3.2 Текстовые задачи через уравнение

7 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: линейные уравнения, буквенные выражения, единицы величин

Такси берёт $150$ ₽ за посадку и $35$ ₽ за километр. Поездка обошлась в $430$ ₽. Какое расстояние проехали?

Задача решается в одно действие только если сразу увидеть уравнение. Научимся видеть его в любом тексте.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать неизвестное так, чтобы остальные величины выражались просто
• переводить каждое предложение условия в алгебраическую запись
• составлять и решать уравнение по тексту задачи
• проверять ответ подстановкой и по смыслу условия

Прогноз до вычислений

Прикинь: расстояние в задаче о такси больше или меньше $10$ км? На сколько выросла бы цена, если проехать ещё $2$ км?

Эксперимент: от подбора к уравнению

Подбирай расстояние и следи за стоимостью. Лаборатория сравнивает результат с целью $430$ ₽ точно, без округлений.

Лаборатория формул

Стоимость поездки на такси

Фиксированная посадка плюс оплата каждого километра.

C = f + r · x

ВычислитьТаблицаПодобрать вход

Посадка, ₽ 150

−+

От 0 до 10000, шаг 1 ₽.

Тариф, ₽/км 35

−+

От 0 до 10000, шаг 0,01 ₽/км.

Подбор: Расстояние, км 2

−+

От 0 до 20, шаг 0,5 км.

C = f + r · x→220 ₽

Проверка смысла величин

Условия модели выполнены

Все входы лежат в допустимых диапазонах.

Мост к уравнениям

Цель: C = 430 ₽

frx

Получилось 220 ₽ — на 210 ₽ меньше цели.

Меняй x с шагом 0,5 и следи, приближается ли результат к цели.

ƒ

Получилось 220 ₽ — на 210 ₽ меньше цели.Сравнение с целью выполнено точно для x = 2.

↺ Вернуть пример

Подбор приводит к $x=8$: $150+35\cdot8=150+280=430$. Но подбор — это удача плюс терпение. То же самое уравнение

$150+35x=430$

решается за два шага: $35x=280$, значит $x=8$. И оно сработает при любой сумме, а не только при удобной.

Пять шагов от текста к ответу

∴ План решения текстовой задачи

1. Назови неизвестное буквой и обязательно запиши, что она означает, вместе с единицей.
2. Вырази через него остальные величины — по одному предложению условия за раз.
3. Найди равенство, которое связывает выраженные величины, и запиши уравнение.
4. Реши уравнение равносильными преобразованиями.
5. Проверь ответ дважды: подстановкой в уравнение и сверкой со смыслом условия. Ответь на тот вопрос, который задан.

Шаг 1 стоит делать осознанно. Обозначать буквой удобно меньшую из связанных величин: тогда остальные записываются без дробей.

Две части одного целогоРазбираем вместе

В двух коробках $48$ карандашей, причём в первой в $3$ раза больше, чем во второй.

Пусть во второй коробке $x$ карандашей. Тогда в первой — $3x$, а вместе:

$x+3x=48,\qquad 4x=48,\qquad x=12.$

Во второй коробке $12$ карандашей, в первой $3\cdot12=36$.

Проверка по условию: $12+36=48$ и $36:12=3$. Оба предложения условия выполнены.

Догонит ли второй первогоРазбираем вместе

Из города выехал автомобиль со скоростью $60$ км/ч. Через $2$ часа вслед за ним выехал второй со скоростью $90$ км/ч. Через сколько часов после своего выезда второй догонит первого?

Пусть $t$ — время в пути второго автомобиля, часов. Тогда первый едет $t+2$ часа. В момент встречи пройденные пути равны:

$60(t+2)=90t.$

Раскроем скобки и перенесём: $60t+120=90t$, значит $30t=120$ и $t=4$.

Проверка: первый прошёл $60\cdot6=360$ км, второй $90\cdot4=360$ км. Пути совпали, ответ — через $4$ часа.

Проверка по смыслу: время положительное, скорость догоняющего больше — иначе встречи не было бы вовсе.

Периметр вместо суммыРазбираем вместе

Периметр прямоугольника равен $46$ см, длина на $5$ см больше ширины.

Пусть ширина равна $x$ см, тогда длина равна $x+5$ см и

$2\bigl(x+(x+5)\bigr)=46.$

Разделим обе части на $2$: $2x+5=23$, дальше $2x=18$ и $x=9$.

Ширина $9$ см, длина $14$ см. Проверка: $2(9+14)=46$ см — верно, и длина действительно на $5$ см больше.

Проверка понимания

В классе 30 человек, мальчиков в 1,5 раза больше, чем девочек. Какое уравнение соответствует условию, если x — число девочек?

• А. x + 1,5 = 30
• Б. 1,5x = 30
• В. x + 1,5x = 30

! Найденный x — ещё не ответ

Две ошибки встречаются чаще всего.

Первая: решили уравнение и записали в ответ значение $x$, хотя спрашивали про другую величину. В задаче про карандаши $x=12$ — это вторая коробка, а вопрос был про обе.

Вторая: не проверили ответ по смыслу. Если в задаче про учеников получилось $x=10{,}5$, дело не в арифметике — просто такого класса не бывает, и условие противоречиво. Число людей, коробок и билетов должно быть целым и неотрицательным.

Практика

Для каждой задачи запиши, что обозначает буква, составь уравнение, реши его и ответь на вопрос задачи.

1. Задумали число, умножили на $5$ и вычли $8$; получилось $37$. Какое число задумали?
2. В двух ящиках $60$ кг яблок, причём в первом на $12$ кг больше. Сколько килограммов в каждом ящике?
3. Периметр прямоугольника $46$ см, длина на $5$ см больше ширины. Найди стороны и площадь.
4. Тетрадь на $15$ ₽ дороже ручки, вместе они стоят $65$ ₽. Сколько стоит каждая?
5. Автобус ехал $4$ ч со скоростью $v$ км/ч, а поезд — $3$ ч со скоростью на $20$ км/ч больше. Пути оказались равны. Найди $v$ и общий путь.
6. За $3$ одинаковых блокнота и $2$ ручки заплатили $340$ ₽. Ручка стоит $35$ ₽. Сколько стоит блокнот?
7. Мальчиков в классе в $1{,}5$ раза больше, чем девочек, всего $30$ человек. Сколько мальчиков?
8. Велосипедист выехал со скоростью $12$ км/ч, через $1$ ч вслед за ним — мотоциклист со скоростью $36$ км/ч. Через сколько часов после своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста?
9. Из бака отлили треть воды, осталось $40$ л. Сколько литров было сначала?
10. Сумма трёх последовательных натуральных чисел равна $87$. Найди эти числа.
11. Прокат берёт $50$ ₽ за старт и $8$ ₽ за минуту. Сколько минут можно ехать на $210$ ₽? На $186$ ₽?
12. В классе $25$ учеников, мальчиков на $4$ больше, чем девочек. Сколько девочек?

Ответы и пояснения

1. Пусть задумали $x$. Тогда $5x-8=37$, откуда $5x=45$ и $x=9$. Проверка: $5\cdot9-8=37$.
2. Пусть во втором ящике $x$ кг, в первом $x+12$ кг. Тогда $x+(x+12)=60$, то есть $2x=48$ и $x=24$. Во втором $24$ кг, в первом $36$ кг; $24+36=60$.
3. Ширина $x$ см, длина $x+5$ см: $2(2x+5)=46$, значит $2x+5=23$, $x=9$. Стороны $9$ см и $14$ см, площадь $9\cdot14=126\text{ см}^2$.
4. Ручка $x$ ₽, тетрадь $x+15$ ₽: $2x+15=65$, $x=25$. Ручка $25$ ₽, тетрадь $40$ ₽.
5. $4v=3(v+20)$, то есть $4v=3v+60$ и $v=60$ км/ч. Путь $4\cdot60=240$ км; проверка: $3\cdot80=240$ км.
6. Блокнот $x$ ₽: $3x+2\cdot35=340$, значит $3x=270$ и $x=90$ ₽.
7. Девочек $x$: $x+1{,}5x=30$, то есть $2{,}5x=30$ и $x=12$. Мальчиков $1{,}5\cdot12=18$.
8. Время мотоциклиста $t$ ч: $12(t+1)=36t$, то есть $12t+12=36t$, $24t=12$ и $t=0{,}5$ ч. Проверка: $12\cdot1{,}5=18$ км и $36\cdot0{,}5=18$ км.
9. Было $x$ л: $x-\dfrac{x}{3}=40$, то есть $\dfrac{2x}{3}=40$ и $x=60$ л. Проверка: отлили $20$ л, осталось $40$ л.
10. Первое число $x$: $x+(x+1)+(x+2)=87$, значит $3x+3=87$, $3x=84$ и $x=28$. Числа $28$, $29$, $30$.
11. $50+8t=210$ даёт $t=20$ мин; $50+8t=186$ даёт $8t=136$ и $t=17$ мин.
12. Девочек $x$: $x+(x+4)=25$, то есть $2x=21$ и $x=10{,}5$. Целого решения нет, значит условие противоречиво: при разнице $4$ общее число учеников обязано быть чётным.

Итог

• Первый шаг решения — не вычисление, а честная запись: что именно обозначено буквой и в каких единицах.
• Каждое предложение условия превращается в алгебраическую запись; уравнение появляется там, где две величины равны.
• Ответ проверяется дважды: подстановкой и по смыслу. Отрицательное или дробное число там, где считают предметы, — сигнал перечитать условие.
• Уравнение сильнее подбора: оно даёт ответ даже тогда, когда угадать неудобно.

Дальше посмотрим на ту же зависимость целиком: не в одной точке, а сразу для всех значений — как на прямую на координатной плоскости.

← Линейные уравнения · Дальше: линейная функция →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным