4.7. Практикум · Полярная станция

6 класс · Числа со знаком◷ 50–60 минут◇ УглублениеНужно знать: уроки 4.1–4.6

Полярная станция ведёт журнал температуры, энергии и маршрутов. Одно и то же отрицательное число может обозначать температуру ниже нуля, расход ресурса или координату к западу от диспетчерской. Математическое действие выбирает не знак, а вопрос задачи.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать между координатой, модулем, направленной разностью и арифметическим действием
• решать связанные задачи с целыми, дробными и десятичными числами со знаком
• проверять знак, порядок и единицы ответа по смыслу ситуации

Карта выбора

Вопрос	Модель	Проверка
где находится объект?	координата или пара $(x;y)$	верны ли направления?
насколько далеко?	модуль или расстояние	ответ неотрицателен?
каким было изменение?	конечное значение минус начальное	знак совпадает с направлением?
несколько изменений подряд	сложение	какое движение преобладает?
одинаковое изменение повторяется	умножение	знак и модуль проверены отдельно?
известен итог повторений	деление	обратное умножение возвращает итог?

◆ Сначала смысл, затем правило

Перед вычислением назови: что означает ноль, какое направление считается положительным, требуется состояние или изменение, направленная величина или расстояние. Эта фраза часто определяет и действие, и знак ответа.

Тренировочный маршрут

Вездеход стартует в точке $(-4;-2)$, идёт на $7$ км к востоку, на $5$ км к северу, затем на $3{,}5$ км к западу и на $4{,}5$ км к югу. Проследи, как каждое перемещение меняет только одну координату.

Лаборатория координатной плоскости

Адрес точки: сначала x, затем y

В записи (x; y) первая координата задаёт горизонтальное движение, вторая — вертикальное.

(x; y)

Координаты точкиОтраженияМаршрут

Координата x −4

−+

От −8 до 8, шаг 0,5

Координата y −2

−+

От −8 до 8, шаг 0,5

↑y + 0,5←x − 0,50в начало→x + 0,5↓y − 0,5

1. 1

   восток 7(−4; −2) + (7; 0) = (3; −2)

2. 2

   север 5(3; −2) + (0; 5) = (3; 3)

3. 3

   запад 3,5(3; 3) + (−3,5; 0) = (−0,5; 3)

4. 4

   юг 4,5(−0,5; 3) + (0; −4,5) = (−0,5; −1,5)

⌖

Маршрут начинается в A(−4; −2) и заканчивается в B(−0,5; −1,5).Каждый шаг прибавляет смещение (Δx; Δy) к текущим координатам. Выполнено шагов: 4.

↺ Вернуть пример

Конечная точка — $(-0{,}5;-1{,}5)$: по горизонтали $-4+7-3{,}5=-0{,}5$, по вертикали $-2+5-4{,}5=-1{,}5$.

Проверка понимания

Датчик переместился с отметки 2 на отметку −5. Каково направленное изменение и каково расстояние?

• А. изменение 7, расстояние −7
• Б. изменение −3, расстояние 3
• В. изменение −7, расстояние 7

Разбор смены

В $06{:}00$ температура равнялась $-12{,}5\,°\text{C}$. Затем она повысилась на $7{,}8\,°\text{C}$ и снизилась на $3{,}6\,°\text{C}$.

Состояние после двух измененийРазбираем вместе

Первое изменение направлено вправо на температурной прямой:

$-12{,}5+7{,}8=-4{,}7.$

Второе изменение отрицательно:

$-4{,}7+(-3{,}6)=-8{,}3.$

Итоговая температура — $-8{,}3\,°\text{C}$. По сравнению с началом она выше на

$-8{,}3-(-12{,}5)=4{,}2\,°\text{C}.$

Проверка: суммарное изменение $7{,}8-3{,}6=4{,}2\,°\text{C}$.

Обрати внимание: температура $-8{,}3\,°\text{C}$ отрицательна, а её изменение $+4{,}2\,°\text{C}$ положительно. Состояние и изменение не обязаны иметь одинаковые знаки.

Станция 1. Прямая и расстояния

1. Запиши по возрастанию показания $-2{,}5$, $\frac12$, $-3$, $0$, $-\frac34$.
2. Найди число, противоположное $-4{,}2$, и модуль исходного числа.
3. Найди все точки, удалённые от $-1$ на $2{,}5$ единицы.
4. Температура изменилась с $-6{,}8\,°\text{C}$ до $-1{,}9\,°\text{C}$. Найди направленное изменение и разницу температур.

Ответы к станции 1

1. $-3<-2{,}5<-\frac34<0<\frac12$.
2. Противоположное число $4{,}2$; модуль $|-4{,}2|=4{,}2$.
3. $-1-2{,}5=-3{,}5$ и $-1+2{,}5=1{,}5$.
4. $-1{,}9-(-6{,}8)=4{,}9\,°\text{C}$: температура повысилась. Разница, то есть расстояние между показаниями, тоже равна $4{,}9\,°\text{C}$.

Станция 2. Оперативный журнал

5. Баланс энергии равен $-12{,}5$ единицы. Станция получила $8{,}75$ единицы. Найди новый баланс.
6. Предыдущее показание датчика было $4{,}5$, текущее — $-3$. Найди направленное изменение.
7. Каждый час запас топлива изменяется на $-1{,}25$ л из-за расхода. Каково изменение за $8$ часов?
8. Суммарное изменение за несколько одинаковых циклов равно $-18$, изменение за один цикл — $-2{,}25$. Сколько было циклов?

Ответы к станции 2

5. $-12{,}5+8{,}75=-3{,}75$ единицы.
6. $-3-4{,}5=-7{,}5$: показание уменьшилось на $7{,}5$.
7. $(-1{,}25)\cdot8=-10$ л.
8. $-18:(-2{,}25)=8$ циклов. Проверка: $8\cdot(-2{,}25)=-18$.

Станция 3. Карта станции

9. Робот стартовал в точке $(-4;1)$, прошёл $6$ км к востоку и $3{,}5$ км к югу. Найди конечную точку и её четверть.
10. Отрази точку $A(-2{,}5;3)$ относительно оси $y$, а затем отдельно — относительно начала координат.
11. Найди длину горизонтального тоннеля с концами $B(-3{,}5;-2)$ и $C(4;-2)$.
12. В $10{:}00$ температура была $-9\,°\text{C}$. Четыре часа она повышалась на $1{,}5\,°\text{C}$ в час, затем сразу упала на $5{,}5\,°\text{C}$. Найди конечную температуру и общее направленное изменение от $10{:}00$.

Ответы и разбор станции 3

9. $x=-4+6=2$, $y=1-3{,}5=-2{,}5$. Конечная точка $(2;-2{,}5)$ лежит в IV четверти.
10. Отражение относительно оси $y$ даёт $(2{,}5;3)$; относительно начала координат — $(2{,}5;-3)$.
11. $|-3{,}5-4|=7{,}5$ км.
12. За четыре часа изменение равно $1{,}5\cdot4=6\,°\text{C}$. Затем изменение $-5{,}5\,°\text{C}$, поэтому температура стала $-9+6-5{,}5=-8{,}5\,°\text{C}$. Общее изменение: $-8{,}5-(-9)=0{,}5\,°\text{C}$.

! Финальная проверка четырёх знаков

1. Ноль выбран осмысленно? 2. Положительное направление названо? 3. Знак действия отделён от знака числа? 4. Ответ описывает именно состояние, изменение или расстояние, которое спрашивали?

Что взять с собой дальше

• Координатная прямая объединяет положение, порядок, расстояние и направленное изменение.
• Модуль отвечает за длину, знак — за направление.
• Правила действий становятся надёжными, когда за ними видна модель движения или повторения.
• Пара $(x;y)$ переносит ту же идею на плоскость.

Дальше буквы будут всё чаще обозначать неизвестные и изменяющиеся величины. Теперь выражения вроде $-a$, $x-y$ и точки $(x;y)$ можно читать по смыслу, а не как набор знаков.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным