2.6 Практикум: паспорт алгебраической дроби

8 класс · Алгебра◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 2.1–2.5

У каждой алгебраической дроби есть паспорт из двух строк: сама запись и условие на переменную. Преобразования меняют первую строку, но обязаны сохранять вторую. Практикум устроен как проверка документов: на каждой станции нужно и посчитать, и сказать, при каких значениях ответ имеет силу.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать нужное действие с дробями по виду задачи
• сохранять условие на переменную через всю цепочку преобразований
• проверять ответ подстановкой допустимого значения
• объяснять, откуда берётся посторонний корень

Станция 1. Паспорт дроби

Запрещённое значение не обязано быть целым — и не обязано быть заметным.

Лаборатория алгебраических дробей

Запрет в нецелой точке

Знаменатель — единственный источник запретов. Подставляй значения и смотри, где дробь теряет смысл.

(x + 5) / (2x − 1)

Допустимые значенияДробь = 0

(x + 5) / (2x − 1)→?

При каких значениях x эта дробь не имеет смысла?

Мой ответНапример: 3; −2. Если таких значений нет — напиши «нет».Проверить

Подстановка вместо догадки

Значения дроби

Своё значение xЦелое или десятичная дробь, например 2,5.

Дробь (x + 5) / (2x − 1) при разных x

x	Знаменатель 2x − 1	Значение дроби	Вывод
−1	−3	−4/3	значение допустимо
0	−1	−5	значение допустимо
0,5	0	не определено	знаменатель равен нулю
1	1	6	значение допустимо
3	5	1,6	значение допустимо

Почему запрет именно там

Подходим к x = 0,5

Чем ближе к запрещённой точке, тем больше модуль дроби

Отступ	x слева	Значение	x справа	Значение
1	−0,5	−2,25	1,5	3,25
0,1	0,4	−27	0,6	28
0,01	0,49	−274,5	0,51	275,5

?

При каких значениях x эта дробь не имеет смысла?Перечисли значения через точку с запятой; если таких значений нет — напиши «нет».

↺ Вернуть пример

Проверка документовРазбираем вместе

Для дроби $\dfrac{x+5}{2x-1}$ решаем $2x-1=0$: $2x=1$, $x=0{,}5$.

Паспорт: запись $\dfrac{x+5}{2x-1}$, условие $x\ne0{,}5$.

Числитель обращается в ноль при $x=-5$ — это допустимое значение, при нём дробь просто равна нулю.

Станция 2. Куда девается условие

Сокращение меняет запись до неузнаваемости. Проверь, что происходит с запретом.

Лаборатория равносильных записей

Противоположные скобки

Верно ли, что эта дробь равна −1? Значения считаются точно, без округлений — в каждой точке видно, совпадают записи или нет.

(3 − x) / (x − 3)

(3 − x) / (x − 3)?−1

Что покажет проверка значениями?

Записи равны при всех допустимых xНайдётся x, при котором значения разныеПроверить

Одно значение — две записи

Таблица сравнения

Своё значение xЦелое или десятичная дробь, например −1,5.

Слева (3 − x) / (x − 3), справа −1

x	Исходная запись	Предложенный ответ	Вывод
−1	−1	−1	значения совпали
0	−1	−1	значения совпали
2	−1	−1	значения совпали
3	не определено	−1	слева не определено
7	−1	−1	значения совпали

Что стало с допустимыми значениями

Ответ «шире» исходной записи

• Исходная запись запрещает: 3.
• Предложенный ответ запрещает: нет.
• Потеряно при преобразовании: 3. Именно поэтому рядом с ответом пишут условие x ≠ 3.

?

Верно ли, что эта дробь равна −1?Сначала выскажи предположение, потом сверься с таблицей значений.

↺ Вернуть пример

◆ Паспорт результата

Рядом с каждым ответом запиши: какое действие выполнено, из какой исходной записи взяты запреты, и при каком значении ты выполнил проверку подстановкой. Ответ без условия на переменную — незаконченный ответ.

Станция 3. Уравнение и его кандидаты

Лаборатория алгебраических дробей

Уравнение без корней

Знаменатель — единственный источник запретов. Подставляй значения и смотри, где дробь теряет смысл.

(x − 4) / (x² − 16)

Допустимые значенияДробь = 0

(x − 4) / (x² − 16)→?

Какие корни имеет уравнение «дробь = 0»?

Мой ответНапример: 3; −2. Если таких значений нет — напиши «нет».Проверить

Подстановка вместо догадки

Значения дроби

Своё значение xЦелое или десятичная дробь, например 2,5.

Дробь (x − 4) / (x² − 16) при разных x

x	Знаменатель x² − 16	Значение дроби	Вывод
−4	0	не определено	знаменатель равен нулю
0	−16	0,25	значение допустимо
2	−12	1/6	значение допустимо
4	0	не определено	знаменатель равен нулю
5	9	1/9	значение допустимо

?

Какие корни имеет уравнение «дробь = 0»?Перечисли значения через точку с запятой; если таких значений нет — напиши «нет».

↺ Вернуть пример

Здесь единственный нуль числителя запрещён знаменателем, поэтому уравнение корней не имеет. Это правильный, полный ответ.

Проверка понимания

После сокращения получилось x + 4. Исходная дробь была (x² − 16)/(x − 4). Как записать ответ полностью?

• А. x + 4 при x ≠ 4
• Б. x + 4 при любых x
• В. x + 4 при x ≠ 4 и x ≠ −4

Итоговый набор задач

1. Найди допустимые значения: $\dfrac{x-1}{x^2-9}$.
2. Сократи: $\dfrac{x^2-36}{x+6}$.
3. Сократи: $\dfrac{4a+8}{a^2-4}$.
4. Выполни сложение: $\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x+1}$.
5. Выполни вычитание: $\dfrac{1}{a-b}-\dfrac{1}{a+b}$.
6. Выполни умножение: $\dfrac{x^2-1}{3x}\cdot\dfrac{9x}{x-1}$.
7. Выполни деление: $\dfrac{a^2}{b}:\dfrac{a}{b^2}$.
8. Возведи в степень: $\left(\dfrac{3x}{2y}\right)^2$.
9. Реши уравнение: $\dfrac{x^2-16}{x-4}=0$.
10. Реши уравнение: $\dfrac{5}{x+1}=\dfrac{2}{x-2}$.
11. Упрости $\dfrac{x^2-2x}{x^2-4}$ и найди значение при $x=4$.
12. Ученик записал $\dfrac{x+2}{x+6}=\dfrac{1}{3}$, «сократив на $x$». Найди все значения $x$, при которых это равенство всё-таки верно.

Ответы, проверки и комментарии

1. $x^2-9=(x-3)(x+3)$, значит $x\ne3$ и $x\ne-3$.
2. $\dfrac{(x-6)(x+6)}{x+6}=x-6$ при $x\ne-6$.
3. $\dfrac{4(a+2)}{(a-2)(a+2)}=\dfrac{4}{a-2}$ при $a\ne2$ и $a\ne-2$.
4. Общий знаменатель $x(x+1)$: $\dfrac{3(x+1)+2x}{x(x+1)}=\dfrac{5x+3}{x^2+x}$ при $x\ne0$, $x\ne-1$. Проверка при $x=1$: $3+1=4$ и $\dfrac{8}{2}=4$.
5. $\dfrac{(a+b)-(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\dfrac{2b}{a^2-b^2}$ при $a\ne b$ и $a\ne-b$.
6. $\dfrac{(x-1)(x+1)\cdot9x}{3x(x-1)}=3(x+1)=3x+3$ при $x\ne0$ и $x\ne1$.
7. $\dfrac{a^2}{b}\cdot\dfrac{b^2}{a}=\dfrac{a^2b^2}{ab}=ab$ при $a\ne0$ и $b\ne0$.
8. $\dfrac{(3x)^2}{(2y)^2}=\dfrac{9x^2}{4y^2}$ при $y\ne0$.
9. $x\ne4$; $x^2-16=(x-4)(x+4)=0$ даёт кандидатов $4$ и $-4$; первый посторонний. Ответ: $x=-4$.
10. $x\ne-1$, $x\ne2$; $5(x-2)=2(x+1)$, $5x-10=2x+2$, $3x=12$, $x=4$. Проверка: $\dfrac{5}{5}=1$ и $\dfrac{2}{2}=1$. Ответ: $x=4$.
11. $\dfrac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x}{x+2}$ при $x\ne2$, $x\ne-2$; при $x=4$ получаем $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
12. Как тождество равенство неверно. Решаем как уравнение: $3(x+2)=x+6$, $3x+6=x+6$, $x=0$. Значит, «сокращение» случайно совпало с истиной ровно в одной точке.

Рефлексия

1. В каких задачах ответ был бы неполным без условия на переменную?
2. Где посторонний корень появился из-за метода, а не из-за арифметики?
3. Какую задачу ты проверил подстановкой — и что проверка поймала?

Возможные ответы: условие обязательно в задачах 2, 3, 6, 7, 11 — там сокращение убрало множитель из знаменателя; посторонний корень возник в задаче 9 при переходе от дроби к числителю; подстановка допустимого значения ловит ошибки в раскрытии скобок и в дополнительных множителях.

✦ Мост дальше

В этой главе знаменатель почти всегда раскладывался на множители школьными приёмами. Дальше в 8 классе появится общий способ решать квадратные уравнения — и тогда любой квадратный знаменатель можно будет разложить, а список запретов найти без подбора. Условие «дробь равна нулю» и проверка корней останутся такими же.

← Рациональные уравнения · К обзору 8 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным