2.5 Тригонометрические уравнения

10 класс · Алгебра◷ 60–70 минут◇ БазаНужно знать: единичная окружность, периодичность, таблица значений

Кабинка колеса обозрения проходит отметку в $30$ метров. Вопрос диспетчера: когда это происходит?

Уравнение выглядит невинно: $\sin t=0{,}5$. Но ответом будет не одно число и даже не два, а бесконечное множество моментов, расположенных с идеальной регулярностью. Записать их аккуратно — и есть содержание урока.

◎ После урока ты сможешь

• находить решения простейших уравнений по единичной окружности
• записывать ответ сериями с параметром n и понимать роль периода
• пользоваться арксинусом, арккосинусом и арктангенсом
• отбирать корни, принадлежащие заданному промежутку

Прогноз до вычислений

Сколько корней у уравнения $\sin x=0{,}5$? Ни одного, один, два или бесконечно много?

А у уравнения $\sin x=2$? А у $\sin x=1$?

Управляемый эксперимент

Проведи мысленно горизонтальную прямую $y=0{,}5$ и посчитай, сколько раз она пересекает единичную окружность. Потом найди в лаборатории оба угла, у которых ордината равна $0{,}5$ (подсказка: один из них меньше $90°$, другой больше).

Лаборатория единичной окружности

Угол поворота и координаты точки

Координаты вычисляются по углу, а не подгоняются под картинку: для табличных углов они точные.

исследование

Точка поворотаПриведение к обороту

Угол поворота150°

−+

От -900° до 900°, шаг 15°; стрелки ↑ и ↓ тоже работают.

↺

150° → 150° = 5π/6; 2 четвертьcos = −√3/2 ≈ −0,866; sin = 1/2; tg = −√3/3 ≈ −0,5774. Опорный острый угол равен 30°, полных оборотов нет.

↺ Вернуть пример

Прямая пересекла окружность в двух точках — значит, на одном обороте ровно два решения. А оборотов бесконечно много, и каждый добавляет свою пару.

Обратные функции

Чтобы назвать угол по его синусу, нужна договорённость: какой именно из бесконечного набора считать «главным».

∴ Арксинус, арккосинус, арктангенс

$\arcsin a$ — это то единственное число из отрезка $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $a$. Определён при $|a|\le 1$.

$\arccos a$ — единственное число из отрезка $[0;\pi]$, косинус которого равен $a$. Определён при $|a|\le 1$.

$\operatorname{arctg} a$ — единственное число из промежутка $\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$, тангенс которого равен $a$. Определён при всех $a$.

Полезные равенства: $\arcsin(-a)=-\arcsin a$, но $\arccos(-a)=\pi-\arccos a$.

Для табличных значений арксинус и арккосинус считаются устно: $\arcsin\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{6}$, $\arccos\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{3}$, $\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$.

Три простейших уравнения

∴ Уравнение sin x = a

При $|a|>1$ корней нет.

При $|a|\le 1$ горизонтальная прямая пересекает окружность в двух точках, симметричных относительно оси ординат, и ответ состоит из двух серий:

$x=\arcsin a+2\pi n \quad\text{и}\quad x=\pi-\arcsin a+2\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.$

Эти две серии сворачиваются в одну запись:

$x=(-1)^n\arcsin a+\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.$

∴ Уравнения cos x = a и tg x = a

При $|a|>1$ уравнение $\cos x=a$ корней не имеет. При $|a|\le 1$ вертикальная прямая пересекает окружность в двух точках, симметричных относительно оси абсцисс:

$x=\pm\arccos a+2\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.$

Уравнение $\operatorname{tg} x=a$ имеет корни при любом $a$, и серия всегда одна, потому что период тангенса равен $\pi$:

$x=\operatorname{arctg} a+\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.$

Частные случаи проще запоминать отдельно — там точки склеиваются и серия остаётся одна.

Уравнение	Ответ	Почему серия одна
$\sin x=0$	$x=\pi n$	две точки на оси абсцисс отличаются ровно на $\pi$
$\sin x=1$	$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$	подходит единственная точка окружности
$\sin x=-1$	$x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$	тоже единственная точка
$\cos x=0$	$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$	две точки на оси ординат отличаются на $\pi$
$\cos x=1$	$x=2\pi n$	единственная точка $(1;0)$
$\cos x=-1$	$x=\pi+2\pi n$	единственная точка $(-1;0)$

Уравнение sin x = 1/2 по окружностиРазбираем вместе

Ищем точки окружности с ординатой $\dfrac{1}{2}$. Их две: одна в I четверти под углом $\dfrac{\pi}{6}$, вторая во II четверти, симметричная ей относительно оси ординат, под углом $\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$.

К каждой можно прийти, добавив любое число полных оборотов:

$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.$

Свёрнутая запись: $x=(-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n$. Проверим её при $n=0$ и $n=1$: получаем $\dfrac{\pi}{6}$ и $-\dfrac{\pi}{6}+\pi=\dfrac{5\pi}{6}$. Те же два числа — значит, обе формы равносильны.

Уравнение 2 sin x + 1 = 0Разбираем вместе

Сначала приводим к простейшему виду:

$2\sin x=-1 \;\Longrightarrow\; \sin x=-\frac{1}{2}.$

Так как $\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{\pi}{6}$, получаем две серии:

$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad\text{и}\quad x=\pi-\left(-\frac{\pi}{6}\right)+2\pi n=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$

Проверка: $-\dfrac{\pi}{6}$ — это $-30°$, то есть $330°$, IV четверть, синус отрицателен; $\dfrac{7\pi}{6}$ — это $210°$, III четверть, синус тоже отрицателен, и опорный угол в обоих случаях равен $30°$. Сходится.

Отбор корней на отрезкеРазбираем вместе

Решим $\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ и выберем корни, принадлежащие отрезку $[0;2\pi]$.

Общее решение: $x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$.

Перебираем $n$ и оставляем то, что попало в отрезок:

• $n=0$: $x=\dfrac{\pi}{4}$ подходит; $x=-\dfrac{\pi}{4}$ меньше нуля — не подходит.
• $n=1$: $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi>2\pi$ — не подходит; $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{7\pi}{4}$ подходит.
• $n=2$ и дальше уводит за пределы отрезка.

Ответ: $\dfrac{\pi}{4}$ и $\dfrac{7\pi}{4}$. Полезная привычка — отметить оба числа на окружности и убедиться, что абсциссы у них одинаковые.

! Где обычно теряют задачу

Останавливаются на $x=\arcsin a$. Это только один корень из бесконечного множества. Ответ обязан содержать серию с $n\in\mathbb{Z}$.

Меняют формулы местами: пишут $\pm$ для синуса и $(-1)^n$ для косинуса. Запомни картинку: у синуса прямая горизонтальная, и точки симметричны относительно вертикальной оси; у косинуса наоборот.

Пишут $\arcsin 2$. Такого числа нет: синус не превосходит единицы. Правильный ответ — «корней нет».

Теряют период у тангенса. Там прибавляется $\pi n$, а не $2\pi n$: за половину оборота тангенс успевает пробежать все значения.

Забывают привести уравнение к простейшему. В $2\sin x+1=0$ сначала выражают $\sin x$, и только потом обращаются к формуле.

Проверка понимания

Сколько корней имеет уравнение cos x = 2?

• А. Ни одного
• Б. Два
• В. Бесконечно много, x = ±arccos 2 + 2πn

Практика

1. Реши уравнение $\sin x=0$.
2. Реши уравнение $\cos x=-1$.
3. Реши уравнение $\sin x=1$.
4. Реши уравнение $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
5. Реши уравнение $\cos x=\dfrac{1}{2}$.
6. Реши уравнение $\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
7. Реши уравнение $\operatorname{tg} x=1$.
8. Реши уравнение $\operatorname{tg} x=-\sqrt{3}$.
9. Реши уравнение $2\sin x+1=0$.
10. Сколько корней имеет уравнение $\cos x=1{,}5$?
11. Найди корни уравнения $\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, принадлежащие отрезку $[0;2\pi]$.
12. Найди корни уравнения $\cos x=0$, принадлежащие отрезку $[0;2\pi]$.

Ответы и пояснения

1. $x=\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$: ординату ноль дают обе точки на оси абсцисс.
2. $x=\pi+2\pi n$: подходит единственная точка $(-1;0)$.
3. $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$: единственная верхняя точка окружности.
4. $\arcsin\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{3}$, поэтому $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ и $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$; свёрнуто $x=(-1)^n\dfrac{\pi}{3}+\pi n$.
5. $\arccos\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{3}$, поэтому $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$.
6. $\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$, поэтому $x=\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$.
7. $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n$.
8. $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})=-\dfrac{\pi}{3}$, поэтому $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$.
9. $\sin x=-\dfrac{1}{2}$; серии $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ и $x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n$; свёрнуто $x=(-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi n$.
10. Ни одного: $|\cos x|\le 1$, а $1{,}5>1$.
11. Общее решение $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$; на отрезке остаются $\dfrac{\pi}{4}$ и $\dfrac{3\pi}{4}$.
12. Общее решение $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$; на отрезке остаются $\dfrac{\pi}{2}$ и $\dfrac{3\pi}{2}$.

Итог

• Простейшее уравнение решается по картинке: прямая пересекает единичную окружность в двух, одной или ни одной точке.
• У синуса и косинуса период $2\pi$ и, как правило, две серии решений; у тангенса период $\pi$ и всегда одна серия.
• Арксинус, арккосинус и арктангенс — это выбор одного «главного» угла из бесконечного набора; остальные получаются добавлением периода.
• Отбор корней на промежутке — это перебор нескольких значений $n$, а не угадывание.

В практикуме соберём всё вместе: приведение угла, тождества, формулы сложения и уравнения будут работать в одной модели.

← Формулы сложения · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным