1.4 Свойства корня

8 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: квадратный корень, разложение на простые множители, формулы сокращённого умножения

Квадратная площадка имеет площадь $72\text{ м}^2$. Приближение $\sqrt{72}\approx8{,}49$ годится для рулетки, но не годится для дальнейших вычислений: округление на каждом шаге накапливается.

Хочется другого — записать это число точно и коротко. Оказывается, можно: $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$. Разберёмся, откуда берётся шестёрка и почему это законно.

◎ После урока ты сможешь

• применять правила корня из произведения и корня из частного
• выносить множитель из-под знака корня и вносить его обратно
• складывать подобные радикалы и раскрывать скобки с корнями
• избавляться от иррациональности в знаменателе дроби

Прогноз до вычислений

Квадрат площадью $72$ разрезали на равные квадратики площадью $2$ каждый. Сколько квадратиков уложится вдоль стороны большого квадрата? Назови число до эксперимента.

Лаборатория преобразований

Вынесение множителя и корень произведения

Квадратный делитель под корнем — это разрезание квадрата на одинаковые квадратики. Их количество и выходит наружу.

√ab = √a · √b

Вынести множительКорень произведения

Число под корнем72

−+

Целое число от 2 до 10000

√

√72 = 6√2.√72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2. Проверка внесением множителя: 6² · 2 = 72.

↺ Вернуть пример

Картинка показывает суть: сторона большого квадрата состоит из нескольких сторон маленького. Если маленьких квадратиков $36$ штук, то по стороне их $6$, и каждый вносит длину $\sqrt{2}$. Отсюда $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.

Два правила

∴ Корень произведения и корень частного

При $a\ge0$ и $b\ge0$

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},$

а при $a\ge0$ и $b>0$

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$

Почему первое правило верно? Число $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ неотрицательно, а его квадрат равен

$(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2\cdot(\sqrt{b})^2=ab.$

Но неотрицательное число с квадратом $ab$ ровно одно — это и есть $\sqrt{ab}$. Второе правило доказывается точно так же.

Условие $a\ge0$, $b\ge0$ существенно. Для отрицательных чисел равенство теряет смысл: $\sqrt{(-4)(-9)}=\sqrt{36}=6$, а произведение $\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}$ не определено вовсе.

Вынесение и внесение множителя

∴ Вынести множитель из-под корня

Найди наибольший квадратный делитель подкоренного числа и извлеки из него корень:

$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}.$

Обратное действие — внесение множителя под корень: при $c\ge0$

$c\sqrt{a}=\sqrt{c^2a},\qquad\text{например}\quad 3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot5}=\sqrt{45}.$

Внесение удобно как проверка: вынес множитель — внеси обратно и убедись, что получилось исходное число.

Четыре преобразованияРазбираем вместе

Вынесение. $\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot2}=10\sqrt{2}$.

Подобные радикалы. Слагаемые с одинаковым числом под корнем складываются как подобные члены:

$\sqrt{8}+\sqrt{50}=2\sqrt{2}+5\sqrt{2}=7\sqrt{2}.$

Разность квадратов. Формула из 7 класса работает и здесь:

$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1.$

Квадрат суммы.

$(\sqrt{3}+1)^2=(\sqrt{3})^2+2\cdot\sqrt{3}\cdot1+1^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}.$

Обрати внимание: слагаемые $4$ и $2\sqrt{3}$ не подобны, дальше складывать нечего. Ответ уже в простейшем виде.

Корень произведения в работе

Лаборатория преобразований

Вынесение множителя и корень произведения

Квадратный делитель под корнем — это разрезание квадрата на одинаковые квадратики. Их количество и выходит наружу.

√ab = √a · √b

Вынести множительКорень произведения

Первое число6

−+

Целое число от 2 до 400

Второе число8

−+

Целое число от 2 до 400

Множитель перед корнем

Число под корнем

Проверить

?

Приведи √6 · √8 к простейшему виду.Найди наибольший квадратный делитель подкоренного числа, вынеси его корень и запиши ответ в двух полях.

↺ Вернуть пример

Здесь лаборатория сначала сводит произведение к одному корню: $\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{48}$. Затем она раскладывает $48$ на простые множители $2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3$ и объединяет их в пары. Каждая пара одинаковых множителей — это точный квадрат, и один множитель из пары выходит наружу: $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$. Множитель без пары, тройка, остаётся под корнем.

Иррациональность в знаменателе

Дробь $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ неудобна: делить на бесконечную дробь трудно. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Значение не изменилось — мы умножили на единицу, — а знаменатель стал целым. Ещё пример:

$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}.$

Проверка понимания

Чему равно √50 в простейшем виде?

• А. 25√2
• Б. 5√2
• В. 5√10

! Корень из суммы — не сумма корней

Правило работает для произведения и частного, но не для суммы:

$\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5,\qquad\text{а}\qquad \sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7.$

Пять и семь — разные числа. Поэтому $\sqrt{a+b}$ упростить «по слагаемым» нельзя; такое выражение либо считают целиком, либо оставляют как есть.

Практика

1. Вынеси множитель из-под знака корня: $\sqrt{18}$, $\sqrt{48}$, $\sqrt{75}$, $\sqrt{200}$.
2. Внеси множитель под знак корня: $2\sqrt{7}$, $5\sqrt{2}$, $3\sqrt{10}$.
3. Вычисли: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$, $\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}$, $\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}$.
4. Вычисли: $\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$, $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}$.
5. Упрости: $3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-\sqrt{5}$.
6. Упрости: $\sqrt{8}+\sqrt{50}$.
7. Вычисли: $(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2$.
8. Раскрой скобки: $(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+1)$.
9. Возведи в квадрат: $(\sqrt{5}+2)^2$.
10. Избавься от иррациональности в знаменателе: $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$, $\dfrac{10}{\sqrt{2}}$.
11. Вычисли $\sqrt{1{,}44\cdot100}$ двумя способами.
12. Сравни $3\sqrt{2}$ и $2\sqrt{5}$.

Ответы и пояснения

1. $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$; $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$; $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$; $\sqrt{200}=10\sqrt{2}$.
2. $2\sqrt{7}=\sqrt{28}$; $5\sqrt{2}=\sqrt{50}$; $3\sqrt{10}=\sqrt{90}$.
3. $\sqrt{16}=4$; $\sqrt{81}=9$; $\sqrt{100}=10$.
4. $\sqrt{36}=6$; $\sqrt{49}=7$.
5. $(3+4-1)\sqrt{5}=6\sqrt{5}$.
6. $2\sqrt{2}+5\sqrt{2}=7\sqrt{2}$.
7. $7-3=4$.
8. $(\sqrt{6})^2-1^2=6-1=5$.
9. $5+2\cdot2\sqrt{5}+4=9+4\sqrt{5}$.
10. $\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$; $\dfrac{10}{\sqrt{2}}=\dfrac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$.
11. Первый способ: $\sqrt{144}=12$. Второй: $\sqrt{1{,}44}\cdot\sqrt{100}=1{,}2\cdot10=12$. Ответы совпали.
12. $(3\sqrt{2})^2=9\cdot2=18$, $(2\sqrt{5})^2=4\cdot5=20$; оба числа положительны, поэтому $3\sqrt{2}<2\sqrt{5}$.

Итог

• $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ и $\sqrt{a/b}=\sqrt{a}/\sqrt{b}$ — при неотрицательных числах под корнями.
• Вынесение множителя опирается на наибольший квадратный делитель; внесение служит проверкой.
• Подобные радикалы складываются как подобные члены; непохожие остаются рядом.
• Для суммы аналогичного правила нет: $\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Инструменты работы с корнями собраны. Дальше вернёмся к степеням: показателю пора спуститься ниже нуля — и мы увидим, что и здесь новое определение выбирается не произвольно, а ради сохранения старых правил.

← Оценка и приближения · Дальше: степень с целым показателем →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным