4.1 Цилиндр

11 класс · Геометрия◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: окружность и круг, развёртки, площадь поверхности призмы

Жестяная банка для консервов состоит из трёх кусков жести: два круглых донышка и одна свёрнутая полоса. Завод считает расход материала на миллионы банок, поэтому вопрос «сколько жести уходит на боковую стенку, а сколько на донышки» — это вопрос про деньги.

◎ После урока ты сможешь

• описывать цилиндр как тело вращения прямоугольника и называть его элементы
• строить осевое сечение и сечение, параллельное основанию
• получать формулу боковой поверхности из развёртки
• вычислять боковую и полную поверхность цилиндра и решать обратные задачи

Прогноз до вычислений

Банка имеет радиус $4$ см и высоту $10$ см. Чего уйдёт больше — жести на боковую стенку или на два донышка вместе?

Запиши ответ и короткое обоснование. Через несколько минут мы проверим его вычислением, а потом найдём границу, при которой ответ меняется.

Управляемый эксперимент

Возьми прямоугольник и начни вращать его вокруг одной из сторон. Пока оборот неполный, тела ещё нет — есть только след. После $360°$ появляется цилиндр.

Лаборатория тел вращения

Плоская фигура вращается — получается тело

Крути образующую, меняй размеры и смотри, как из прямоугольника, треугольника и полукруга получаются цилиндр, конус и шар. Контуры вычисляются честной параллельной проекцией.

140°

Вращение фигурыПлощади и объёмРазвёртка

ЦилиндрКонусШар

Радиус основания r3 см

−+

От 1 до 12 см; шаг кнопок 0,5.

Высота h5 см

−+

От 1 до 12 см; шаг кнопок 0,5.

Угол поворота образующей140°Стрелки меняют угол на 5°; полный оборот — 360°.

↻

Повёрнуто на 140° из 360°.Вращаем прямоугольник вокруг своей стороны. Пока оборот не полный, тела ещё нет — есть только след образующей.

↺ Вернуть пример

Останови вращение на $180°$ и посмотри, какую линию заметает каждая угловая точка прямоугольника. Затем доведи до $360°$ и переключись на вкладку «Развёртка».

Что такое цилиндр

∴ Определение и элементы

Цилиндр — тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эта сторона называется осью цилиндра.

• Основания — два равных круга радиуса $r$, лежащих в параллельных плоскостях; их заметают две стороны прямоугольника, перпендикулярные оси.
• Образующая — отрезок, который соединяет соответствующие точки окружностей оснований. Все образующие равны, параллельны оси и равны высоте $h$.
• Боковая поверхность — то, что заметает сторона прямоугольника, параллельная оси.

Ключевое следствие определения: точки поверхности, лежащие на одной высоте, находятся на одном расстоянии $r$ от оси. Поэтому любое сечение плоскостью, перпендикулярной оси, — круг радиуса $r$, равный основанию.

∴ Осевое сечение

Плоскость, проходящая через ось, пересекает цилиндр по прямоугольнику со сторонами $2r$ и $h$. Его площадь равна $2rh$.

Если $h=2r$, осевое сечение — квадрат; такой цилиндр называют равносторонним. Слово «квадрат» в условии задачи — это всегда скрытое равенство $h=2r$.

Сечение, параллельное оси, но не проходящее через неё, — тоже прямоугольник, но уже не осевой: его ширина равна хорде, а не диаметру. Если плоскость удалена от оси на $d<r$, то ширина сечения равна $2\sqrt{r^2-d^2}$ — обычная теорема Пифагора в круге основания.

Развёртка даёт формулу

Разрежем боковую поверхность по одной образующей и развернём её на плоскость. Разрез идёт вдоль образующей, а перпендикулярное ему направление — это окружность основания, которая распрямляется в отрезок длины $2\pi r$.

Лаборатория тел вращения

Плоская фигура вращается — получается тело

Крути образующую, меняй размеры и смотри, как из прямоугольника, треугольника и полукруга получаются цилиндр, конус и шар. Контуры вычисляются честной параллельной проекцией.

развёртка

Вращение фигурыПлощади и объёмРазвёртка

ЦилиндрКонусШар

Радиус основания r4 см

−+

От 1 до 12 см; шаг кнопок 0,5.

Высота h10 см

−+

От 1 до 12 см; шаг кнопок 0,5.

▭

Боковая поверхность разворачивается в прямоугольник 2πr × h.2πr = 8π ≈ 25,13 см, высота 10 см. Площадь прямоугольника и есть S_бок.

↺ Вернуть пример

∴ Поверхность цилиндра

Развёртка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами $2\pi r$ и $h$, поэтому

$S_{\text{бок}}=2\pi rh, \qquad S_{\text{полн}}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r(r+h).$

Множитель $2$ у $\pi r^2$ — оснований именно два. Вынесенная скобка $r+h$ — самая быстрая форма для устного счёта.

Банка из прогнозаРазбираем вместе

Радиус $r=4$ см, высота $h=10$ см.

Боковая стенка: $S_{\text{бок}}=2\pi\cdot4\cdot10=80\pi\approx251{,}33\text{ см}^2$.

Два донышка: $2\pi r^2=2\pi\cdot16=32\pi\approx100{,}53\text{ см}^2$.

Всего: $S_{\text{полн}}=2\pi\cdot4\cdot(4+10)=112\pi\approx351{,}86\text{ см}^2$.

Прогноз подтвердился: на стенку уходит больше. И видно, где проходит граница: $2\pi rh>2\pi r^2$ равносильно $h>r$. У высокой банки стенка дороже донышек, у плоской банки — наоборот.

Обратная задача через осевое сечениеРазбираем вместе

Осевое сечение цилиндра — квадрат площадью $36\text{ см}^2$. Найдём полную поверхность.

Сторона квадрата равна $6$ см, а стороны осевого сечения — это $2r$ и $h$. Значит

$2r=6,\qquad h=6,\qquad r=3.$

Тогда $S_{\text{полн}}=2\pi\cdot3\cdot(3+6)=54\pi\approx169{,}65\text{ см}^2$.

Проверка размерности: получили квадратные сантиметры — как и должно быть у площади.

Проверка понимания

У цилиндра радиус 5, высота 4. Чему равна площадь полной поверхности?

• А. 40π
• Б. 90π
• В. 65π

! Четыре ошибки, которые встречаются чаще всего

Забывают, что оснований два. В $S_{\text{полн}}$ круг $\pi r^2$ входит дважды. Исключение — открытые сосуды: у бака без крышки основание одно, и это должно быть сказано в условии.

Подставляют диаметр вместо радиуса. Если в условии дано $d=10$, то в формулу идёт $r=5$. Проверить легко: длина окружности равна $2\pi r=\pi d$, а не $2\pi d$.

Путают высоту и диаметр в осевом сечении. Стороны осевого сечения — $2r$ и $h$, а не $r$ и $h$. Площадь осевого сечения равна $2rh$.

Считают осевое сечение квадратом по рисунку. На чертеже цилиндр почти всегда выглядит «примерно квадратным». Квадрат в осевом сечении — это условие $h=2r$, и оно должно быть дано, а не увидено.

Практика

1. Цилиндр имеет радиус $3$ и высоту $7$. Найди $S_{\text{бок}}$ и $S_{\text{полн}}$.
2. У цилиндра диаметр основания $10$ и высота $6$. Найди $S_{\text{бок}}$ и $S_{\text{полн}}$.
3. Осевое сечение цилиндра — квадрат со стороной $8$. Найди $S_{\text{полн}}$.
4. Боковая поверхность цилиндра равна $48\pi$, высота равна $6$. Найди радиус.
5. Развёртка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами $12\pi$ и $5$. Найди $r$ и $h$.
6. Найди площадь осевого сечения цилиндра с радиусом $3$ и высотой $7$.
7. Цилиндр имеет радиус $5$ и высоту $8$. Плоскость параллельна оси и удалена от неё на $3$. Найди площадь сечения.
8. Все линейные размеры цилиндра увеличили в $3$ раза. Во сколько раз изменилась полная поверхность?
9. Открытый сверху бак — цилиндр с радиусом $2$ и высотой $5$. Найди площадь окрашиваемой поверхности (боковая стенка и дно).
10. У двух цилиндров одинаковая боковая поверхность. У первого $r=2$, $h=9$; у второго $r=6$. Найди высоту второго.

Ответы и пояснения

1. $S_{\text{бок}}=2\pi\cdot3\cdot7=42\pi\approx131{,}95$; $S_{\text{полн}}=2\pi\cdot3\cdot10=60\pi\approx188{,}50$.
2. $r=5$; $S_{\text{бок}}=2\pi\cdot5\cdot6=60\pi\approx188{,}50$; $S_{\text{полн}}=2\pi\cdot5\cdot11=110\pi\approx345{,}58$.
3. Сторона квадрата $8$, значит $2r=8$, $r=4$, $h=8$; $S_{\text{полн}}=2\pi\cdot4\cdot12=96\pi\approx301{,}59$.
4. $2\pi r\cdot6=48\pi$, откуда $12r=48$ и $r=4$.
5. $2\pi r=12\pi$, значит $r=6$; вторая сторона развёртки — высота, $h=5$.
6. $S=2rh=6\cdot7=42$.
7. Половина хорды равна $\sqrt{5^2-3^2}=4$, вся хорда $8$. Сечение — прямоугольник $8\times8$, его площадь $64$.
8. В $9$ раз: площадь — величина второй размерности, коэффициент подобия возводится в квадрат.
9. $2\pi\cdot2\cdot5+\pi\cdot2^2=20\pi+4\pi=24\pi\approx75{,}40$.
10. $2\pi\cdot2\cdot9=36\pi$; из $2\pi\cdot6\cdot h=36\pi$ получаем $12h=36$ и $h=3$.

Итог

• Цилиндр — след вращения прямоугольника вокруг стороны; ось, основания и образующая приходят прямо из этого определения.
• Сечение, перпендикулярное оси, — круг радиуса $r$; осевое сечение — прямоугольник $2r\times h$ площадью $2rh$.
• Развёртка боковой поверхности — прямоугольник $2\pi r\times h$, отсюда $S_{\text{бок}}=2\pi rh$ и $S_{\text{полн}}=2\pi r(r+h)$.
• Обратные задачи решаются той же формулой: неизвестной становится $r$ или $h$.

У цилиндра развёртка получилась прямоугольником, потому что все образующие параллельны. У конуса они сходятся в одну точку — и развёртка станет сектором. Проверим, как это меняет формулу.

← Вход в тему · Дальше: конус →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным