1.2 Уравнение с двумя переменными и его график

9 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: координатная плоскость, линейная функция, квадратный корень

На карту памяти помещается $32$ ГБ. Фильм занимает $2$ ГБ, игра — $4$ ГБ. Если записать $x$ фильмов и $y$ игр и заполнить карту целиком, получится

$2x+4y=32.$

Сколько тут решений? Подходит $(16;0)$, подходит $(0;8)$, подходит $(6;5)$ — потому что $12+20=32$. И это только целые варианты; если разрешить дробные, решений станет бесконечно много.

Одно уравнение с двумя переменными почти никогда не имеет одного ответа. Зато у всех его решений вместе есть форма.

◎ После урока ты сможешь

• проверять, является ли пара чисел решением уравнения с двумя переменными
• понимать график уравнения как множество всех его решений
• узнавать прямую, параболу, гиперболу и окружность по уравнению
• объяснять, почему не всякое уравнение задаёт функцию

Прогноз до вычислений

• Сколько решений у уравнения $x+y=6$? А сколько у уравнения $x^2+y^2=0$?
• Пара $(3;-4)$ и пара $(-4;3)$ — это одно и то же решение или разные?
• Может ли одному значению $x$ отвечать сразу два значения $y$?

Эксперимент: пара за парой рисуется линия

Впиши любую пару и проверь её. Точка появится на плоскости — и ты увидишь, попала она на линию или нет.

Лаборатория графиков и систем

Одно уравнение — целая линия решений

Решение уравнения с двумя переменными — пара чисел. Все такие пары вместе и образуют график.

y = x²

y = x + 2y = x²xy = 6x² + y² = 25

y = x² — это парабола

Несколько решений уравнения y = x²

x	−2	−1	0	1	2
y	4	1	0	1	4

Мой x

Мой y

Проверить

?

Проверь любую пару в уравнении y = x².Подставь свои x и y в уравнение. Если равенство верное, точка обязана оказаться на линии.

↺ Вернуть пример

Переключи уравнение на $x^2+y^2=25$ и попробуй найти пару с $x=3$. Их две.

Решение — это пара

∴ Определение

Уравнением с двумя переменными называют равенство, содержащее две буквы, например $2x+4y=32$ или $x^2+y^2=25$.

Решением такого уравнения называют упорядоченную пару чисел $(x;y)$, которая обращает равенство в верное. Первое число всегда относится к $x$, второе — к $y$.

Графиком уравнения называют множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Определение графика работает в обе стороны, и это его главное свойство:

• если пара — решение уравнения, то соответствующая точка лежит на графике;
• если точка лежит на графике, то её координаты — решение уравнения.

Никаких «почти лежит» тут не бывает. Проверка всегда одна: подстановка.

Три проверки подрядРазбираем вместе

Лежит ли точка $(3;-4)$ на окружности $x^2+y^2=25$?

$3^2+(-4)^2=9+16=25.$

Да, равенство верное — точка лежит.

Лежит ли точка $(-2;4)$ на параболе $y=x^2$?

$(-2)^2=4.$

Да. Заметь: точка $(2;4)$ тоже лежит. Одному значению $y$ могут отвечать разные $x$ — это нормально.

Лежит ли точка $(4;-2)$ на параболе $y=x^2$?

Подставляем: слева $y=-2$, справа $x^2=16$. Равенство неверное — не лежит.

Пара $(-2;4)$ подходит, а пара $(4;-2)$ — нет. Порядок в паре менять нельзя.

Четыре линии, которые нужно узнавать

Уравнение	График
$y=kx+b$ или $ax+by=c$	прямая
$y=ax^2+bx+c$ при $a\ne0$	парабола
$xy=k$ или $y=\dfrac{k}{x}$ при $k\ne0$	гипербола из двух ветвей
$x^2+y^2=r^2$ при $r>0$	окружность с центром в начале координат и радиусом $r$

Последняя строка объясняется теоремой Пифагора: расстояние от точки $(x;y)$ до начала координат равно $\sqrt{x^2+y^2}$, и условие «это расстояние равно $r$» — как раз $x^2+y^2=r^2$.

Построим окружность x² + y² = 25 по точкамРазбираем вместе

Ищем пары целых чисел, сумма квадратов которых равна $25$. Помогает знакомая тройка $3$, $4$, $5$:

$(5;0),\ (4;3),\ (3;4),\ (0;5),\ (-3;4),\ (-4;3),\ (-5;0),\ (-4;-3),\ (-3;-4),\ (0;-5),\ (3;-4),\ (4;-3).$

Двенадцать точек уже хорошо задают форму: они лежат на одинаковом расстоянии $5$ от начала координат. Остальные решения — с нецелыми координатами, например $\left(1;\sqrt{24}\right)$, где $\sqrt{24}\approx4{,}9$.

Функцией это уравнение не задаёт: при $x=3$ подходят сразу два значения, $y=4$ и $y=-4$.

✦ График уравнения шире, чем график функции

График функции — частный случай графика уравнения: тот случай, когда каждому $x$ отвечает не более одного $y$.

Окружность $x^2+y^2=25$ и «лежачая парабола» $y^2=x$ — полноценные графики уравнений, но не графики функций. Проверить легко: если какая-нибудь вертикальная прямая пересекает линию дважды, функции нет.

Проверка понимания

Какая из пар является решением уравнения xy = −8?

• А. (−2; 4)
• Б. (2; 4)
• В. (0; −8)

! Три ловушки на паре и графике

Переставили числа в паре. $(3;-4)$ и $(-4;3)$ — разные пары. Первая лежит на окружности $x^2+y^2=25$, вторая тоже (по случайности), а вот на прямой $y=x-7$ лежит только первая. Проверять надо ту пару, которая дана, в том порядке, в котором дана.

Проверили точку по картинке. «Похоже, точка на линии» — это гипотеза, а не ответ. Точка $(2;3{,}9)$ на глаз неотличима от точки на параболе $y=x^2$, но $2^2=4\ne3{,}9$.

Решили, что линия обязана быть графиком функции. Уравнение $x^2+y^2=25$ прекрасно задаёт линию, просто выразить из него $y$ одной формулой нельзя: получается $y=\pm\sqrt{25-x^2}$, то есть сразу две ветви.

Практика

1. Является ли пара $(2;3)$ решением уравнения $2x+y=7$?
2. Является ли пара $(-1;5)$ решением уравнения $y=x^2+4$?
3. Какие из пар $(3;-4)$, $(-4;3)$, $(5;1)$ являются решениями уравнения $x^2+y^2=25$?
4. Найди три решения уравнения $x+y=6$.
5. Найди $y$, если $x=-2$ и пара $(x;y)$ — решение уравнения $xy=12$.
6. Что является графиком уравнения $y=-0{,}5x+3$? Найди две точки этого графика.
7. Что является графиком уравнения $xy=-8$? Выпиши четыре решения с целыми координатами.
8. Сколько решений у уравнения $x^2+y^2=0$?
9. Сколько решений у уравнения $x^2+y^2=-4$?
10. Задаёт ли уравнение $y^2=x$ функцию $y$ от $x$? Ответ поясни.
11. Точка $(a;2)$ лежит на графике уравнения $y=x^2-2$. Найди все возможные значения $a$.
12. Точка $(3;b)$ лежит на окружности $x^2+y^2=25$. Найди все возможные значения $b$.

Ответы и пояснения

1. Да: $2\cdot2+3=7$.
2. Да: $(-1)^2+4=1+4=5$.
3. $(3;-4)$: $9+16=25$ — да. $(-4;3)$: $16+9=25$ — да. $(5;1)$: $25+1=26\ne25$ — нет.
4. Например, $(0;6)$, $(6;0)$, $(2;4)$; решений бесконечно много.
5. $-2y=12$, значит $y=-6$.
6. Прямая. Например, $(0;3)$ и $(6;0)$; ещё удобная точка — $(2;2)$.
7. Гипербола из двух ветвей. Например, $(1;-8)$, $(2;-4)$, $(4;-2)$, $(-1;8)$.
8. Одно решение: $(0;0)$. Сумма двух квадратов равна нулю, только если оба слагаемых нулевые.
9. Ни одного: сумма квадратов не бывает отрицательной.
10. Не задаёт: при $x=4$ подходят и $y=2$, и $y=-2$. Вертикальная прямая $x=4$ пересекает линию дважды.
11. $a^2-2=2$, значит $a^2=4$ и $a=\pm2$.
12. $9+b^2=25$, значит $b^2=16$ и $b=\pm4$.

Итог

• Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара $(x;y)$; порядок менять нельзя.
• График уравнения — множество всех его решений, и принадлежность точки проверяется подстановкой, а не глазом.
• Прямая, парабола, гипербола и окружность — четыре линии, которые нужно узнавать по записи уравнения.
• Не всякое уравнение задаёт функцию: у окружности одному $x$ отвечают два значения $y$.

Одно уравнение задаёт линию. Два уравнения — две линии. А что общего у двух линий? Об этом следующий урок.

← Рациональные уравнения · Дальше: системы уравнений →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным