2.2 Основное свойство дроби и сокращение

8 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: сокращение обыкновенных дробей, разложение на множители, допустимые значения

В 6 классе мы сравнивали и сокращали обыкновенные дроби: $\dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4}$, потому что и сверху, и снизу разделили на $6$.

С буквами приём тот же:

$\frac{6x}{8x}=\frac{3}{4}.$

Но появляется вопрос, которого у чисел не было: а если $x=0$? Тогда слева стоит $\dfrac{0}{0}$ — записи без смысла, — а справа спокойно живёт $\dfrac{3}{4}$. Значит, равенство верно не всегда, и это нужно уметь записывать.

◎ После урока ты сможешь

• формулировать основное свойство алгебраической дроби
• сокращать дробь, предварительно разложив числитель и знаменатель на множители
• сопровождать сокращённую дробь условием на переменную
• отличать сокращение множителя от недопустимого «сокращения» слагаемых

Прогноз до вычислений

• Верно ли равенство $\dfrac{x+3}{x+5}=\dfrac{3}{5}$? Проверь при $x=0$, потом при $x=1$.
• Что общего у пар $(18;24)$ и $(6x;8x)$?
• Может ли сокращение «расширить» набор допустимых значений?

Эксперимент: проверка одной подстановкой обманывает

Лаборатория равносильных записей

Сокращение слагаемых

Ученик «сократил x». Проверь его ответ. Значения считаются точно, без округлений — в каждой точке видно, совпадают записи или нет.

(x + 3) / (x + 5)

(x + 3) / (x + 5)?3 / 5

Что покажет проверка значениями?

Записи равны при всех допустимых xНайдётся x, при котором значения разныеПроверить

Одно значение — две записи

Таблица сравнения

Своё значение xЦелое или десятичная дробь, например −1,5.

Слева (x + 3) / (x + 5), справа 3 / 5

x	Исходная запись	Предложенный ответ	Вывод
−5	не определено	0,6	слева не определено
0	0,6	0,6	значения совпали
1	2/3	0,6	значения разные
2	5/7	0,6	значения разные
5	0,8	0,6	значения разные

Что стало с допустимыми значениями

Ответ «шире» исходной записи

• Исходная запись запрещает: −5.
• Предложенный ответ запрещает: нет.
• Потеряно при преобразовании: −5. Именно поэтому рядом с ответом пишут условие x ≠ −5.

?

Ученик «сократил x». Проверь его ответ.Сначала выскажи предположение, потом сверься с таблицей значений.

↺ Вернуть пример

При $x=0$ обе записи дают $0{,}6$ — и на этом многие останавливаются. Но уже при $x=1$ слева $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$, а справа $\dfrac{3}{5}$. Одно расхождение убивает равенство: значит, «сокращение» было незаконным.

Основное свойство

∴ Основное свойство алгебраической дроби

Числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на один и тот же не равный нулю множитель — значение дроби не изменится:

$\frac{P}{Q}=\frac{P\cdot R}{Q\cdot R},\qquad R\ne0.$

Слева направо это приведение дроби к новому знаменателю, справа налево — сокращение.

Ключевое слово — множитель. Основное свойство говорит про умножение и деление, а не про прибавление. Поэтому сокращать можно только то, что перемножается со всем числителем и со всем знаменателем целиком.

! Сокращение слагаемых

Запись $\dfrac{x+3}{x+5}=\dfrac{3}{5}$ — не сокращение, а зачёркивание одинаковых букв.

Здесь $x$ — слагаемое, а не множитель: числитель равен $x+3$, а не $x\cdot3$. Основное свойство к нему неприменимо.

Как поймать себя за руку: подставь два числа. При $x=0$ получится $\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{5}$ — совпало случайно; при $x=1$ уже $\dfrac{2}{3}\ne\dfrac{3}{5}$.

Алгоритм сокращения

1. Разложи числитель на множители.
2. Разложи знаменатель на множители.
3. Выпиши допустимые значения — по исходному знаменателю.
4. Сократи общие множители.
5. Запиши ответ вместе с условием на переменную.

Третий шаг делается до сокращения. После сокращения исходный знаменатель уже не виден, а запрет никуда не исчез.

Лаборатория равносильных записей

Сокращение по разности квадратов

Верно ли выполнено сокращение? Значения считаются точно, без округлений — в каждой точке видно, совпадают записи или нет.

(x² − 9) / (x − 3)

(x² − 9) / (x − 3)=x + 3

Одно значение — две записи

Таблица сравнения

Своё значение xЦелое или десятичная дробь, например −1,5.

Слева (x² − 9) / (x − 3), справа x + 3

x	Исходная запись	Предложенный ответ	Вывод
−3	0	0	значения совпали
0	3	3	значения совпали
2	5	5	значения совпали
3	не определено	6	слева не определено
5	8	8	значения совпали

Что стало с допустимыми значениями

Ответ «шире» исходной записи

• Исходная запись запрещает: 3.
• Предложенный ответ запрещает: нет.
• Потеряно при преобразовании: 3. Именно поэтому рядом с ответом пишут условие x ≠ 3.

=

Записи равны при всех допустимых значениях x.Совпадение в 4 проверенных точках — это ещё не доказательство, но повод искать преобразование. Значения совпадают всюду, кроме x = 3: там исходная дробь не определена, а сумма x + 3 определена.

↺ Вернуть пример

Сократим (x² − 9)/(x² − 6x + 9)Разбираем вместе

Раскладываем обе части. Сверху — разность квадратов, снизу — квадрат разности:

$x^2-9=(x-3)(x+3),\qquad x^2-6x+9=(x-3)^2.$

Допустимые значения: $(x-3)^2=0$ при $x=3$, значит $x\ne3$.

Сокращаем на общий множитель $(x-3)$:

$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-3)}=\frac{x+3}{x-3}.$

Ответ: $\dfrac{x+3}{x-3}$ при $x\ne3$.

Проверка при $x=5$: слева $\dfrac{25-9}{25-30+9}=\dfrac{16}{4}=4$, справа $\dfrac{8}{2}=4$.

Противоположные скобки

Скобки $(a-b)$ и $(b-a)$ отличаются знаком: $b-a=-(a-b)$. Поэтому

$\frac{3-x}{x-3}=\frac{-(x-3)}{x-3}=-1\quad\text{при } x\ne3.$

Это не «сокращение с потерей знака», а вынесение множителя $-1$ и только потом сокращение.

Проверка понимания

Сократи дробь (5x + 15)/(x + 3).

• А. 5x
• Б. 5x + 5
• В. 5 при x ≠ −3

Практика

Сократи дробь и укажи допустимые значения переменной.

1. $\dfrac{6a^3}{9a}$
2. $\dfrac{5x+15}{x+3}$
3. $\dfrac{x^2-16}{x-4}$
4. $\dfrac{3x-3y}{x^2-y^2}$
5. $\dfrac{x^2+4x+4}{x+2}$
6. $\dfrac{2-x}{x-2}$
7. $\dfrac{x^2-5x}{x^2-25}$
8. Верно ли равенство $\dfrac{x+4}{x+8}=\dfrac{1}{2}$? При каких $x$ оно выполняется?
9. $\dfrac{4x^2-9}{2x+3}$
10. $\dfrac{a^2b-ab^2}{ab}$

Ответы и пояснения

1. $\dfrac{6a^3}{9a}=\dfrac{3a\cdot2a^2}{3a\cdot3}=\dfrac{2a^2}{3}$ при $a\ne0$.
2. $\dfrac{5(x+3)}{x+3}=5$ при $x\ne-3$.
3. $\dfrac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4$ при $x\ne4$.
4. $\dfrac{3(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\dfrac{3}{x+y}$ при $x\ne y$ и $x\ne-y$.
5. $\dfrac{(x+2)^2}{x+2}=x+2$ при $x\ne-2$.
6. $\dfrac{-(x-2)}{x-2}=-1$ при $x\ne2$.
7. $\dfrac{x(x-5)}{(x-5)(x+5)}=\dfrac{x}{x+5}$ при $x\ne5$ и $x\ne-5$.
8. Как тождество — неверно: сокращали слагаемые. Равенство выполняется лишь при отдельном значении: $2(x+4)=x+8$, $2x+8=x+8$, $x=0$.
9. $\dfrac{(2x-3)(2x+3)}{2x+3}=2x-3$ при $x\ne-1{,}5$.
10. $\dfrac{ab(a-b)}{ab}=a-b$ при $a\ne0$ и $b\ne0$.

Итог

• Основное свойство разрешает делить числитель и знаменатель на общий множитель, не равный нулю.
• Сокращению всегда предшествует разложение на множители.
• Допустимые значения выписывают по исходному знаменателю — сокращение их не отменяет.
• Скобки $(a-b)$ и $(b-a)$ различаются множителем $-1$.

Теперь дроби можно приводить к одному знаменателю — а значит, складывать и вычитать.

← Допустимые значения · Дальше: сложение и вычитание →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным