+5x$ найди $f'(1)$.
14. Составь уравнение касательной к графику $y=x^3-3x$ в точке $x_0=2$.
15. Возьми $u=x^2$ и $v=x^3$. Сравни $(uv)'$ и $u'\cdot v'$. Что это доказывает?
16. Найди производную: $y=2e^x-\ln x$ при $x>0$.

Ответы и пояснения

1. $y'=7x^6$.
2. $y'=12x^3-4x$: постоянное слагаемое $7$ исчезает.
3. $y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x^2}$ при $x>0$.
4. $y'=5\cos x+3\sin x$: минус перед косинусом и минус из его производной дают плюс.
5. $y'=\sin x+x\cos x$.
6. По правилу: $2x(x-3)+(x^2+1)=2x^2-6x+x^2+1=3x^2-6x+1$. Раскрытием: $y=x^3-3x^2+x-3$, значит $y'=3x^2-6x+1$. Ответы совпали.
7. $y'=\dfrac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}$.
8. $y'=\dfrac{2(x+3)-(2x-5)}{(x+3)^2}=\dfrac{2x+6-2x+5}{(x+3)^2}=\dfrac{11}{(x+3)^2}$.
9. $y'=5(3x-4)^4\cdot 3=15(3x-4)^4$.
10. $y'=4\cos 4x$; $y'=-\dfrac{1}{2}\sin\dfrac{x}{2}$.
11. $y'=\dfrac{1}{2\sqrt{5x-1}}\cdot 5=\dfrac{5}{2\sqrt{5x-1}}$ при $x>0{,}2$.
12. $y'=3(x^2+1)^2\cdot 2x=6x(x^2+1)^2$.
13. $f'(x)=3x^2-8x+5$, поэтому $f'(1)=3-8+5=0$: касательная в этой точке горизонтальна.
14. $y(2)=8-6=2$, $y'(x)=3x^2-3$, $y'(2)=9$. Касательная: $y=2+9(x-2)$, то есть $y=9x-16$.
15. $(uv)'=\bigl(x^5\bigr)'=5x^4$, а $u'v'=2x\cdot 3x^2=6x^3$. Это контрпример: производная произведения не равна произведению производных.
16. $y'=2e^x-\dfrac{1}{x}$.

Итог

• Производные основных функций берут из таблицы; формула $\bigl(x^n\bigr)'=nx^{n-1}$ покрывает и корень, и обратную величину.
• Сумма и постоянный множитель ведут себя «прозрачно», произведение и частное — по своим формулам с плюсом и минусом.
• Композиция дифференцируется по цепному правилу: внешняя производная умножается на внутреннюю.
• Любой ответ можно проверить: раскрытием скобок, вторым способом или численно по наклону секущей.

Теперь производная считается за строчку. Но пока мы использовали её только локально — в одной точке. Дальше выяснится главное: знак производной на целом промежутке управляет поведением функции. Это превратит производную из вычислительного трюка в инструмент исследования.

← Касательная и мгновенная скорость · Дальше: исследование функции →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным