8 класс · Геометрия ◷ 55–65 минут ◇ База Нужно знать: подобие треугольников, теорема Пифагора, обыкновенные дроби
Эскалатор наклонён под углом 30 ° 30° 30° 12 12 12
Теорема Пифагора здесь не поможет: известна только одна сторона. Зато известен угол — и оказывается, этого достаточно.
◎ После урока ты сможешьобъяснять, почему отношения сторон зависят только от острого угла находить синус, косинус и тангенс острого угла по сторонам треугольника вычислять неизвестную сторону прямоугольного треугольника по стороне и углу применять основное тригонометрическое тождество и табличные значения Нарисуй прямоугольный треугольник с острым углом 30 ° 30° 30°
Вопрос: изменится ли отношение противолежащего катета к гипотенузе? Ответь до эксперимента.
Держи угол A A A
Квадраты на сторонах Найти сторону Синус, косинус, тангенс
Прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C Прямоугольный треугольник ABC: прямой угол при вершине C, катет AC равен ≈ 8,66 см, катет BC равен 5 см, гипотенуза AB равна 10 см, острый угол при вершине A равен 30 градусам. 30° ≈ 8,66 5 10 A C B ∠ sin 30° ≈ 0,5, cos 30° ≈ 0,866, tg 30° ≈ 0,5774. При гипотенузе 10 см катеты равны BC 5 и AC ≈ 8,66 см. Точные значения: sin = 1/2, cos = √3/2, tg = √3/3.
↺ Вернуть пример Отношения не сдвинулись ни на сотую. Причина — прошлый урок: два прямоугольных треугольника с равным острым углом подобны по двум углам (прямой угол и угол α \alpha α
✦ Почему определение вообще имеет смыслОтношение сторон в прямоугольном треугольнике зависит только от острого угла и не зависит от размеров треугольника. Значит, каждому острому углу можно раз и навсегда сопоставить три числа — и пользоваться ими в любой задаче.
∴ ОпределениеПусть α \alpha α
sin α = противолежащий катет гипотенуза , cos α = прилежащий катет гипотенуза , tg α = противолежащий катет прилежащий катет . \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}, \qquad \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}, \qquad \operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}. sin α = гипотенуза противолежащий катет , cos α = гипотенуза прилежащий катет , tg α = прилежащий катет противолежащий катет .
Для треугольника A B C ABC A B C C C C
sin A = B C A B , cos A = A C A B , tg A = B C A C . \sin A = \frac{BC}{AB}, \qquad \cos A = \frac{AC}{AB}, \qquad \operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC}. sin A = A B B C , cos A = A B A C , tg A = A C B C .
Так как катет всегда короче гипотенузы, для любого острого угла
0 < sin α < 1 , 0 < cos α < 1. 0 < \sin \alpha < 1, \qquad 0 < \cos \alpha < 1. 0 < sin α < 1 , 0 < cos α < 1.
А вот тангенс не ограничен: он равен 1 1 1 45 ° 45° 45° 90 ° 90° 90°
◆ Это определение потом дважды расширятПока синус и косинус живут только внутри прямоугольного треугольника, а значит только для острого угла. Дальше их определят заново — но именно расширят , а не отменят. В 9 классе, в уроке о теореме косинусов , угол дотянут до 180 ° 180° 180° 1 1 1 единичной окружности , разрешат вообще любой угол поворота. Проверять каждое расширение будут одним и тем же вопросом: для острого угла новое определение обязано давать ровно те же числа, что и отношения сторон из этого урока.
Разделим равенство Пифагора a 2 + b 2 = c 2 a^2 + b^2 = c^2 a 2 + b 2 = c 2 c 2 c^2 c 2
( a c ) 2 + ( b c ) 2 = 1. \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1. ( c a ) 2 + ( c b ) 2 = 1.
Первая дробь — синус, вторая — косинус. Получилось основное тригонометрическое тождество :
∴ Два рабочих тождестваsin 2 α + cos 2 α = 1 , tg α = sin α cos α . \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, \qquad \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}. sin 2 α + cos 2 α = 1 , tg α = c o s α s i n α .
Запись sin 2 α \sin^2 \alpha sin 2 α ( sin α ) 2 (\sin \alpha)^2 ( sin α ) 2 a / c b / c = a b \dfrac{a/c}{b/c} = \dfrac{a}{b} b / c a / c = b a
Кроме того, у двух острых углов прямоугольного треугольника сумма равна 90 ° 90° 90°
sin ( 90 ° − α ) = cos α , cos ( 90 ° − α ) = sin α . \sin(90° - \alpha) = \cos \alpha, \qquad \cos(90° - \alpha) = \sin \alpha. sin ( 90° − α ) = cos α , cos ( 90° − α ) = sin α .
Значения для 45 ° 45° 45° 30 ° 30° 30° 60 ° 60° 60°
Два треугольника, дающие табличные значения Слева половина квадрата: прямоугольный треугольник с двумя катетами по единице, острыми углами по 45 градусов
и гипотенузой, равной корню из двух. Справа половина равностороннего треугольника со стороной два:
катеты равны единице и корню из трёх, гипотенуза равна двум, острые углы равны 30 и 60 градусам.
45° 60° 30° 1 1 √2 1 √3 2 A C B M B C α \alpha α 30 ° 30° 30° 45 ° 45° 45° 60 ° 60° 60° sin α \sin \alpha sin α 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 2 2 \dfrac{\sqrt{2}}{2} 2 2 3 2 \dfrac{\sqrt{3}}{2} 2 3 cos α \cos \alpha cos α 3 2 \dfrac{\sqrt{3}}{2} 2 3 2 2 \dfrac{\sqrt{2}}{2} 2 2 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 tg α \operatorname{tg} \alpha tg α 3 3 \dfrac{\sqrt{3}}{3} 3 3 1 1 1 3 \sqrt{3} 3
Синус растёт слева направо, косинус убывает. Это удобная проверка: sin 60 ° \sin 60° sin 60° sin 30 ° \sin 30° sin 30°
Высота подъёма эскалатора Разбираем вместе Вернёмся к вопросу из начала урока. Длина эскалатора 12 12 12 30 ° 30° 30°
h = 12 ⋅ sin 30 ° = 12 ⋅ 1 2 = 6 м . h = 12 \cdot \sin 30° = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ м}. h = 12 ⋅ sin 30° = 12 ⋅ 2 1 = 6 м .
Горизонтальная проекция считается через косинус:
d = 12 ⋅ cos 30 ° = 12 ⋅ 3 2 = 6 3 ≈ 10,39 м . d = 12 \cdot \cos 30° = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39 \text{ м}. d = 12 ⋅ cos 30° = 12 ⋅ 2 3 = 6 3 ≈ 10 , 39 м .
Проверка теоремой Пифагора: 6 2 + ( 6 3 ) 2 = 36 + 108 = 144 = 12 2 6^2 + (6\sqrt{3})^2 = 36 + 108 = 144 = 12^2 6 2 + ( 6 3 ) 2 = 36 + 108 = 144 = 1 2 2
По синусу найти косинус Разбираем вместе Известно, что sin α = 0,6 \sin \alpha = 0{,}6 sin α = 0 , 6 α \alpha α cos α \cos \alpha cos α tg α \operatorname{tg} \alpha tg α
Из основного тождества:
cos 2 α = 1 − sin 2 α = 1 − 0,36 = 0,64. \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - 0{,}36 = 0{,}64. cos 2 α = 1 − sin 2 α = 1 − 0 , 36 = 0 , 64.
Косинус острого угла положителен, поэтому cos α = 0,8 \cos \alpha = 0{,}8 cos α = 0 , 8
tg α = 0,6 0,8 = 0,75. \operatorname{tg} \alpha = \frac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75. tg α = 0 , 8 0 , 6 = 0 , 75.
Узнаёшь числа? Это треугольник с катетами 6 6 6 8 8 8 10 10 10
Квадраты на сторонах Найти сторону Синус, косинус, тангенс
Прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C Прямоугольный треугольник ABC: прямой угол при вершине C, катет AC равен ≈ 9,83 см, катет BC равен искомой величине, гипотенуза AB равна 12 см, острый угол при вершине A равен 35 градусам. 35° ≈ 9,83 ? 12 A C B Катет BC, см Проверить
? Гипотенуза 12 см, угол A равен 35°. Найди катет BC с точностью до десятых. Катет BC лежит против угла A, значит нужен синус: BC = AB · sin A.
↺ Вернуть пример ! Где обычно теряют задачуПутают противолежащий катет с прилежащим. «Противолежащий» — это тот, который не касается угла α \alpha α
Применяют синус к треугольнику без прямого угла. Определения этого урока работают только внутри прямоугольного треугольника. В произвольном треугольнике сначала проводят высоту.
Получают sin α = 1,25 \sin \alpha = 1{,}25 sin α = 1 , 25 Синус острого угла меньше единицы всегда. Такой ответ означает, что катет и гипотенуза поменялись местами.
Проверка понимания
В треугольнике ABC угол C прямой, AC = 8, BC = 6, AB = 10. Чему равен sin A?
В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 6 6 8 8 8 10 10 10 6 6 6
Острый угол α \alpha α sin α = 0,6 \sin \alpha = 0{,}6 sin α = 0 , 6 cos α \cos \alpha cos α
Гипотенуза равна 12 12 12 30 ° 30° 30°
Прилежащий катет равен 5 5 5 60 ° 60° 60°
Известно, что tg α = 1 \operatorname{tg} \alpha = 1 tg α = 1 α \alpha α
Пандус длиной 6 6 6 0,5 0{,}5 0 , 5
Лестница длиной 4 4 4 60 ° 60° 60°
Известно, что cos α = 3 2 \cos \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2} cos α = 2 3 α \alpha α
В прямоугольном треугольнике катет равен 5 5 5 45 ° 45° 45°
Дерево отбрасывает тень длиной 15 15 15 40 ° 40° 40° tg 40 ° ≈ 0,839 \operatorname{tg} 40° \approx 0{,}839 tg 40° ≈ 0 , 839
Ответы и пояснения
sin = 6 10 = 0,6 \sin = \dfrac{6}{10} = 0{,}6 sin = 10 6 = 0 , 6 cos = 8 10 = 0,8 \cos = \dfrac{8}{10} = 0{,}8 cos = 10 8 = 0 , 8 tg = 6 8 = 0,75 \operatorname{tg} = \dfrac{6}{8} = 0{,}75 tg = 8 6 = 0 , 75 cos 2 α = 1 − 0,36 = 0,64 \cos^2 \alpha = 1 - 0{,}36 = 0{,}64 cos 2 α = 1 − 0 , 36 = 0 , 64 cos α = 0,8 \cos \alpha = 0{,}8 cos α = 0 , 8 12 ⋅ sin 30 ° = 12 ⋅ 0,5 = 6 12 \cdot \sin 30° = 12 \cdot 0{,}5 = 6 12 ⋅ sin 30° = 12 ⋅ 0 , 5 = 6 cos 60 ° = 5 c \cos 60° = \dfrac{5}{c} cos 60° = c 5 0,5 = 5 c 0{,}5 = \dfrac{5}{c} 0 , 5 = c 5 c = 10 c = 10 c = 10 α = 45 ° \alpha = 45° α = 45° 1 1 1 sin α = 0,5 6 = 1 12 ≈ 0,083 \sin \alpha = \dfrac{0{,}5}{6} = \dfrac{1}{12} \approx 0{,}083 sin α = 6 0 , 5 = 12 1 ≈ 0 , 083 4 ⋅ sin 60 ° = 4 ⋅ 3 2 = 2 3 ≈ 3,46 4 \cdot \sin 60° = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46 4 ⋅ sin 60° = 4 ⋅ 2 3 = 2 3 ≈ 3 , 46 α = 30 ° \alpha = 30° α = 30° cos 45 ° = 5 c \cos 45° = \dfrac{5}{c} cos 45° = c 5 2 2 = 5 c \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{5}{c} 2 2 = c 5 c = 10 2 = 5 2 ≈ 7,07 c = \dfrac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07 c = 2 10 = 5 2 ≈ 7 , 07 Высота равна 15 ⋅ tg 40 ° ≈ 15 ⋅ 0,839 = 12,585 ≈ 12,6 15 \cdot \operatorname{tg} 40° \approx 15 \cdot 0{,}839 = 12{,}585 \approx 12{,}6 15 ⋅ tg 40° ≈ 15 ⋅ 0 , 839 = 12 , 585 ≈ 12 , 6
Отношения сторон прямоугольного треугольника зависят только от острого угла — это прямое следствие подобия.
sin α \sin \alpha sin α cos α \cos \alpha cos α tg α \operatorname{tg} \alpha tg α Основное тождество sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1 c 2 c^2 c 2
Значения для 30 ° 30° 30° 45 ° 45° 45° 60 ° 60° 60°
Дальше мы уходим от треугольников к окружности. Но подобие и Пифагор никуда не денутся: касательная, радиус и расстояние до центра образуют прямоугольный треугольник.
← Теорема Пифагора · Дальше: окружность и касательные →
Закончил урок? Отметь прогресс — регистрация не нужна.
Отметить пройденным 